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2017全国各地中考数学压轴题汇编之填空题4
1．（2017贵州六盘水）计算1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和是．
【答案】8555，
【解析】由题意可知1＋4＋9＋16＋25＋……的前29项的和即为：
12=1=1（1+1）（2⨯1+1）
12＋22＋32＋42＋52＋…＋292．∵有规律：
6，
12+22=5=2（2+1）（2⨯2+1）
6
12+22+32=14=3（3+1）（2⨯3+1）
，6，……，
12+22+32+…+n2=14=n（n+1）（2n+1）
6．
12+22+32+…
∴
+292=29（29+1）（2⨯29+1）
6＝8555．
2．（2017贵州毕节）观察下列运算过程：
计算：
1＋2＋22＋…＋210..
解：
设S＝1＋2＋22＋…＋210,①
①×2得
2S＝2＋22＋23＋…＋211,②
②－①,得
S＝211－1.
所以，1＋2＋22＋…＋210＝211－1.
运用上面的计算方法计算：
1＋3＋32＋…＋32017＝.
32018-1
【答案】2，
【解析】设S＝1＋3＋32＋…＋32017,①
①×3得
3S＝3＋32＋33＋…＋32018,?
②
②－①,得
2S＝32018－1.
所以，1＋3＋32＋…＋32017＝
32018-1
2.
3．（2017内蒙古赤峰）在平面直角坐标系中，点P（x，y）经过某种变换后得到
点P＇（－y＋1，x＋2），我们把点P＇（－y＋1，x＋2）叫做点P（x，y）的终结点．已知点P1的终结点为P2，点P2的终结点为P3，点P3的终结点为P4，这样依次得到P1、P2、P3、P4、…Pn、…，若点P1的坐标为（2，0），则点P2017的坐标为．
【答案】（2，0），
【解析】根据新定义，得P1（2，0）的终结点为P2（1，4），P2（1，4）的终结点为P3（－3，3），P3（－3，3）的终结点为P4（－2，－1），P4（－2，－1）
的终结点为P5（2，0），P5（2，0）的终结点为P4（1，4），……
观察发现，4次变换为一循环，2017÷4＝504…余1.故点P2017的坐标为（2，0）.4．（2017广西百色）阅读理解：
用“十字相乘法”分解因式的方法．
（1）二次项系数2=1⨯2；
（2）常数项-3=-1⨯3=1⨯（-3），验算：
“交叉相乘之和”；
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1⨯（-3）+2⨯1=1，等于一次项系数－1，即：
（x+1）（2x-3）=2x2-3x+2x-3=2x2-x-3，则2x2-x-3=（x+1）（2x-3），像这样，通过十
字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法，仿照以上方法，分解因式：
3x2+5x-12＝．
【答案】（x＋3）（3x－4）.
【解析】如图．
5．（2017湖北黄石）观察下列各式：
……
按以上规律，写出第n个式子的计算结果n为正整数）．（写出最简计算结果即可）
n
【答案】n+1，
【解析】先看分子,左边是一个数,分子为1;左边两个数（相加）,则为2;左边三个数（相
n
加）,则为3,…,左边n个数（相加）,则分子为n.而分母,就是分子加1,故答案:
n+1.
3579
6．（2017年湖南省郴州市）已知a1＝﹣2，a2＝5，a3＝﹣10，a4＝17，a5＝－
11
26，……，则a8＝．
17
【答案】65，
n8
2n+1
【解析】由前5项可得a＝（－1）n·n2+1，当n＝8时，a＝（－1）8·
2⨯8+1
82+1
17
＝65．
7．（2017江苏淮安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
1
2
3
4
9
8
7
6
5
1
1
1
1
1
1
1
0
1
2
3
4
5
6
2
2
2
2
2
2
1
1
1
5
4
3
2
1
0
9
8
7
第1行第二行第三行第四行第五行
……
则2017在第行．
【答案】45，
【解析】观察发现，前5行中最大的数分别为1、4，9、16、25，即为
12、22、32、42、52，于是可知第n行中最大的数是n2．当n＝44时，n2＝1936；当n＝45时，n2＝2025；因为1936＜2017＜2025，所以2017在第45行．
8．（2017ft东滨州）观察下列各式：
211
1⨯313，
……
2222
请利用你所得结论，化简代数式1⨯3＋2⨯4＋3⨯5＋…＋n（n+2）（n≥3且为整数），其结果为．
3n2+5n
【答案】2（n+1）（x+2），
21-1
【解析】由这些式子可得规律：
n（n+2）＝nn+2．
1-1+1-1+1-1++1-1+1-1
因此1
，1原1式＝132435n-1n+1nn+2
++++1+1-1-1-1--1-1
＝123
1+1-1
n-1n345
-13n2+5n
n+1n+2
＝12n+1n+2＝2（n+1）（x+2）．
9．（2017甘肃武威）下列图形都是由完全相同的小梯形按一定规律组成的.如果第1个图形的周长为5，那么第2个图形的周长为，第2017个图形的周长为.
