人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二含答案 57.docx

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人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二含答案57

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二（含答案）

如图，已知直线射线，。

是射线上一动点，过点作交射线于点，连结。

作，交直线于点，平分。

（1）若点都在点的右侧。

①求的度数；

②若，求的度数。

（2）在点的运动过程中，是否存在这样的情形，使，若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。

【答案】

（1）①40°；②60°；

（2）60°或15°.

【解析】

【分析】

（1）①根据平行线的性质可知，再结合角平分线的性质可求得，进而求解即可.

②根据平行线性质可得，结合已知条件且可求得,根据平行线性质进而可求得.

（2）根据已知条件设，则，分①当点在点的右侧时②当点在点的左侧时两种情况,结合已知条件进行求解即可.

【详解】

（1）①∵，，

∴，

∵，平分，

∴

②∵

∴，

，

∴

又∵，

∴

∴

∵

∴

（2）设，则，

①当点在点的右侧时，

则，

∵，

∴，解得，

∴

②当点在点的左侧时，

则，

∵，，

∴，解得，

∴

∴

∴

【点睛】

此题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，解题在于熟练掌握平行线和角平分线的性质运用以及分情况讨论问题.

62．如图，已知：

，．

（1）请找出图中一对全等的三角形，并说明理由；

（2）若，，求的度数．

【答案】

（1）△OAD≌△OBC，证明见解析；

（2）∠BED=40°

【解析】

【分析】

（1）由SAS可以判定△OAD≌△OBC

（2）△OAD≌△OBC可得∠D=∠C=25°利用三角形内角和为180°可得∠OBC=65°利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠BED的度数.

【详解】

解

（1）△OAD≌△OBC

理由：

在△OAD与△OBC中

∴△OAD≌△OBC（SAS）

（2）由

（1）可知：

△OAD≌△OBC

∴∠D=∠C

∵∠C=25°

∴∠D=25°

∵∠O=90°

∴∠OBC=180°-∠O-∠C

=180°-90°-25°

=65°

在△BDE中，∠OBC=∠D+∠BED

∴∠BED=∠OBC-∠D

=65°-25°

=40°

【点睛】

本题考查了全等的判定及性质，以及三角形内角和和外角和的性质，掌握全等的判定是解题的关键.

63．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：

①在河流的一侧岸边B点，选对岸正对的一棵树A；

②沿河岸直走20米有一树C，继续前行20米到达D处；

③从D处沿与河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走;

④测得DE的长为5米．

求河流的宽度是多少?

并说明理由．

【答案】河流的宽度是5m，证明见解析

【解析】

【分析】

）根据全等三角形对应角相等可得AB=DE；利用“角边角”证明Rt△ABC和Rt△EDC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．

【详解】

解：

河的宽度是5m；证明如下：

由作法知，BC=DC，∠ABC=∠EDC=90°，

在Rt△ABC和Rt△EDC中，

∴Rt△ABC≌Rt△EDC（ASA），

∴AB=ED=5，

即河流的宽度是5m

【点睛】

本题考查了全等三角形的应用，正确理解题中的测量距离是解题的关键.

64．背景知识：

如图，在中，，若，则：

．

（1）解决问题：

如图

（1），，，是过点的直线，过点作于点，连接，现尝试探究线段、、之间的数量关系：

过点作，与交于点，易发现图中出现了一对全等三角形，即，由此可得线段、、之间的数量关系是：

；

（2）类比探究：

将图

（1）中的绕点旋转到图

（2）的位置，其它条件不变，试探究线段、、之间的数量关系，并证明；

（3）拓展应用：

将图

（1）中的绕点旋转到图（3）的位置，其它条件不变，若，，则的长为（直接写结果）．

【答案】

（1）△EAC≌△BDC；BD+BA=；

（2）BD−BA=，证明见解析；（3）4.

