高考数学大一轮复习 121随机事件的概率教师用书 理 苏教版.docx
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高考数学大一轮复习121随机事件的概率教师用书理苏教版
§12.1 随机事件的概率
1．随机事件和确定事件
（1）在一定条件下，必然会发生的事件叫做必然事件．
（2）在一定条件下，肯定不会发生的事件叫做不可能事件．
（3）必然事件与不可能事件统称为确定事件．
（4）在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件叫做随机事件．
（5）确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C…表示．
2．概率和频率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝
为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A发生的频率会在某个常数附近摆动并趋于稳定，我们可以用这个常数来刻画随机事件A发生的可能性大小，并把这个常数称为随机事件A的概率，记作P（A）．
3．互斥事件与对立事件
（1）如果事件A、B互斥，那么事件A＋B发生的概率，等于事件A、B分别发生的概率的和，即P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
（2）如果两个互斥事件必有一个发生．那么称这两个事件为对立事件，事件A的对立事件记为
.
4．概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1.
（2）必然事件的概率P（E）＝1.
（3）不可能事件的概率P（F）＝0.
（4）概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．
（5）对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）＝1－P（B）．
[知识拓展]
互斥事件与对立事件的区别与联系
互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件．
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）事件发生频率与概率是相同的．（ × ）
（2）随机事件和随机试验是一回事．（ × ）
（3）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．（ √ ）
（4）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．（ × ）
（5）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（ √ ）
（6）“方程x2＋2x＋8＝0有两个实根”是不可能事件．（ √ ）
1．下列事件中，随机事件为________，必然事件为________．（填序号）
①冬去春来 ②某班一次数学测试，及格率低于75% ③体育彩票某期的特等奖号码 ④三角形内角和为360°
⑤骑车到十字路口遇到交警
答案 ②③⑤ ①
2．袋中装有3个白球，4个黑球，从中任取3个球，则
①恰有1个白球和全是白球；
②至少有1个白球和全是黑球；
③至少有1个白球和至少有2个白球；
④至少有1个白球和至少有1个黑球．
在上述事件中，是对立事件的为________．
答案 ②
解析 至少有1个白球和全是黑球不同时发生，而且两者定有一个发生．
故②中两事件互为对立事件．
3．给出下列三个命题，其中正确的命题有________个．
①有一大批产品，已知次品率为10%，从中任取100件，必有10件是次品；②做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此正面出现的概率是
；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率．
答案 0
解析 ①错，不一定是10件次品；②错，
是频率而非概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2、0.3、0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为________．
答案 0.5
解析 依题意知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－（0.2＋0.3）＝0.5.
题型一 随机事件的关系
例1 某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报纸”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．
（1）A与C；
（2）B与E；（3）B与C；（4）C与E.
解
（1）由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．
（2）事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件E一定发生，且事件E不发生会导致事件B一定发生，故B与E还是对立事件．
（3）事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：
“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：
“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．
（4）由（3）的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件E有可能同时发生，故C与E不是互斥事件．
思维升华 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件．这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而判定所给事件的关系．
从40张扑克牌（红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张）中，任取一张，判断下列给出的每对事件，互斥事件为________，对立事件为________．
①“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
②“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
③“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”．
答案 ①② ②
解 ①是互斥事件．
理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．
②是互斥事件，且是对立事件．
理由是：
从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件．
③不是互斥事件．
理由是：
从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为10.因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件．
题型二 随机事件的频率与概率
例2 某企业生产的乒乓球被奥运会指定为乒乓球比赛专用球，目前有关部门对某批产品进行了抽样检测，检查结果如下表所示：
抽取球数n
50
100
200
500
1000
2000
优等品数m
45
92
194
470
954
1902
优等品频率
（1）计算表中乒乓球优等品的频率；
（2）从这批乒乓球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率是多少？
（结果保留到小数点后三位）
解
（1）依据公式f＝
，计算出表中乒乓球优等品的频率依次是0.900,0.920,0.970,0.940,0.954,0.951.
（2）由
（1）知，抽取的球数n不同，计算得到的频率值不同，但随着抽取球数的增多，频率在常数0.950的附近摆动，所以质量检查为优等品的概率约为0.950.
思维升华 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小．但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：
万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：
毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
（1）完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
解
（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（2）由已知可得Y＝
＋425，
故P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）
＝P（Y<490或Y>530）＝P（X<130或X>210）
＝P（X＝70）＋P（X＝110）＋P（X＝220）
＝
＋
＋
＝
.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为
.
