黑龙江省哈尔滨市香坊区学年八年级下学期期末数学试题.docx
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黑龙江省哈尔滨市香坊区学年八年级下学期期末数学试题
黑龙江省哈尔滨市香坊区2020-2021学年八年级下学期期末
数学试题
学校:
姓名：
班级：
考号：
一、单选题
1.下列方程是一元二次方程的是（）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.只有一个实数根
6.—个矩形的长比宽多2cnι,面积是Icm-.若设矩形的宽为“加，则可列方程（）
A.X（x+2）=7E.X（A-2）=7C.丄X（x+2）=7D.-X（X・2）=22
7
7・在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象如图所示,则k和b的取值范围是（）
A・k>0,b>0E・k>0,b<0C・k<0,b>0D・k<0,b<0
S.下列命题中，真命题的是（）
A.四条边相等的四边形是正方形
B.对角线相等的四边形是矩形
C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
9.菱形的周长为8厘米，两相邻角度数比是1：
2,则菱形的面积是（）平方厘米.
A.2√3B.2√2C.4√2D.4√3
10.周口，小涛从家沿着一条笔直的公路步行去报亭看报，看了一段时间后，他按原路返回家中，小涛离家的距离y（单位：
m）与他所用的时间t（单位：
mm）之间的函数
A.小涛家离报亭的距离是90Om
B.小涛从家去报亭的平均速度是60m∕rnm
C.小涛从报亭返回家中的平均速度是80m∕mm
D.小涛在报亭看报用了15mm
2.填空题
11.函数V=^_中，自变量X的取值范围是▲.
x-2
12.将矩形添加一个适当的条件：
能使其成为正方形.
13.一次函数y=2x+4与X轴的交点坐标是.
14.己知方程ax2+bx+c=Q的一个根是-1,则α-b+c=.
15.在直角三角形AEe中，斜边AB=I,则AB2+BC2+AC2的值是.
16.如图，在厶ABC中，ZACB=90°,ZB=40。
，D为线段AB的中点，则ZACD
17.某乡村种的水稻2021年平均每公顷产3200kg,2021年平均每公顷产5000⅛,则水
稻每公顷产量的年平均增长率为.
18.一个三角形的两边的长分别是3和5,要使这个三角形为直角三角形，则第三条边
的长为.
19.如图，一次函数）=∙2x和y=k,x+b的图象相交于点A（//?
3）,则关于X的方程
20.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，过F作FG〃CD交
AE于点G,连接DG.若AG=3√5,FG=5,则AE的长为.
三、解答题
21.用适当的方法解方程：
（1）X2-4x-7=0；
（2）3x（2v+l）=4x+2.
22.如图，将一个2X2的正方形剪成四个全等的直角三角形，请用这四个全等的直角三角形，在图①、图②的网格中，拼出两个不全等且含有正方形的图形.要求拼图时,直角三角形的顶点均在小正方形的顶点上，且四个直角三角形不能有重叠部分・
图①1≡②
23.我们知道，以3,4,5为边长的三角形是直角三角形，称3,4,5为勾股数组，记为（3,4,5）,可以看作（2—1,2X2,22+l）;同时8,6,10也为勾股数组，记为
（8,6,10）,可以看作（3丄-1,2X3,32+l）.类似的，依次可以得到第三个勾股数组（15,8,17）.
（1）请你根据上述勾股数组规律，写出第5个勾股数组：
（2）若设勾股数组中间的数为勿522.且〃为整数），根据上述规律，请直接写出
这组勾股数组・
24.如图，AD是ZVlBC的中线,AE/∕BC,BE交AD于点F,F是AD的中点，连接EC.
（1）求证：
四边形ADCE是平行四边形；
（2）若四边形ABCE的面积为S,请直接写出图中所有面积是2s的三角形・
3
25.某商店销售一台A型电脑销售利润为IOO元，销售一台B型电脑的销售利润为150元.该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑X台，这100台电脑的销售总利润为y元.
（1）求y关于X的函数关系式；
（2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最人？
26.
在正方形ABCD中，连接AG点E在线段AD±,连接BE交AC于过点M
AB=69求BF的长.
4
27.