【答案】8，6053，
【解析】根据图形变化规律可知：
图形个数是奇数个梯形时，构成的图形是梯形；
当图形的个数时偶数个时，正好构成平行四边形，这个平行四边形的水平边是3，两斜边长是1，则周长是8．第2017个图形构成的图形是梯形，这个梯形的上底是3025，下底是3026，两腰长是1，故周长是6053.
10．（2017年贵州省黔东南州）把多块大小不同的30°直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板AOB的一条直角边与y轴重合且点A的坐标为（0，1），∠ABO＝30°；第二块三角板的斜边BB1与第一块三角板的斜边AB垂直且交y轴于点B1；第三块三角板的斜边B1B2与第二块三角板的斜边BB1垂直且交x轴于点B2；第四块三角板的斜边B2B3第三块三角板的斜边B1B2垂直且交y轴于点B3；……按此规律继续下去，则点B2017的坐标为．
【答案】（0，－31009），
【解析】由“含30°角的直角三角形三边关系”可得B的坐标为（-
3，0），则依
次可得出B1（0，－3），B2（3，0），B3（0，9），B4（-9，0），
B5（0，－27），…观察这组数据，不难发现坐标以4个为一周期，B2017位于周期
中的第一个位置，这个位置的坐标规律为Bn（0,-（3）n+1），所以
B2017（0，－31009）．
11．（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2，△A3B2B3，…，依次均为等腰直角三角形，
直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn﹣1Bn顶点Bn的横坐标为
．
【答案】2n＋1－2，
【解析】由题意得
OA＝OA1＝2，∴OB1＝OA1＝2，B1B2＝B1A2＝4，B2A3＝B2B3＝8，∴B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0）…，2＝22－2，6＝23－2，14＝24－2，…∴Bn的横坐标为2n＋1－2．
12．（2017黑龙江齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形
OA1A2的直角边OA1在y的正半轴上，且OA1=A1A2=1，以OA2为直角边作第二个等腰直角三角形OA2A3，以OA3为直角边作第三个等腰直角三角形OA3A4，
……，依此规律，得到等腰直角三角形OA2017A2018，则点A2017的坐标为.
【答案】（0，21008）或（0，
【解析】∵OA1=A1A2=1，
）或（0，
（2）2016）
∴OA2=
OA=
==，
===
同理3，
……
OA2017
=22016.
13．（2017黑龙江绥化）如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为。
1
【答案】22n-1，
【解析】规律探究题，求出前面有限个面积，找出规律，根据规律，直接写出结
果．腰长为2的等腰直角三角形各边中点的小三角形的两条直角边均为1，所以第
1⨯1⨯111
一个小三角形的面积为2＝2；第2个小三角形的两条直角边长均为2，所
1⨯1⨯11
以第2个小三角形的面积为222＝23；第3个小三角形的两条直角边长均为
11⨯1⨯11
4，所以第3个小三角形的面积为244＝25；依次类推，第n个小三角形的
12n-1
面积为2
12n-1
，故填2
14．（2017年广西北部湾经济区四市）如图，把正方形铁片置于平面直角坐标系中，顶点的坐标为，点在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置……，则正方形铁片连续旋转2017次后，点P的坐标为.
