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1、数学思维训练教材六年级上册第1讲 比较大小 1 第2讲 速算与巧算 4 第3讲 比的意义和应用 7 第4讲 按比例分配10 第5讲 分数应用题（一）13 第6讲 分数应用题（二）15 第7讲 列方程解分数应用题“17 第8讲 百分数应用题19 第9讲 单位“1”的妙用 21 第10讲 倒推法解题23 第11讲 对应法解题25 第12讲 利润和利息27 第13讲 巧算周长29 第14讲 智求面积32 第15讲 鸡兔同笼35 思维训练检测（一）37 思维训练检测（二）49 第1讲 比较大小在平时数学学习，尤其是数学竞赛中，我们经常遇到一些题目：23101215（1）比较这几个分数的大小： 、 57

2、37232955555（2）试比较和，那个分数大？ 7777777如果我们不去研究其中的规律，相信大家一定会很难解决这样的题目。本讲，我们主要来讲一讲有关比较大小的一些知识和方法。23941例1： 已知A 1=B = C = D =E 1(ABCDE都不等于0)，453105将A、B、C、D、E按从大倒小的顺序排叠起来。分析与解 为了方便比较，我们首先将这五个算式统一写成乘法形式，这样原来21945的算式就变成A 1=B 1=C =D =E 。下面我们可以运用倒数的知识来解决563310这一问题。23首先我们可以假设所有算式的运算结果等于1。那么，A就是1的倒数，即；同533111理，B应是，

3、C是1，D是1，E是1。这样，我们很容易就能比较出这五个数的4594大小。 11133因为111,所以DECBA. 54549随堂练习一：254如果a=b 1=c=d (a、b、c、d均不等于0)，a、b、c、d四个数中，谁最大?556谁最小？23101215例2：将下列分数从小到大排列起来： 、。 57372329分析与解 比较几个分数的大小，课本上介绍的主要方法是先通分，再比较大小。就本题而言，如果用通分再比较，太麻烦，我们可以根据“同分子的分数，分母大的分数反而小”这一性质，把这几个分数先化成同分子的分数，在进行比较就比较容易了。因为2、3、10、12、15、的最小公倍数是60，根据分数

4、的基本性质，可以把它们分别化6060606060为：、。 150*514860606060602由150148 145 140 138，可以得到：，即150*013851512310。 3729723方法点评 如果几个分数的公分母比较大时，采用先通分、再比较的方法比较复杂。我们可以考虑将这些分数先化成同分子的分数，再比较大小。1随堂练习二：把下列分数按从小到大的顺序排列起来。56151030、 46171933375555553666661例3：已知A=，B=。试比较A与B的大小。 5555555666663分析与解 这两个分数的分子与分母的值都比较大，无论采用“先同分、再比较”，还是“先化成

5、同分子的分数，再比较”的方法，都不容易。但仔细观察，可以发现：这两个分数的分子都比分母小2。我们可以根据这一特点，先比较这两个分数与1的差，再确定这两个分数的大小，这种比较方法我们把它称为“间接比较法”。因为比A比1少2222，B比1少，而，所以AB。 55555556666635555555666663方法点评 如果两分数的分子与分母的差相等时，我们可以用间接比较法，即先比较这两个分数与1的差，再确定这两个数的大小。随堂练习三：试比较下列两个分数的大小。443557445和559例4：比较55555和，那个分数大？ 7777777分析与解 这道题中的两个分数与上面几个题中的分数有所不同，虽然

6、也可以采用通分或化成同分子的分数的方法，但显然不是最佳方法。仔细分析这两个数，可以发现这两个数的分母都比分子的14倍多7，所以我们可以线比较它们的倒数的大小，倒数大的那个分数的值比较小。想一想，这是为什么？55755577755555的倒数是14的倒数是14，因为1414，所以。 557777555555557777777777方法点评 从本题可以看出，如果两个分数的分子与分母具有相同的倍数关系，而且余数相同，采用比较倒数的方法比较简便。随堂练习四： 试比较1917和的大小。 192172例5：试比较下面两个分数的大小。12072207和 10062006分析与解 观察这两个分数，你会发现用上