【解析】

【分析】

（1）利用ASA证明出△EAC≌△BDC，从而得出AE=BD，EB=AE+AB=BD+AB，根据进一步得出答案即可；

（2）过C作EC⊥CB交MN于E，利用ASA证明△ACE≌△DCB，进而求得线段之间的关系，进一步求证即可；

（3）过C作EC⊥CB于MN于E，利用ASA证明△ACE≌△DCB，然后进一步即可求出AB的长.

【详解】

（1）∵，

∴∠ACE+∠ACB=90°，

∵，

∴∠BCD+∠ACB=90°

∴∠ACE=∠BCD，

在四边形ACDB中，

∵，，

∴∠CAB+∠D=180°，

∵∠CAB+∠EAC=180°

∴∠D=∠EAC，

在△EAC与△BDC中，

∵∠EAC=∠D，AC=DC，∠ACE=∠DCB，

∴△EAC≌△BDC（ASA），

∴AE=BD，EC=BC，

∴EB=AE+AB=BD+AB，

在Rt△ECB中，

∵EC=BC，

∴，

∴BD+BA=，

故答案为：

△EAC≌△BDC；BD+AB=；

（2）BD−BA=，

证明：

如图

（2），过C作EC⊥CB交MN于E，则∠ECB=90°，

∴∠ECB+∠BCA=∠ACD+∠BCA,

∴∠ECA=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠ABD=∠ACD=90°，

记AC与BD的交点为F，则∠BFA=∠DFC，

∴∠BAF=∠FDC，

在△ACE与△DCB中，

∵∠BAF=∠FDC，AC=DC，∠ECA=∠BCD，

∴△ACE≌△DCB（ASA），

∴AE=BD，CE=CB，

∴在Rt△BCE中，BE=，

∴BD=AE=BA+BE=BA+,

即：

BD−BA=；

（3）

如图（3）过C作EC⊥CB于MN于E，MN与CD相交于F，

∵∠ACD=∠ACF=90°，∠ECB=90°，

∴∠ACB+∠BCF=∠BCF+∠ECF，

∴∠ACB=∠ECF，

∴∠ACB+90°=∠ECF+90°，

∴∠ACE=∠BCD，

∵DB⊥MN，

∴∠CAE=90°−∠AFC，∠D=90°−∠BFD，

∵∠AFC=∠BFD，

∴∠CAE=∠D，

在△ACE与△DCB中，

∵∠ACE=∠BCD，AC=DC，∠CAE=∠D，

∴△ACE≌△DCB（ASA），

∴AE=DB，CE=CB，

∴△ECB为等腰直角三角形，

∴BE=，

又∵BE=AB−AE=AB−BD,

∴AB−BD=，

∵BD=2，BC=，

∴AB=4.

【点睛】

本题主要考查了全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.

65．如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝2CD，AB∥CD，∠C＝90°，E是BC的中点，AE与BD相交于点F，连接DE.

（1）求证：

△ABE≌△BCD；

（2）判断线段AE与BD的数量关系及位置关系，并说明理由；

（3）若CD＝1，试求△AED的面积．

【答案】

（1）见解析；

（2）AE＝BD，AE⊥BD，理由见解析；（3）△AED的面积为.