题型三 互斥事件、对立事件的概率
例3 某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求：
（1）P（A），P（B），P（C）；
（2）1张奖券的中奖概率；
（3）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
思维点拨 事件A、B、C两两互斥．
解
（1）P（A）＝
，P（B）＝
＝
，
P（C）＝
＝
.
故事件A，B，C的概率分别为
，
，
.
（2）1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．设“1张奖券中奖”这个事件为M，则M＝A＋B＋C.
∵A、B、C两两互斥，
∴P（M）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝
＝
.
故1张奖券的中奖概率为
.
（3）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，
∴P（N）＝1－P（A＋B）＝1－
＝
.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为
.
思维升华 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：
一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P（A）＝1－P（
）求解．当题目涉及“至多”“至少”型问题，多考虑间接法．
国家射击队的队员为在射击世锦赛上取得优异成绩，正在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：
命中环数
10环
9环
8环
7环
概率
0.32
0.28
0.18
0.12
求该射击队员射击一次：
（1）射中9环或10环的概率；
（2）命中不足8环的概率．
解 记事件“射击一次，命中k环”为Ak（k∈N，k≤10），则事件Ak彼此互斥．
（1）记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件的加法公式得P（A）＝P（A9）＋P（A10）＝0.28＋0.32＝0.60.
（2）设“射击一次，至少命中8环”的事件为B，则
表示事件“射击一次，命中不足8环”．
又B＝A8∪A9∪A10，由互斥事件概率的加法公式得
P（B）＝P（A8）＋P（A9）＋P（A10）
＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.
故P（
）＝1－P（B）＝1－0.78＝0.22.
因此，射击一次，命中不足8环的概率为0.22.
用正难则反思想求互斥事件的概率
典例：
（14分）某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.
一次购物量
1至4件
5至8件
9至12件
13至16件
17件及以上
顾客数（人）
x
30
25
y
10
结算时间
（分钟/人）
1
1.5
2
2.5
3
已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.
（1）确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．（将频率视为概率）
思维点拨 若某一事件包含的基本事件多，而它的对立事件包含的基本事件少，则可用“正难则反”思想求解．
规范解答
解
（1）由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，
所以x＝15，y＝20.[3分]
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为
＝1.9（分钟）．[7分]
（2）记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P（A1）＝
＝
，P（A2）＝
＝
.[10分]
P（A）＝1－P（A1）－P（A2）＝1－
－
＝
.[12分]
故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为
.[14分]
温馨提醒
（1）要准确理解题意，善于从图表信息中提炼数据关系，明确数字特征含义．
（2）正确判定事件间的关系，善于将所求事件转化为互斥事件的和或对立事件，切忌盲目代入概率加法公式．
易错提示
（1）对统计表的信息不理解，错求x，y难以用样本平均数估计总体．
（2）不能正确地把事件A转化为几个互斥事件的和或对立事件，导致计算错误.
方法与技巧
1．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
2．从集合角度理解互斥事件和对立事件
从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，事件A的对立事件
所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
失误与防范
1．正确认识互斥事件与对立事件的关系：
对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
2．需准确理解题意，特别留心“至多……”“至少……”“不少于……”等语句的含义.
A组 专项基础训练
（时间：
40分钟）
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是________．
①至多有一次中靶；②两次都中靶；
③只有一次中靶；④两次都不中靶．
答案 ④
解析 射击两次的结果有：
一次中靶；二次中靶；两次都不中靶，
故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．
2．下列命题：
①将一枚硬币抛两次，设事件M：
“两次出现正面”，事件N：
“只有一次出现反面”，则事件M与N互为对立事件；②若事件A与B互为对立事件，则事件A与B为互斥事件；③若事件A与B为互斥事件，则事件A与B互为对立事件；④若事件A与B互为对立事件，则事件A＋B为必然事件，其中，真命题是________．
答案 ②④
解析 对①一枚硬币抛两次，共出现{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}四种结果，则事件M与N是互斥事件，但不是对立事件，故①错；对②对立事件首先是互斥事件，故②正确；对③互斥事件不一定是对立事件，如①中两个事件，故③错；对④事件A、B为对立事件，则这一次试验中A、B一定有一个要发生，故④正确．
3．从6个男生2个女生中任选3人，则下列事件中必然事件是________．
①3个都是男生；②至少有1个男生；
③3个都是女生；④至少有1个女生．
答案 ②
解析 因为只有2名女生，所以选出的3人中至少有一个男生．
4．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是
，那么概率是
的事件是________．
①至多有一张移动卡；②恰有一张移动卡；
③都不是移动卡；④至少有一张移动卡．
答案 ①
解析 至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．
5．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：
①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；
②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；
③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品．
其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．
答案 ③ ② ①
6．甲、乙二人玩数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为______．
答案
解析 甲想一数字有3种结果，乙猜一数字有3种结果，基本事件总数为3×3＝9.