【答案】（4040,1）
【解析】据题意可得P1（5,2），P2（8,1），P3（10,1），P4（13,2），以此类推，可得旋转2017
次后，点P的坐标为（4040,1）
15．（2017湖北天门）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣1，1），B（0，﹣2），C（1，0）．点P（0，2）绕点A旋转180°得到点P1，点P1绕点B旋转180°得到点P2，点P2绕点C旋转180°得到点P3，点P3绕点A旋转180°得到点P4，……，按此作法进行下去，则点P2017的坐标为．
【答案】（﹣2，0），
【解析】根据旋转可得：
P1（﹣2，0），P2（2，﹣4），P3（0，4），P3（0，4），
P4（﹣2，﹣2），P5（2，﹣2），P6（0，2），故6个循环，2017÷6＝336…1，故
P2017（﹣2，0）．
16．（2017湖南衡阳）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，⋅⋅⋅按如图的方式放置，点A1，A2，A3，⋅⋅⋅和点C1，C2，C3，⋅⋅⋅分别在直线y=x+1和x轴上，则点B2018的纵坐标是．
【答案】22017，
【解析】由图知，点B1的坐标为（1，1）；点A2的坐标为（1，2）；点B2的坐
标为（3，2）；点A3的坐标为（3，4）；点B3的坐标为（7，4）；A4的坐标为
（7，8），……寻找规律知B2018的纵坐标为22017，故填22017．
17．（2017湖南永州）一小球从距地面1m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下．
（1）小球第3次着地时，经过的总路程为m；
（2）小球第n次着地时，经过的总路程为m．
213-2n1-2，
【答案】
（1）
2；
（2）
【解析】小球第1次着地时，经过的总路程为1m；小球第2次着地时，经过的总
1121
路程为1＋2×2＝2（m）；小球第3次着地时，经过的总路程为2＋4×2＝2（m）；
1111
小球第n次着地时，经过的总路程为1＋2×2＋22×2＋23×2＋…＋2n-1×2＝
3-1
2n-2（m）．
18．（2017湖南常德）如图，有一条折线ABABABAB,它是由过A1（0,0），
B1（2,2），A2（4,0）组成的折线依次平移4，8，12，个单位得到的，直线
y＝kx＋2与此折线恰有2n（n≥1，且为整数）个交点，则k的值为
.
-1
【答案】0或2n（
n≥1），
【解析】①当k＝0时，即直线为y＝2，满足题意；②当直线经过点（0,2）与
k=-1
（4,0）时，满足题意，此时2；③当直线经过点（0,2）与（8,0）时，满足题
k=-1-1
意，此时4；以此类推，即答案为0或2n（n≥1）.
19．（2017江苏徐州）如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO.再
以OA1为直角边作等腰直角三角形A2A1O，如此下去，则线段OAn的长度为．
【答案】
（2）nn2n
（、22、
算对）
【解析】在Rt△AOB中，
OB
OA
sib45︒
=
OAsin45︒
（2）＝＝
2
1，OA2＝2＝，……，∴OA＝n
（2）n.
20．（2017ft东菏泽）如图AB⊥y轴，再将△ABO绕点A逆时针旋转到△AB1O1
3
的位置，使点B的对应点B1落在直线y＝－3x上，再将△AB1O1绕点B1逆
时针旋转到△AB1O2的位置，使点O1对应点O2落在直线y＝－进行下去……若点B的坐标是（0,1），则O12的纵坐标为．
【答案】（93＋9，9＋33）
【解析】过点O2作O2C⊥x轴于点C，
3x上，依次
∵AB⊥y轴，点B的坐标是（0,1），且点B在直线y＝－
∴点A的坐标为（3,1），即OB＝1,AB＝3,∴OA＝2，
3x，
由题意知，AB1＝AB＝3，AO1＝OA＝2，O2B1＝OB＝1，∴OO2＝3＋3，
∵tan∠O2OC＝3，∴∠O2OC＝30°，
∴OC＝O2Ocos∠O2OC＝（3＋3）×
1
333+3
2＝2，
O2C＝O2Osin∠O2OC＝（3＋3）×2＝2，
∴O2（
-33+33+
2，2
），O4（
-2（33+3）
2
2（3+
，2
3）
），O6（
-3（33+3）
2，
3（3+
2
3）
），
-6（33+3）
……，O12（2，2），即（93＋9，9＋33）.
21．（2017ft东东营）如图，在平面直角坐标系中，直线l：
y＝3x－3与x
轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2017
的横坐标是．
22017-1
【答案】2
【解析】把y＝0代入y＝3x－3，得3x－3＝0．解得x＝1．
∴B1（1,0），OB1＝1．∴A1B1＝OB1＝1.
把x＝0代入y＝
3x－
3
3，得y＝－3．
∴M（0,－3）,OM＝3.
