数学思维训练教材六年级上册.docx
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数学思维训练教材六年级上册
第1讲比较大小„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1第2讲速算与巧算„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4第3讲比的意义和应用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„7第4讲按比例分配„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10第5讲分数应用题
（一）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„13第6讲分数应用题
（二）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„15第7讲列方程解分数应用题„„“„„„„„„„„„„„„„„„„17第8讲百分数应用题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„19第9讲单位“1”的妙用„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„21第10讲倒推法解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„23第11讲对应法解题„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„25第12讲利润和利息„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„27第13讲巧算周长„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„29第14讲智求面积„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„32第15讲鸡兔同笼„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„35思维训练检测
（一）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„37思维训练检测
（二）„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„49
第1讲比较大小
在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：
23101215
（1）比较这几个分数的大小：
、、、、57372329
55555
（2）试比较和，那个分数大？
7777777
„„
如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。
本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。
23941例1：
已知A1=B=C=D=E1（ABCDE都不等于0），453105
将A、、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。
分析与解为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来
21945的算式就变成A1=B1=C=D=E。
下面我们可以运用倒数的知识来解决563310
这一问题。
23首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。
那么，A就是1的倒数，即；同53
3111理，B应是，C是1，D是1，E是1。
这样，我们很容易就能比较出这五个数的4594
大小。
11133因为1＞1＞1＞＞,所以D＞E＞C＞B＞A.54549
随堂练习一：
254如果a=b1=c=d（a、b、c、d均不等于0），a、b、c、d四个数中，谁最大?
556
谁最小？
23101215例2：
将下列分数从小到大排列起来：
、、、、。
57372329
分析与解比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。
就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。
因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数的基本性质，可以把它们分别化6060606060为：
、、、、。
150********5148
60606060602由150＞148＞145＞140＞138，可以得到：
﹤﹤﹤﹤，即150********01385
1512310﹤﹤﹤﹤。
3729723
方法点评如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。
我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。
1
随堂练习二：
把下列分数按从小到大的顺序排列起来。
56151030、、、、4617193337
5555553666661例3：
已知A=，B=。
试比较A与B的大小。
5555555666663
分析与解这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。
但仔细观察，可以发现：
这两个分数的分子都比分母小2。
我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。
因为比A比1少2222，B比1少，而﹤，所以A﹥B。
55555556666635555555666663
方法点评如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。
随堂练习三：
试比较下列两个分数的大小。
443557
445和559
例4：
比较55555和，那个分数大？
7777777
分析与解这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。
仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。
想一想，这是为什么？
55755577755555的倒数是14的倒数是14，因为14﹥14，所以﹤。
557777555555557777777777
方法点评从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。
随堂练习四：
试比较1917和的大小。
192172
例5：
试比较下面两个分数的大小。
12072207和10062006
分析与解观察这两个分数，你会发现用上面的几种方法无法解答。
但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个2
12072207的分子与分母都加上同一个数：
1000，就正好等于第二个分数。
10062006
aak方法点评当a﹥b时，﹥,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，bbk
12072207得到的新分数比原分数小，所以﹥。
同理，一个真分数的分子和分母都加上10062006
同一个数，得到的分数比原分数大。
分数
随堂练习五：
比较29129与的大小23123
拓展训练
1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。
1836314715、、、、1937481632
2、比较下面两个分数的大小。
499501和9991001
2214433、比较和的大小。
332665
98765432198765432120094、比较与的大小。
1234567891234567892009
71717171715、比较与的大小。
8383838383
3
第2讲速算与巧算
专题简析：
学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。
因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。
本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。
例1：
计算下面各题。
12003
（1）649
（2）20032003172004
分析与解同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了这两道题目后，都会
1分成一个917
的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例