如图①，在平面直角坐标系中，点A在直线y=-亍X上，且点A的横坐标为-6,直线AB分别交X轴、y轴于点B和点C.点B的坐标为（IOt0）.
（!
）求直线AB的解析式;
动点P从点A出发，沿线段AD运
（2）如图②,点D坐标为（4,8）,连接也BD9
动.过点P作X轴的垂线，交AB于点0连接D0设ABD0的面枳为S（SHO）,点
P的横坐标为人求S与r之间的函数关系式；
（3）在
（2）的条件下，连接PG若ZCPD+ZoBD=90',求f的值・
参考答案
1.B
【分析】
根据一元二次方程的定义逐个判断即可.
【详解】
A、是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、是一元二次方程，故本选项符合题意；
C、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：
B.
【点睛】
本题考查一元二次方程的定义，熟悉一元二次方程的定义是解答的关键.
2.D
【解析】
T正比例函数y=kx的图彖经过点（1,2）,
••・把点（1,2）代入已知函数解析式，得k=2.故选D.
3.C
【分析】
根据勾股定理的逆定理逐项分析即可.
【详解】
解：
A、Vl-+42≠9-,Λ该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
VP+（√2）2≠2-,Λ该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形；
CSVl2+（√3）2=22,Λ该三角形符合勾股定理的逆定理，故可以构成直角三角形；
D、V5-+ll2≠122,Λ该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不可以构成直角三角形.故选：
C.
【点睛】
本题考查了勾股定理逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，在一个三角形中，即如果用a,b,C表示三角形的三条边，如果a-+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
4.B
【分析】
根据平行四边形的判定：
A、C、D口［判定为平行四边形，而E不具备平行四边形的条件，即可得出答案.
【详解】
A、T两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故A正确；
B、I一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形不一定是平行四边形，故E不正确；
C、•.•一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确：
D、T两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故D正确只•
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法并能进行推理论证是解决问题的关键.
5.B
【详解】
解：
△=1-4×1×（-4）=17>0,
所以方程有两个不相等的两个实数根.
故选：
B.
考点：
根的判别式.
6.A
【分析】
根据矩形的面积公式，可得出关于X的一元二次方程，即可解答.
【详解】
解：
依题意，得：
X（X+2）=7
故选：
A.
【点睛】
本题考查一元二次方程的实际应用、矩形的面积公式，熟练掌握矩形的面积与长、宽的关系是解答的关键.
7.C
【解析】
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可.
【详解】•・•一次函数y=kx+b的图彖经过一、二、四象限，
Λk0,
故选C.
【点睛】本题考查的是一次函数的图彖与系数的关系，即一次函数尸kx+b（k≠0）中，当k<0,b>0时图彖在一、二、四象限.
8.D
【分析】
根据正方形、矩形、菱形和平行四边形的判定判断即可.
【详解】
解：
A、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题：
3、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题是假命题：
C、一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，如筝形，原命题是假命题：
D、一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；
故选：
D.
【点睛】
本题考查命题与定理，解答本题的关键是明确题意，会判断命题的真假.
9.A
【分析】
根据已知可求得菱形的内角的度数及菱形的边长，再根据勾股定理求得其两条对角线的长,根据菱形的面积等于两对角线乘枳的一半得到菱形的面积即可.
【详解】
解：
J菱形的周长为8c加，
・°・边长为2cιnf
T两相邻角的度数之比为1：
2,两相邻角的度数之和为180°,
/.ZABC=60°,
ΛAABC是等边三角形.
.∖AC=AB=2cm.
.∖OA=Icni.
在直角AAOB中，根据勾股定理可得，OB=艮
：
.BD=IOB=IyJi
・•・菱形的面积=2×2√3÷2=2√3cm2.
故选：
A.
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及菱形的性质，菱形的性质有：
具有平行四边形的性质：
菱形的四条边相等：
菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角：
菱形的面积等于对角线乘枳的一半.
