∴
(等号不能同时取到),∴-1≤a≤6.
1.(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 解法一:
由题意知|m|≠0,|n|≠0.
设m与n的夹角为θ.
若存在负数λ,使得m=λn,
则m与n反向共线,θ=180°,
∴m·n=|m||n|cosθ=-|m||n|<0.
当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.
解法二:
∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.
∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.
反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0
⇔〈m,n〉∈
,
当〈m,n〉∈
时,m,n不共线.
故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.故选A.
2.(2015·北京高考)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若m⊂α且m∥β,则平面α与平面β不一定平行,有可能相交;而m⊂α且α∥β一定可以推出m∥β,所以“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.
3.(2017·南昌十校模拟)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为( )
A.0B.1C.2D.3
答案 D
解析 原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.故选D.
4.(2018·豫南九校联考)已知p:
≤2,q:
x2-2x+1-m2≤0(m>0),且綈p是綈q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围为________.
答案 [9,+∞)
解析 解法一:
由
≤2,得-2≤x≤10,
∴綈p对应的集合为{x|x>10或x<-2},
设A={x|x>10或x<-2}.
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0),
∴綈q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0},
设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.
∵綈p是綈q的必要而不充分的条件,∴BA,
∴
且不能同时取得等号.
解得m≥9,∴实数m的取值范围为[9,+∞).
解法二:
∵綈p是綈q必要而不充分条件,
∴q是p的必要而不充分条件,
即p是q的充分而不必要条件,
由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m(m>0).∴q对应的集合为{x|1-m≤x≤1+m,m>0},
设M={x|1-m≤x≤1+m,m>0},
又由
≤2,得-2≤x≤10,
∴p对应的集合为{x|-2≤x≤10}.设N={x|-2≤x≤10},由p是q的充分而不必要条件知NM,
∴
且不能同时取等号,解得m≥9.
∴实数m的取值范围为[9,+∞).
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一、选择题
1.下列命题中是真命题的是( )
①“若x2+y2≠0,则x,y不全为零”的否命题;
②“正多边形都相似”的逆命题;
③“若x-3
是有理数,则x是无理数”的逆否命题.
A.①②B.①③C.②③D.①②③
答案 B
解析 对于①,其否命题是“若x2+y2=0,则x,y全为零”,这显然是正确的,故①为真命题;对于②,其逆命题是“若两多边形相似,则它们一定是正多边形”,这显然是错误的,故②为假命题;对于③,原命题为真,故逆否命题也为真.因此是真命题的是①③.故选B.
2.(2018·河南八市联考)命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是( )
A.若a≤b,则a+c≤b+cB.若a+c≤b+c,则a≤b
C.若a+c>b+c,则a>bD.若a>b,则a+c≤b+c
答案 A
解析 否命题是将原命题的条件和结论都否定,故命题“若a>b,则a+c>b+c”的否命题是“若a≤b,则a+c≤b+c”.故选A.
3.(2018·曲阜模拟)已知p:
函数f(x)=|x+a|在(-∞,-1)上是单调函数,q:
函数g(x)=loga(x+1)(a>0且a≠1)在(-1,+∞)上是增函数,则綈p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 易知p成立⇔a≤1,q成立⇔a>1,所以綈p成立⇔a>1,则綈p是q的充要条件.故选C.
4.下列命题正确的是( )
A.若p∨q为真命题,则p∧q为真命题
B.“a>0,b>0”是“
+
≥2”的充分必要条件
C.命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2,则x2-3x+2≠0”
D.命题p:
∃x∈R,x2+x-1<0,则綈p:
∀x∈R,x2+x-1≥0
答案 D
解析 若p∨q为真命题,则p,q中至少有一个为真,那么p∧q可能为真,也可能为假,故A错误;若a>0,b>0,则
+
≥2,又当a<0,b<0时,也有
+
≥2,所以“a>0,b>0”是“
+
≥2”的充分不必要条件,故B错误;命题“若x2-3x+2=0,则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2,则x2-3x+2≠0”,故C错误,易知D正确.故选D.
5.“a<-1”是“∃x0∈R,asinx0+1<0”的( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 由题意知“∃x0∈R,asinx0+1<0”等价于“(asinx+1)min<0”,即“当a>0时,-a+1<0,即a>1;当a<0时,a+1<0,即a<-1”,所以“a<-1”是“∃x0∈R,asinx0+1<0”的充分不必要条件,故选B.
6.(2018·合肥模拟)祖暅原理:
“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如果在等高处的截面积恒相等,那么体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:
A,B的体积不相等,q:
A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 A
解析 设命题a:
“若p,则q”,可知命题a是祖暅原理的逆否命题,则a是真命题.故p是q的充分条件.设命题b:
“若q,则p”,若A比B在某些等高处的截面积小一些,在另一些等高处的截面积大一些,且大的总量与小的总量相抵,则它们的体积还是一样的.所以命题b是假命题,即p不是q的必要条件.综上所述,p是q的充分不必要条件.故选A.
7.(2017·衡水联考)“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 f(x)的定义域为{x|x≠0},关于原点对称,当a=0时,f(x)=sinx-
,f(-x)=sin(-x)-
=-sinx+
=-
=-f(x),故f(x)为奇函数;
反之,当f(x)=sinx-
+a为奇函数时,f(-x)+f(x)=0,
又f(-x)+f(x)=sin(-x)-
+a+sinx-
+a=2a,故a=0,
所以“a=0”是“函数f(x)=sinx-
+a为奇函数”的充要条件.故选C.
8.(2018·天津模拟)已知f(x)=2x+3(x∈R),若|f(x)-1|0),则a,b之间的关系是( )
A.b≥
B.b<
C.a≤
D.a>
答案 A
解析 ∵f(x)=2x+3,且|f(x)-1|∴|2x+2|∴
.
∵|x+1|
∴-b-1∵|f(x)-1|0),
∴
⊆(-b-1,b-1),
∴
解得b≥
.故选A.
9.(2018·江西一联)已知i为虚数单位,a为实数,复数z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为M,则“a>0”是“点M在第四象限”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B
解析 复数z=(1-2i)(a+i)=a+2-2ai+i=a+2+(1-2a)i在复平面内对应的点为M(a+2,1-2a).若a>0,则a+2>0,但1-2a的正负不确定,所以点M是否在第四象限也是不确定的;若点M在第四象限,则
解得a>
,此时可推出a>0.所以“a>0”是“点M在第四象限”的必要不充分条件.故选B.
10.(2017·湖北七市联考)已知圆C:
(x-1)2+y2=r2(r>0).设p:
0圆C上至多有2个点到直线x-
y+3=0的距离为1,则p是q的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 C
解析 圆C:
(x-1)2+y2=r2的圆心(1,0)到直线x-
y+3=0的距离d=
=2.当r∈(0,1)时,直线与圆相离,圆上没有到直线的距离为1的点;当r=1