∵tan∠OB1M＝F（OM）＝又∵∠A1B1O＝60°，
3，∴∠OB1M＝30°．则∠A1B2O＝∠A2B3O＝30°．
∴∠A1B1M＝60°＋30°＝90°.∴∠A1B1B2＝90°.则∠A2B2B3＝∠A3B3B4＝90°．
∴A1B2＝2A1B1＝2×1＝2，A2B3＝2A2B2＝2A1B2＝2×2＝22，A3B4＝2A3B3＝2A2B3＝2×22＝23．
∴A1的横坐标是：
F
（1）OB1＝F
（1）×1＝F
（1）；
A2的横坐标是：
F
（1）OB1＋F
（1）A1B2＝F
（1）＋F
（1）×2＝F
（1）＋F
（2）；A3的横坐标是：
F
（1）OB1＋F
（1）A1B2＋F
（1）A2B3＝（F
（1）＋F
（2））
＋F
（1）×22＝F
（1）＋F
（2）＋F（22）；
A4的横坐标是：
F
（1）OB1＋F
（1）A1B2＋F
（1）A2B3＋F
（1）A3B4＝F
（1）＋F
（2）＋F（22）＋F（23）；
……；
A2017的横坐标是：
F
（1）＋F
（2）＋F（22）＋F（23）＋…＋F（22016）＝
22017-1
2．
[注：
设x＝1＋22＋23＋24＋…＋22016，则2x＝（21＋22＋23＋24＋…＋22016）＋22017，
∴2x－x＝（21＋22＋23＋24＋…＋22016）＋22017－（1＋22＋23＋24＋…＋22016）
∴x＝22017－1
22017-1
∴F
（1）＋F
（2）＋F（22）＋F（23）＋…＋F（22016）＝F（x）＝2
22．（2017ft东聊城）如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1,0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交
x轴正半轴于点O2，O2以为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，O3以为圆心，O3O为半径画圆，交直线l与点P3，交x轴的正
4
半轴于点
O，按此做法进行下去，其中
P
2017
O2018的长为．
【答案】22015，
【解析】由题意知PO所对的圆心角度数为90°，半径为1，∴PO
的长为
1212
90⨯1=
1802；
POPO90⨯2=PO
23所对的圆心角度数为90°，半径为2，∴23的长为180；34所对的圆
PO90⨯4=2PO
心角度数为90°，半径为4，∴34的长为180；45所对的圆心角度数为
90⨯8=4
90°，半径为8，∴P4O5的长为
180；∴P2017O2018的长为22017-2=22015．
23．（2017ft东淄博）设△ABC的面积为1.
如图1，分别将AC，BC边2等分，D1，E1是其分点，连接AE1，BD1交于点F1，得到四边形CD1F1E1，其面积S1＝F
（1）；
如图2，分别将AC，BC边3等分，D1，D2，E1，E2是其分点，连接AE2，BD2交于点F2，得到四边形CD2F2E2，其面积S2＝F
（1）；
如图3.分别将AC，BC边4等分，D1，D2,D3,E1，E2，E3是其分点，连接
AE3，BD3交于点F3，得到四边形CD3F3E3,其面积S3＝F
（1）；
……
按照这个规律进行下去，若分别将AC，BC边（n＋1）等分，…，得到四边形CDnFnEn，
其面积Sn＝．
2
【答案】（n+1）（n+2），
1
【解析】法一：
规律猜想：
S1＝F
（1）＝1+2；1
S2＝F
（1）＝1+2+3；
1
S3＝F
（1）＝1+2+3+4；
……
12
Sn＝1+2+3+4++n+1＝（n+1）（n+2）.
法二：
推理论证：
如图连接DnEn.
A
FnDn
由平行线分线段成比例定理的逆定理，得
DnEn∥AB.
CECD1
nn
BEC∴BC＝AC＝n+1.
nFnDn
∴BDn
1
＝n+2.
S-S
1-n⋅12
∴Sn＝
∆AEnC
AFnDn＝n+1（n+1）（n+2）＝（n+1）（n+2）.
24．（2017四川广安）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2……按如图所示放置，点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3……在x轴上，则An的坐标是．
【答案】（2n-1-1，2n-1），
【解析】∵点点A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，∴A1的坐标是（0，1），即
OA1＝1，∵A1B1C1O为正方形，∴OC1＝1，即点A2的横坐标为1，∴A2的坐标是（1，2），A2C1＝2，∵A2B2C2C1为正方形，∴C1C2＝2，∴OC2＝1＋2＝3，即点A3的横坐标为3，∴A3的坐标是（3，4），…，
观察可以发现：
A1的横坐标是：
0＝20－1，A1的纵坐标是：
1＝20；A2的横坐标是：
1＝21－1，A2的纵坐标是：
2＝21；
A3的横坐标是：
3＝22－1，A3的纵坐标是：
4＝22；
……
n
n
据此可以得到A的横坐标是：
2n-1-1，纵坐标是：
2n-1．所以点A的坐标是（2n-1-1，2n-1）．
25．（2017年四川资阳）按照如图8所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是．
第1个第2个第3个
【答案】365
【解析】图形和黑色小正方形地砖的块数如下表
图形序号
1
2
3
黑色小正方
1
1＋4
（1＋1×4）＋8
形
＝1＋1
＝1＋1×4＋2×4
地砖的块数
×4
由此猜想第14个图案中黑色小正方形地砖的块数
＝1＋1×4＋2×4＋…＋13×4＝1＋（1＋2＋3
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