设甲、乙“心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|>1”，即|a－b|＝2包含2个基本事件，
∴P（B）＝
，
∴P（A）＝1－
＝
.
7．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率为0.42，摸出白球的概率为0.28，若红球有21个，则黑球有________个．
答案 15
解析 1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50，
50×0.30＝15.
8．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：
先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为________．
答案 0.25
解析 20组随机数中表示三次投篮恰好有两次命中的是191,271,932,812,393，其频率为
＝0.25，以此估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为0.25.
9．黄种人群中各种血型的人所占的百分比如下表所示：
血型
A
B
AB
O
该血型的人所占比/%
28
29
8
35
已知同种血型的人可以输血，O型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．小明是B型血，若小明因病需要输血，问：
（1）任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
（2）任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解
（1）对任一人，其血型为A，B，AB，O型血的事件分别记为A′，B′，C′，D′，它们是互斥的．
由已知，有P（A′）＝0.28，P（B′）＝0.29，P（C′）＝0.08，P（D′）＝0.35.
因为B，O型血可以输给B型血的人，故“可以输给B型血的人”为事件B′＋D′.
根据互斥事件的加法公式，
有P（B′＋D′）＝P（B′）＋P（D′）＝0.29＋0.35＝0.64.
（2）方法一 由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“不能输给B型血的人”为事件A′＋C′，且P（A′＋C′）＝P（A′）＋P（C′）＝0.28＋0.08＝0.36.
方法二 因为事件“其血可以输给B型血的人”与事件“其血不能输给B型血的人”是对立事件，故由对立事件的概率公式，有P（A′＋C′）＝P（B′＋D′）＝1－P（B′＋D′）＝1－0.64＝0.36.
10．对一批衬衣进行抽样检查，结果如表：
抽取件数n
50
100
200
500
600
700
800
次品件数m
0
2
12
27
27
35
40
次品率
（1）求次品出现的频率（次品率）；
（2）记“任取一件衬衣是次品”为事件A，求P（A）；
（3）为了保证买到次品的顾客能够及时更换，销售1000件衬衣，至少需进货多少件？
解
（1）次品率依次为0,0.02,0.06,0.054,0.045，0.05，0.05.
（2）由
（1）知，出现次品的频率
在0.05附近摆动，
故P（A）＝0.05.
（3）设进衬衣x件，
则x（1－0.05）≥1000，
解得x≥1053，
故至少需进货1053件．
B组 专项能力提升
（时间：
25分钟）
1．一个人掷骰子（均匀正方体形状的骰子）游戏，在他连续掷5次都掷出奇数点朝上的情况下，掷第6次奇数点朝上的概率是________．
答案
解析 无论哪一次掷骰子都有6种情况．
其中有3种奇数点朝上，另外3种偶数点朝上．
故掷第6次奇数点朝上的概率是
.
2．设事件A，B，已知P（A）＝
，P（B）＝
，P（A＋B）＝
，则A，B之间的关系一定为________．
①两个任意事件②互斥事件
③非互斥事件④对立事件
答案 ②
解析 因为P（A）＋P（B）＝
＋
＝
＝P（A＋B），
所以A，B之间的关系一定为互斥事件．
3．一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球，从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个，取得两个红球的概率为
，取得两个绿球的概率为
，则取得两个同颜色的球的概率为________；至少取得一个红球的概率为______．
答案
解析
（1）由于“取得两个红球”与“取得两个绿球”是互斥事件，取得两个同色球，只需两互斥事件有一个发生即可，因而取得两个同色球的概率为P＝
＋
＝
.
（2）由于事件A“至少取得一个红球”与事件B“取得两个绿球”是对立事件，则至少取得一个红球的概率为P（A）＝1－P（B）＝1－
＝
.
4.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39、32、33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．
现随机选取一个成员，他属于至少2个小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．
答案
解析 “至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为
P＝
＝
.
“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”．
故他属于不超过2个小组的概率是
P＝1－
＝
.
5.如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为________．
答案
解析 记其中被污损的数字为x，依题意得甲的五次综合测评的平均成绩是
（80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0）＝90，乙的五次综合测评的平均成绩是
（80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9）＝
（442＋x），令90>
（442＋x），解得x<8，所以x的可能取值是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为
＝
.
6．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间（分钟）
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
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