7、面的几种方法无法解答。但分析其中的数据，你会发现，第二个分数的分子2207=1207+1000，分母2006=1006+1000，即第一个 212072207的分子与分母都加上同一个数：1000，就正好等于第二个分数。 10062006aa k方法点评 当ab 时， ,即一个分数的分子和分母都加上同一个数，bb k12072207得到的新分数比原分数小，所以。同理，一个真分数的分子和分母都加上10062006同一个数，得到的分数比原分数大。 分数随堂练习五： 比较29129与的大小 23123拓展训练1、把下面及格分数按照从大到小的顺序起来。1836314715、 19374816322、比较

8、下面两个分数的大小。499501和 99910012214433、比较和的大小。 332665987654321987 654321 20094、比较与的大小。 123456789123456789 200971717171715、比较与的大小。 8383838383 3第2讲 速算与巧算专题简析：学习数学离不开数的计算，而学习数学的最终目的在于运用所学的数学知识、技能来解决实际问题。因此，要学好数学，就必须做到计算准确而又迅速。本讲就介绍一些速算与巧算的技巧。例1：计算下面各题。12003（1）64 9 （2）2003 2003172004分析与解 同学们都会计算带分数除法，但相信同学们看了

9、这两道题目后，都会1分成一个917的倍数与另一个较小得数，再利用除法的性质就可以使计算简便；把例（2）中的被除数和除数利用商不变的性质，同时除以2003后，计算就很简便了。12003（1）64 9 （2）2003 200317200412003 =（63+1） 9 =（2003 2003） （2003 2003）17200412003 =63 9 + 1 9 =1 （2003 2003+ 2003） 1720041811 =7+ =1 1 179200422004 =7 = 200517方法点评：有些分数四则运算用一般的方法既麻烦又费时，而且有容易出错，这感到计算太麻烦，如果我们开动脑筋想一想

10、，就会发现：可以把（1）64时可以通过款差题目中的数据特点，把一个数拆成几个数，在计算，往往可以达到事半功倍的效果。随堂练习一：计算：（1）55 55167 （2）167 167 16856111111111111例2：计算：（1+ ） （1+ ）（1+ ） （ ） 345645453456分析与解 这道题虽然算式很长，但仔细分析其中的数据，可以发现组成这个算式的数并不多，我们可以把重复出现的数用字母表示，这样可以简化题意，方便简算。 111111设 =A 1+ =B，原来的算式可以转化成： 345645（1+A） B-B A=B+AB-AB=B119所以本题的结果为：1+ =1 45204方

11、法点评：用字母是可以使复杂的算式变得简洁，有助于我们发现规律。 随堂练习二：计算：（1+35723572357357 ）（+ ）-（1+ ）（ ） 78957895789789例3：计算112112321 .122233333123484950494821 . . 50505050505050505050分析与解 这组分数的特点是：分母为1的分数有1个，分母为2的分数有3个，分母为3的分数有5个且同分母的分数的和依次为1，2，3，4，5这是一个扥差数列，可以直接利用等差数列求和公式来计算，即（首项+末项）项数2=数列的和。原式=1+2+3+4+49+50=（1+50）502=1275方法点评：

12、在数列求和中，发现与研究数列规律是解决有关问题的前提，灵活选用合适的方法是基本策略，转化与分组是主要方法和技巧。随堂练习三：计算：112112*01921 .+ . . 1222333332020202020202020例4：2255 11）（ ） 111311132002 20022002 200220022002（2） 2003 20032003 200320032003计算：（1）（13分析与解 （1）被除数与除数中两个分数的分母分别相同，经试验发现： 22145145115511 11= =145( ), =5( ).所以， 111311*31113145145551111 原式=（）