（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。
12003
（1）649
（2）20032003172004
12003=（63+1）9=（20032003）（20032003）172004
12003=639+19=1（20032003+2003）172004
1811=7+=111792004
22004=7=200517
方法点评：
有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想，就会发现：
可以把
（1）64时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。
随堂练习一：
计算：
（1）5555167
（2）16716716856
111111111111例2：
计算：
（1+）（1+）—（1+）（）345645453456
分析与解这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。
111111设=A1+=B，原来的算式可以转化成：
345645
（1+A）B-BA
=B+AB-AB
=B
119所以本题的结果为：
1+=14520
4
方法点评：
用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。
随堂练习二：
计算：
（1+35723572357357）×（+）-（1++）×（）78957895789789例3：
计算
112112321...122233333
123484950494821......50505050505050505050
分析与解这组分数的特点是：
分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个„„且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5…这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）×项数÷2=数列的和。
原式=1+2+3+4+…+49+50
=（1+50）×50÷2
=1275
方法点评：
在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。
随堂练习三：
计算：
112112*********01921...+......1222333332020202020202020例4：
225511）÷（）11131113
200220022002200220022002
（2）200320032003200320032003计算：
（1）（13
分析与解
（1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现：
2214514511551111==145×（）,=5×（）.所以，111311*********31113
145145551111原式=（）÷（）=145×（）÷5×（）=145÷5=29111311*********3
（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。
因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。
因为2002=2002×1
20022002=2002×10001
200220022002=2002×1000110001
所以2002+20022002+200220022002=2002×（1+10001+100010001）
同理2003+20032003+200320032003=2003×（1+10001+100010001）13
原式=
2002（110001100010001）2002=2003（110001100010001）20035
随堂练习四：
114411）÷（）119119
17171717171717171717
（2）23232323232323232323
1111...例5：
计算1223341920计算：
（1）（9
分析与解这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。
下面我们来分析一下：
11111111=1-，=，….=122232319201920
111111111...=1-++…+12233419202231920
1=1-20
19=20
方法点评：
这种把一个分数拆成两个分数的差或和的方法，叫做裂项法。
但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。
1111当a﹤b时,=（）×abbaab
随堂练习五：
计算111...122399100
拓展训练
11111111111.、计算（1+）×（+）-（1++）×（）4545645645
246983599......2、计算（）-（）343343343343686686686
1919191919191919191919191919193、计算232323232323232323232323232323
111114、计算144771010131316
1111115、计算（1+）×（1-）×（1+）×（1-）ׄ×（1+）×（1-）22335050
6
第3讲比的意义和应用
比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。
在这一讲，我们一起研究这方面的知识。
例1：
两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是1︰2,另一只杯子中盐与比是1︰5。
若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？
分析与解要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占1215，水占；第二只杯子中的盐占，水占。
两只杯子中的盐水混合后，12121515
111253盐为+=，水为+=。
所以，混合液中的盐与水的比为：
1215212152
1125（+）︰（+）12151215
13=︰22
=1︰3。
答：
混合后，盐与水的比为1︰3。
方法点评：
求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。
随堂练习一：
六年
（1）班男、女人数的比是5︰4，六年
（2）班男、女人数的比是2︰1，两班人数相等。
求六年
（1）班男男生与六年
（2）班男生的人数比。
1例2：
如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，4
1占正方形面积的，三角形中阴影部分的面积占三角形面3
11积的，占正方形面积的。
圆，正方形、三角形面积的54
最简整数比是多少?
分析与解要求圆、正方形、三角形面积的最简整
数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形
11的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:
12×÷=16；三角形34
1111的面积为：
12×÷=15。
所以这三个图形的面积比就是：
（12×÷）︰12︰（124534
11×÷）=16︰12︰1545
方法点评在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，
然后根据条件7
计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。
随堂练习二：
如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长11方形面积的，相当于小长方形面积的。
这两个74
长方形的面积比是多少？
例3：
有大小两个长方形，大长方形的长比11，而小长方形的宽比大长方形的宽多.。
求这两个长方形的面积比。
410
1分析与解大长方形的长比小长方形的长多，可以把小长方形的长看做4份，4
1大长方形的长就是1+4=5份；小长方形的宽比大长方形的宽多.。
可以理解成八大长10
方形的宽看做10份，小长方形的宽是1+10=11份。
所以，这两个长方形的面积比为：
（5×10）︰（4×11）
=55︰44
=25︰22
答：
大小两个长方形的面积比为25︰22。
小长方形的长多
随堂练习三：
有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多
比。
23451。
求两个正方形的周长4例4：
六年
（1）班男人数的与女生人数的相等，已知男生比女生多5人，这
个班男、女生各有多少人？
分析与解根据男人数的与女生人数的相等，可以列出数量关系：
男生人数×24=女生人数×。
35
2423假设男人数的与女生人数的都是1，则男生人数为1=；女生人数为3532