【解析】

【分析】

（1）由已知条件可推导得到，由SAS即可证明△ABE≌△BCD；

（2）由

（1）可得△ABE≌△BCD可得AE＝BD，再由角的转化可得∠AFB＝90°，即可证明AE⊥BD；

（3）因为△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积,即可求解△AED的面积．

【详解】

（1）证明：

∵AB∥CD，

∴∠ABE+∠C＝180°，

∵∠C＝90°，

∴∠ABE＝90°＝∠C，

∵E是BC的中点，

∴BC＝2BE，

∵BC＝2CD，

∴BE＝CD，

在△ABE和△BCD中，，

∴△ABE≌△BCD（SAS）；

（2）解：

AE＝BD，AE⊥BD，理由如下：

由

（1）得：

△ABE≌△BCD，

∴AE＝BD，

∵∠BAE＝∠CBD，∠ABF+∠CBD＝90°，

∴∠ABF+∠BAE＝90°，

∴∠AFB＝90°，

∴AE⊥BD；

（3）解：

∵△ABE≌△BCD，

∴BE＝CD＝1，

∵AB＝BC＝2CD＝2，

∴CE＝BC﹣BE＝1，

∴CE＝CD，

∴△AED的面积＝梯形ABCD的面积﹣△ABE的面积﹣△CDE的面积＝（1+2）×2﹣×2×1﹣×1×1＝

【点睛】

此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握性质证明三角形全等.

66．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF.

（1）求证：

AE⊥CF；

（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．

【答案】

（1）见解析；

（2）65°．

【解析】

【分析】

（1）运用HL定理直接证明△ABE≌△CBF，即可解决问题．

（2）证明∠BAE=∠BCF=25°；求出∠ACB=45°，即可解决问题．

【详解】

如图，延长AE交CF于点H，

在Rt△ABE与Rt△CBF中，

∴△ABE≌△CBF（HL）

∴∠BAE=∠BCF，

∵∠F+∠BCF=90°，

∴∠BAE+∠F=90°，

∴∠AHF=90°，

∴AE⊥CF

（2）∵AB=BC，∠ABC=90°，

∴∠ACB=45°=∠BAC，且∠CAE=25°，

∴∠BAE=20°，

∵△ABE≌△CBF，

∴∠BAE=∠BCF=20°，

∴∠ACF=65°．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定及其性质的应用问题，准确找出图形中隐含的相等或全等关系是解题的关键．

67．如图1，在△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，DE=AE，且∠B=∠C=∠DEA=β。

（1）求证：

△BDE≌△CEA

（2）当∠DEB=β时，

①求β的值;

②若将△AEC绕点E顺时针旋转，使得∠DEA=90°，如图2所示，其余条件不变，连结AB交CE的延长线于F，求证：

CF=CA.

【答案】

（1）见解析；

（2）①β=30°；②见解析.

【解析】

【分析】

（1）由△BDE的外角∠DEC=∠B+∠BDE和∠B=∠DEA，可推出∠BDE=∠AEC，再由条件DE=AE，∠B=∠C，根据角角边即可判定全等；

（2）①由△BDE≌△CEA可得∠CAE=∠DEB=β，在等腰三角形ADE中可求出

∠DAE=，然后在△ABC中，利用内角和180°建立方程可求解；

②

【详解】

（1）证明：

∵∠DEC=∠B+∠BDE，∠B=∠DEA

∴∠BDE=∠AEC

在△BDE和△CEA中，

∴

（2）①∵

∴∠CAE=∠DEB=β，

在△ADE中，DE=AE，∠DEA=β

∴∠ADE=∠DAE=

在△ABC中∠B+∠C+∠DAE+∠CAE=180°

即

解得

②由①得图1中∠C=∠B=∠DEA=，

∴∠ADE=∠DAE==75°

∵∠ADE=∠B+∠BED，∴∠BED=45°，

然后在图2中延长BE交AC于点G，过D作DH⊥BE于H，如下图所示，

则△DEH为等腰直角三角形，DH=HE，

∵旋转前∠DEA=30°，旋转后为90°，

∴△AEC绕点E顺时针旋转60°，

∴∠CEG=∠BEF=60°，

又∵∠C=30°，∴∠EGC=90°，∠CAE=∠BED=45°，

∴△AEG也为等腰直角三角形，

在△DEH和△AEG中，

∴

∴DH=HE=EG=AG

设DH=a，则HG=2a，

∵在RT△ADE中，DE=AE，∴∠ADE=45°=∠BED

∴AD∥BG，又∵DH⊥HG，AG⊥HG，

∴四边形ADHG为矩形，

∴AD=HG=2a，

在Rt△BDH中，