13、（ ）=145( )5( )=1455=29 111311*3（2）我们注意到，这个分数的分子与分母尽管数据很长，但每个数据分别是由2002和2003组成。因而我们可以先采用分解质因数，找出其中的规律，再进行简便计算。因为2002=2002120022002=200210001200220022002=20021000110001所以2002+20022002+200220022002=2002（1+10001+100010001）同理2003+20032003+200320032003=2003（1+10001+100010001） 13原式=2002 (1 10001 100010001)

14、2002= 2003 (1 10001 100010001)20035随堂练习四：1144 11）（ ） 11911917 1717 171717 17171717（2） 23 2323 232323 232323231111 . 例5：计算 1 22 33 419 20计算：（1）（9分析与解 这道题的加数很多，如果采用同分后计算公分母一定很大，这显然不切合实际。下面我们来分析一下：11111111=1-，= ，.= 1 222 32319 201920111111111 . =1-+ + 1 22 33 419 2022319201=1- 2019= 20方法点评：这种把一个分数拆成两个分

15、数的差或和的方法，叫做裂项法。但是需要指出的是，题中每个分数的分母是两个连续自然数的乘积，如果不是，方法就不同了，裂项法的主要计算方法可以用下面公式来概括。1111当ab时, = ( ) abb aa b随堂练习五：计算111 . 1 22 399 100拓展训练11111111111.、计算（1+ ） （ +）-（1+ +） （ ） 4545645645246983599 . . 2、计算（） -（） 34334334334368668668619 1919 191919 19191919 19191919193、计算 23 2323 232323 23232323 232323232311

16、111 4、计算1 44 77 1010 1313 161111115、计算（1+） （1-）（1+）（1-）（1+）（1-） 223350506 第3讲 比的意义和应用比有奇妙的作用，在许多分数、百分数应用题中，如果恰当运用比的知识，你会真正理解什么是“事半功倍”。在这一讲，我们一起研究这方面的知识。例1：两只相同的杯子中装满盐水，一只杯子中盐与水的比是12,另一只杯子中盐与比是15 。若把两杯盐水混合在一起，这时盐与水的比是多少？分析与解 要求混合液中的盐与水的比是多少，只要求出混合液中盐与水分别是多少就行了，因为两只杯子相同，所以设每只杯子中的盐水为1，则第一支杯子中的盐占1215，水占

17、；第二只杯子中的盐占，水占。两只杯子中的盐水混合后，1 21 21 51 5111253盐为+=，水为+=。所以，混合液中的盐与水的比为： 1 21 521 21 521125（+）（+） 1 21 51 21 513= 22=13。答：混合后，盐与水 的比为13。方法点评：求两个量的比时，首先要能正确分析与计算每个量所占的份数或分率，然后再进行解答。随堂练习一：六年（1）班男、女人数的比是54，六年（2）班男、女人数的比是21，两班人数相等。求六年（1）班男男生与六年（2）班男生的人数比。1例2：如右图，原形中的阴影部分面积占圆面积的，41占正方形面积的，三角形中阴影部分的面积占三角形面31

18、1积的，占正方形面积的。圆，正方形、三角形面积的54最简整数比是多少?分析与解 要求圆、正方形、三角形面积的最简整数比是多少，只需知道这三个图形的面积各是多少就行了，因为圆和三角形都与正方形11的面积有关，我们就设正方形的面积为12，那么圆的面积就是:12=16；三角形341111的面积为： 12=15。所以这三个图形的面积比就是：（12）12（12453411）=161215 45方法点评 在求几个量的比时，我们可以先假设其中一个量等于几，然后根据条件 7计算出其他量，再求比，这样解决问题比较容易。随堂练习二：如图，两个长方形重叠部分的面积相当于大长11方形面积的，相当于小长方形面积的。这两