451=。
所以，男、女生人数的比为：
54
24
（1）︰
（1）35
35=︰24
=6︰5
每一份的人数就是：
5÷（6-5）=5（人）
男生人数就是：
5×6=30（人）
女生人数就是：
5×5=25（人）
答：
男生有30人，女生有25人。
82345
随堂练习四：
拔一根绳子按5︰3截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2米。
这根绳子原来全长多少米？
例5：
小丽读一本书，已读的页数和未读的页数的比是1︰5，若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3︰5。
这本书共有多少页？
分析与解根据“已读的页数和未读的页数的比1︰5”可知，把未读的页数看做
1。
若再读15
45页，则已读的页数和未读的页数的比是3︰5.即把这时已读的页数看做3份，未读的
3页数看做5份，总页数就是3+5=8份，这时已读的页数占总数的。
45页占总页数的35
315-=，这本书共有的页数是：
351524
3145÷（-）3515
5=45÷24
=216（页）
答：
这本书共有216页。
1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份，已读的页数占总页数的
随堂练习五：
一条路，已修的米数和未修的米数比为2︰3，后来又修了2000米，这时已修的米数与未修的米数比为3︰2。
这条路全长多少米？
拓展训练
1、两个西服厂，一个月后，再加满蒸馏水。
求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。
4、一个长方形长与宽的为7︰3，如果把长减少12厘米，宽增加16厘米，正好变成一个正方形。
这个长方形的面积是多少平方厘米？
5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为10︰1，当水面下降20厘米后，露出水面那部分的长度之比为5︰2。
求木桩原来露出的部分是多少厘米？
9
第4讲按比例分配
例1：
有一块长方形的土地，测得周长为60米，.长与宽的比是3︰2.求这块地的
面积。
分析与解求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为60米，那么，
长与宽的和就是：
60÷2=30（m）；它的长就是：
30×
2=12（米。
）至此，长方形的面积很容易求出。
23
60÷2=30（m）
330×=18（米）23
330×=18（米）23
18×12=216（平方米）3=18（米）；它的宽就是：
30×23
答：
这块长方形土地的面积是216平方米。
方法点评：
此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，
进而求出它的面积。
随堂练习一：
长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为5︰4︰2.这个长方体的体积
是多少立方厘米？
例2：
西园村挖一条水渠，全长420米，第一、二两队所挖米数比是3︰4，第二、
三两队所挖米数比是6︰7。
三个队各挖了多少米？
分析与解我们注意到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在
这两个比中所占的份数却不同。
因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。
这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。
第一队︰第二队︰第三队
3︰4=（3×3）︰（4×3）=9︰12
6︰7=（6×2）︰（7×2）=12︰14
这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为9︰12︰14，下面只需将420
米按比例分配就行了。
9+12+14=35
9420×=108（米）35
12420×=144（米）35
14420×=168（米）35
答：
第一队挖了108米，第二队挖了144米，第三队挖了168米。
10
方法点评：
这道题的解题关键是：
应用比的基本性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。
随堂练习二：
人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为5︰4，第二批与第三批的人数比为3︰2.已知六年级共有学生210人，第二批有多少人？
例3：
工厂把10000元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是3︰2，第三车间比第二车间多200元。
三个车间各得多少元？
分析与解根据题意，把第一车间所得奖金看做3份，第二车间所得奖金数是2份，第三车间所得将金属应为2份多200元。
从10000元奖金中先拿出200元给第三车间，那么剩下的9800元中，三个车间应得奖金的比是322，再按比例进行分配。
最后第三车间的奖金加上先分得的200元就行了。
3+2+2=7
10000-200=9800（元）
39800×=4200（元）7
29800×=2800（元）7
2800+200=3000（元）
答：
第一车间分得4200元，第二车间分得2800元，第三车间分得3000元。
随堂练习三：
甲、乙、丙三堆煤共450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为5︰4，丙堆煤的重量是乙堆煤的1.5倍。
三堆煤各重多少吨?
1例4：
A、B两桶油共重90千克，若把A桶中油的倒入B桶，则两桶油的重量4
比是1︰2.A、B两桶油原来各多少千克？
1分析与解把A桶油的倒入B桶，两桶油的总重量没有变，还是90千克。
因4
11此可以按比例分配求出现在A桶油的重量：
90×=30（千克）。
A桶倒出后是30124
3千克，即30千克占A桶油原有油的，这样可以倒推A桶原有油的重量。
则就可求出B4
桶油的重量。
190×=30（千克）12
330÷=40（千克）4
90－40=50（千克）
答：
A桶原有油40千克，B桶原有油50千克。
方法点评解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出A桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。
随堂练习四：
11
1放入第二个书架，则第一个书4
架上的书与第二个书架上的书的本数比是9︰11.两个书架上原来各有多少本书？
两个书架一共放书360本，如果从第一个书架取出
例5：
水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。
出售时，苹果、橘子、和香蕉每千克的价格比为4︰5︰6.已知上周这三种水果售出数量比是3︰2︰4，又知苹果共卖得2160元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？
分析与解根据这三种水果的单价比为4︰5︰6.，以及数量比为3︰2︰4，可以先计算出这三种水果的总价比（4×3）︰（5×2）︰（6×4）=12︰10︰24=6︰5︰12由此66可知，苹果的总价占售出水果总价的。
因此售出水果的总价很容易求出。
651223
（4×3）︰（5×2）︰（6×4）=6︰5︰12
62160÷=8280（元）23
答：
这个批发部上周售出水果的总价为8280元。
方法点评解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。
随堂练习五：
甲乙两个三角形，他们的底边之比为2︰3，高之比为3︰5.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30平方厘米，求这两个三角形的面积。
拓展训练
1、一个长方体，长、宽、高的比是4︰3︰7.已知这个长方体的底面周长为56厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
2、甲数和乙数的比是23，乙数和丙数的比是45，甲数和丙数的比是多少？
33、大、小两筐苹果共60千克，把大筐苹果重量的放入小筐后，大、小两筐苹果7
的重量比为2︰3。
大、小两筐原来各装多少千克苹果？
4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为4︰9︰5.两天后，三种水果工卖出
1780千克，这时苹果还余50千克，梨还余20千克，橘子余下的是卖出的。
原来三种水4
果各有多少千克？
5、学校田径队和游泳队共有32个男生、18个女生。
已知田径队中男生人数与女生人数的比为5︰3，游泳队中男生人数与女生人
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