线性代数考研讲义完整版.docx

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线性代数考研讲义完整版

文档编制序号：

[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

线性代数考研讲义完整版

考研数学线性代数讲义

第一讲基本概念

线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法

第二讲行列式

完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则

第三讲矩阵

乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵

第四讲向量组

线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩

第五讲方程组

解的性质解的情况的判别基础解系和通解

第六讲特征向量与特征值相似与对角化

特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现

附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化

第七讲二次型

二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵

附录二向量空间及其子空间

附录三两个线性方程组的解集的关系

附录四06,07年考题

第一讲基本概念

1．线性方程组的基本概念

线性方程组的一般形式为:

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,

…………

am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,

其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.

线性方程组的解是一个n维向量（k1,k2,…,kn）（称为解向量）,它满足:

当每个方程中的未知数xi都用ki替代时都成为等式.

线性方程组的解的情况有三种:

无解,唯一解,无穷多解.

对线性方程组讨论的主要问题两个:

（1）判断解的情况.

（2）求解,特别是在有无穷多接时求通解.

b1=b2=…=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.

n维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:

唯一解（即只要零解）和无穷多解（即有非零解）.

把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.

2.矩阵和向量

（1）基本概念

矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.

由mn个数排列成的一个m行n列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个mn型矩阵.例如

2-1011

11102

254-29

333-18

是一个45矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵

a11a12…a1na11a12…a1nb1

A=a21a22…a2n和（A|）=a21a22…a2nb2

…………………

am1am2…amnam1am2…amnbm

为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.

一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为（i,j）位元素.

元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.

两个矩阵A和B相等（记作A=B）,是指它的行数相等,列数也相等（即它们的类型相同）,并且对应的元素都相等.

由n个数构成的有序数组称为一个n维向量,称这些数为它的分量.

书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,,an的向量可表示成

a1

（a1,a2,,an）或a2,

┆

an

请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样（左边是1n矩阵,右边是n1矩阵）.习惯上把它们分别称为行向量和列向量.（请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.）

一个mn的矩阵的每一行是一个n维向量,称为它的行向量;每一列是一个m维向量,称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A的列向量组为1,2,,n时（它们都是表示为列的形式!

）可记A=（1,2,,n）.

矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等（记作=）,是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.

（2）线性运算和转置

线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.

加（减）法:

两个mn的矩阵A和B可以相加（减）,得到的和（差）仍是mn矩阵,记作

A+B（A-B）,法则为对应元素相加（减）.

数乘:

一个mn的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为mn的矩阵,记作cA,法则为A的每个元素乘c.

这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:

①加法交换律:

A+B=B+A.

②加法结合律:

（A+B）+C=A+（B+C）.

③加乘分配律:

c（A+B）=cA+cB.（c+d）A=cA+dA.

④数乘结合律:

c（d）A=（cd）A.

⑤cA=0c=0或A=0.

转置:

把一个mn的矩阵A行和列互换,得到的nm的矩阵称为A的转置,记作AT（或A）.

有以下规律:

①（AT）T=A.

②（A+B）T=AT+BT.

③（cA）T=cAT.

转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时,T表示行向量,当是行向量时,T表示列向量.

向量组的线性组合:

设1,2,…,s是一组n维向量,c1,c2,…,cs是一组数,则称

c11+c22+…+css

为1,2,…,s的（以c1,c2,…,cs为系数的）线性组合.

n维向量组的线性组合也是n维向量.

（3）n阶矩阵与几个特殊矩阵

行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵.

把n阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.（其上的元素行号与列号相等.）

下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.

对角矩阵:

对角线外的的元素都为0的n阶矩阵.

单位矩阵:

对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E（或I）.

数量矩阵:

对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是cE.

上三角矩阵:

对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.

下三角矩阵:

对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.

对称矩阵:

满足AT=A矩阵.也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素总是相等的n阶矩阵.

（反对称矩阵:

满足AT=-A矩阵.也就是对任何i,j,（i,j）位的元素和（j,i）位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.）

3.矩阵的初等变换和阶梯形矩阵

矩阵有以下三种初等行变换:

①交换两行的位置.

②用一个非0的常数乘某一行的各元素.

③把某一行的倍数加到另一行上.（称这类变换为倍加变换）

类似地,矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了.初等行变换与初等列变换统称初等变换.

阶梯形矩阵:

一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:

①如果它有零行,则都出现在下面.

②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.

把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.

简单阶梯形矩阵:

是特殊的阶梯形矩阵,特点为:

③台角位置的元素为1.

④并且其正上方的元素都为0.

每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.

请注意:

1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.

2.一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.

4.线性方程组的矩阵消元法

线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:

用同解变换把方程组化为阶梯形方程组（即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组）.

线性方程组的同解变换有三种:

①交换两个方程的上下位置.

②用一个非0的常数乘某个方程.

③把某个方程的倍数加到另一个方程上.

以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.

线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法.对非齐次线性方程组步骤如下:

（1）写出方程组的增广矩阵（A|）,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵（B|）.

（2）用（B|）判别解的情况:

如果最下面的非零行为（0,0,,0|d）,则无解,否则有解.

有解时看非零行数r（r不会大于未知数个数n）,r=n时唯一解；r

（推论:

当方程的个数m

（3）有唯一解时求解的初等变换法:

去掉（B|）的零行,得到一个n×（n+1）矩阵（B0|0）,并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵（E|）,则就是解.

对齐次线性方程组:

（1）写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.

（2）用B判别解的情况:

非零行数r=n时只有零解；r

当方程的个数m

讨论题

1.设A是n阶矩阵,则

（A）A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.

（B）A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.

（C）A是上三角矩阵A是阶梯形矩阵.

（D）A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.

2.下列命题中哪几个成立

（1）如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.

（2）如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.

（3）如果（A|B）是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.

（4）如果（A|B）是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.

（5）如果A是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.

B

第二讲行列式

一.概念复习

1.形式和意义

形式:

用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:

a11a12…a1n

a21a22…a2n

……….

an1an2…ann

如果行列式的列向量组为1,2,…,n,则此行列式可表示为|1,2,…,n|.

意义:

是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.

请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.

当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!

（不必形式一样,甚至阶数可不同.）

每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作|A|.

行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.

2.定义（完全展开式）

2阶和3阶行列式的计算公式:

a11a12

a21a22=a11a22-a12a21.

a11a12a13

a21a22a23=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a23a32-a12a21a33.

a31a32a33

一般地,一个n阶行列式

a11a12…a1n

a21a22…a2n

………

an1an2…ann

的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n个元素的乘积,其一般形式为:

这里把相乘的n个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j1j2…jn构成1,2,…,n的一个全排列（称为一个n元排列）,共有n!

个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!

个项.

所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定（j1j2…jn）为全排列j1j2…jn的逆序数（意义见下面）,则项所乘的是

全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数.

逆序数可如下计算:

标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数:

（436512）=3+2