19、个74长方形的面积比是多少？例3：有大小两个长方形，大长方形的长比11，而小长方形的宽比大长方形的宽多.。求这两个长方形的面积比。 4101分析与解 大长方形的长比小长方形的长多，可以把小长方形的长看做4份，41大长方形的长就是1+4=5份；小长方形的宽比大长方形的宽多.。可以理解成八大长10方形的宽看做10份，小长方形的宽是1+10=11份。所以，这两个长方形的面积比为：(510) (411)=5544= 2522答：大小两个长方形的面积比为 2522 。 小长方形的长多随堂练习三：有大小两个正方形，大正方形的边长比小正方形的边长多比。23451。求两个正方形的周长4例4：六年（1）班男人数

20、的与女生人数的相等，已知男生比女生多5人，这个班男、女生各有多少人？分析与解 根据男人数的与女生人数的相等，可以列出数量关系：男生人数24=女生人数。 352423假设男人数的与女生人数的都是1，则男生人数为1 =；女生人数为3532451 =。所以，男、女生人数的比为： 5424（1 ）（1 ） 3535= 24=65每一份的人数就是：5（6-5）=5（人）男生人数就是：56=30（人）女生人数就是：55=25（人）答：男生有30人，女生有25人。 8 2345随堂练习四：拔一根绳子按53截成甲、乙两段，已知乙比甲短1.2米。这根绳子原来全长多少米？例5： 小丽读一本书，已读的页数和未读的页

21、数 的比是 15 ，若再读45页，则已读的页数和未读的页数的比是3 5。这本书共有多少页？分析与解 根据“已读的页数和未读的页数的比15”可知，把未读的页数看做1。若再读1 545页，则已读的页数和未读的页数的比是3 5.即把这时已读的页数看做3份，未读的3页数看做5份，总页数就是3+5=8份，这时已读的页数占总数的。45页占总页数的3 5315-=，这本书共有的页数是： 3 51 5243145（-） 3 51 55=45 24=216（页）答 ：这本书共有216页。 1份，未读的页数看5份，总页数就是1+5=6份，已读的页数占总页数的随堂练习五：一条路，已修的米数和未修的米数比为23，后来

22、又修了2000米，这时已修的米数与未修的米数比为32。这条路全长多少米？拓展训练1、两个西服厂，一个月后，再加满蒸馏水。求这时瓶里蒸馏水与纯酒精的比。4、一个长方形长与宽的为73，如果把长减少 12厘米，宽增加16厘米，正好变成一个正方形。这个长方形的面积是多少平方厘米？5、水池里直立着两根木桩，露出水面部分的长度比为101，当水面下降20厘米后，露出水面那部分的长度之比为52。求木桩原来露出的部分是多少厘米？9 第4讲 按比例分配例1：有一块长方形的土地，测得周长为60米，. 长与宽的比是32.求这块地的面积。分析与解 求长方形的面积必须知道长与宽，已知长方形的周长为60米，那么，长与宽的和

23、就是：602=30(m)；它的长就是：302=12（米。）至此，长方形的面积很容易求出。 2 3602=30(m)330=18（米） 2 3330=18（米） 2 31812=216（平方米） 3=18（米）；它的宽就是：302 3答：这块长方形土地的面积是216平方米。方法点评：此题的解题关键是先求出长与宽的和，然后在按比例分配球出长与宽，进而求出它的面积。随堂练习一：长方体的棱长总和为220厘米，已知长、宽、高的比为542.这个长方体的体积是多少立方厘米？例2：西园村挖一条水渠，全长420米，第一、二两队所挖米数比是34，第二、三两队所挖米数比是67。三个队各挖了多少米？分析与解 我们注意

24、到，这题给出两个比，两个比中都含有第二队，但第二队在这两个比中所占的份数却不同。因此，要解决问题，必须首先把这两个比进行统一，转化成连比。这里利用比的基本性质，把两个比中的第二队所占的份数转化为相同。第一队第二队第三队34=（33）（43）=91267=（62）（72）=1214这样，我们可以得到第一、二、三队所挖的米数比为91214，下面只需将420米按比例分配就行了。9+12+14=359420=108（米） 3512420=144（米 ） 3514420=168（米 ） 35答：第一队挖了108米，第二队挖了144米 ，第三队挖了168米 。10方法点评：这道题的解题关键是：应用比的基本

25、性质，把三个队的米数之间的联系有两个独立的比转化成一个连比。随堂练习二：人民路小学六年级的学生分三批去幼儿园参观海狮表演，第一批与第二批的人数比为54，第二批与第三批的人数比为32.已知六年级共有学生210人，第二批有多少人？例3： 工厂把10000元奖金分给三个车间，第一车间与第二车间所得奖金的比是32，第三车间比第二车间多200元。三个车间各得多少元？分析与解 根据题意，把第一车间所得奖金看做3份，第二车间所得奖金数是2份，第三车间所得将金属应为2份多200元。从10000元奖金中先拿出200元给第三车间，那么剩下的9800元中，三个车间应得奖金的比是322，再按比例进行分配。最后第三车间

26、的奖金加上先分得的200元就行了。3+2+2=710000-200=9800（元）39800=4200（元） 729800=2800（元） 72800+200=3000（元）答：第一车间分得4200元，第二车间分得2800元，第三车间分得3000元。 随堂练习三：甲、乙、丙三堆煤共450吨，甲堆煤与乙堆煤的重量比为54，丙堆煤的重量是乙堆煤的1.5倍。三堆煤各重多少吨?1例4：A、B两桶油共重90千克，若把A桶中油的倒入B桶，则两桶油的重量4比是12. A 、B两桶油原来各多少千克？1分析与解 把A桶油的倒入B桶，两桶油的总重量没有变，还是90千克。因411此可以按比例分配求出现在A桶油的重量

27、：90=30（千克）。A桶倒出后是301 243千克，即30千克占A桶油原有油的，这样可以倒推A桶原有油的重量。则就可求出B4桶油的重量。190=30（千克） 1 2330=40（千克） 49040=50（千克）答 ：A桶原有油40千克，B桶原有油50千克。方法点评 解决这道题的关键是抓住两桶油的总重量不变，先求出A桶油现在的重量，再倒推出原有油的重量。随堂练习四：111放入第二个书架，则第一个书4架上的书与第二个书架上的书的本数比是911.两个书架上原来各有多少本书？ 两个书架一共放书360本，如果从第一个书架取出例5：水果批发部运来苹果、橘子、和香蕉三种水果。出售时，苹果、橘子、和香蕉每千

28、克的价格比为456.已知上周这三种水果售出数量比是324，又知苹果共卖得2160元，这个批发部上周出售水果的收入是多少元？分析与解 根据这三种水果的单价比为456.，以及数量比为324，可以先计算出这三种水果的总价比（43）（52）（64）=121024=6512由此66 可知，苹果的总价占售出水果总价的。因此售出水果的总价很容易求出。 6 5 1223（43）（52）（64）=651262160=8280（元） 23答：这个批发部上周售出水果的总价为8280元。方法点评 解答这个题的关键是根据三种水果的单价比和数量比，先求出总价比，进而求出总价。随堂练习五：甲乙两个三角形，他们的底边之比为2

29、3，高之比为35.已知甲三角形的面积比乙三角形的面积小30平方厘米，求这两个三角形的面积。拓展训练1、一个长方体，长、宽、高的比是437.已知这个长方体的底面周长为56厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？2、甲数和乙数的比是23，乙数和丙数的比是45，甲数和丙数的比是多少？33、大、小两筐苹果共60千克，把大筐苹果重量的放入小筐后，大、小两筐苹果7的重量比为23。大、小两筐原来各装多少千克苹果？4、商店现有梨、苹果、橘子若干千克，重量比为495.两天后，三种水果工卖出1780千克，这时苹果还余50千克，梨还余20千克，橘子余下的是卖出的。原来三种水4果各有多少千克？5、学校田径队和游泳队共有32个男生、18个女生。已知田径队中男生人数与女生人数的比为53，游泳队中男生人数与女生人