10.D
【详解】
解：
A、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,故A不符合题意；
B、由纵坐标看出小涛家离报亭的距离是1200m,由横坐标看出小涛去报亭用了15分钟，
小涛从家去报亭的平均速度是80in∕nun,故B不符合题意：
C、返回时的解析式为y=-60x+3000,当y=1200时，x=30,由横坐标看出返回时的时间是
50-30=2OnlIn,返回时的速度是1200÷20=60nιnmι,故C不符合题意；
D、由横坐标看出小涛在报亭看报用了30-15=15mιn,故D符合题意；
故选D.
【点睛】
本题考查函数的图象.
11.X≠2.
【解析】
试题分析：
由已知：
x-2≠0,解得xH2：
考点：
自变量的取值范围.
12.邻边相等（或对角线互相垂直）
【分析】
根据正方形的性质及判定方法在矩形的基础上只要邻边相等或对■角线互相垂直就町以.
【详解】
解：
当邻边相等（或对角线互相垂直）时，矩形就是正方形.
故答案为：
邻边相等（或对角线互相垂直）.
【点睛】
本题考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解答的关键.
13.（—2,0）
【分析】
把）匸0代入一次函数的解析式y=2x+4求出X的值，即可得出答案.
【详解】
对于一次函数y=2x+4
当A=O时，2x+4=0,解得x=-2
则一次函数y=2x+4与X轴的交点坐标是（-2,0）
故答案为：
（一2,0）.
【点睛】
本题考查了一次函数与X轴的交点问题，掌握理解一次函数的图象特征是解题关键.
14.0
【分析】
将方程的根代入求值即可.
【详解】
解：
把X=-I代入方程，可得
a-b+c=O,
故答案为0.
【点睛】
此题考察代入求值，理解题意即可正确解题.
15.2
【分析】先画图，再利用勾股定理可求BC-+AC2的值，从而易求ABsEC2+AC，的值.
【详解】
解：
如右图所示，
在Rt∆ABC中，AB2=BC2+AC2,
又VAB=E
ΛBC2+AC2,=AB2=I,
ΛAB2+BC2+AC2=1+1=2.
故答案为：
2.
16.50°
【分析】
由“直角三角形的两个锐角互余”得到ZA=50°,根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到CD=AD,则等边对等角，即ZACD=ZA=50°.
【详解】
解：
如图，・・・在厶ABC中，ZACB=90°,ZB=40。
，
/.ZA=50°.
TD为线段AB的中点，
J.CD=AD,
：
.ZACD=ZA=50°.
故答案是：
50°.
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质.在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
17.25%
【分析】
根据增长后的产量=增长前的产量X（1+增长率），设增长率是儿则2021年平均每公顷的
产量是3200（l+x）2,据此即可列方程，解出即可・
【详解】
解：
设水稻每公顷产量的年平均增长率为；I,
则3200（1+λ）2=5000,
解得：
X1=25%,X2=-2.25（应舍去）・
答：
水稻每公顷产量的年平均增长率为25%.
故答案为：
25%.
【点睛】
本题考查了一元二次方程的实际应用，解答的关键是认真审题，找出等量关系，列出方程是解答的关键.
18.4或匸
【详解】
解：
①当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：
3-+5-34;
②当第三边是直角边时，第三边长的平方是：
52-32=25-9=16=42,
故答案是：
4或网.
3
19.X=--
2
【分析】
首先将点A的坐标代入正比例函数中求得m的值，然后结合图彖直接写出方程的解即可.
【详解】
解：
Y函数J=-Zr经过点A5,3）,
-2m=3,
解得：
加=-1-,
则关于A-的方程k,x+b+2x=0可以变形为k,x+b=・2x,
3
由图象得：
kx+b=-2x的解为X=--,
2
3
故答案为：
X=■—・
2
【点睛】
本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结
合的方法确定方程的解.
20.5√5
【分析】
连接DS交AE于点O先证明四边形DEFG为菱形，再由菱形的性质可知GE丄DF,OG
=OE=-GE9接下来，证明ADOEs&DE,由相似三角形的性质可证明DE2=EO^AE92
于是可得到GF、AE.EG的数量关系，进而代值计算.
【详解】
证明：
如图，连接DF,交AE于点O,
^FG//CD,
・•・ZAED=ZFGE,
：
.ZAEF=ZFGE9
.∙.FG=FE,
.'.DG=GF=EF=DE,
・•・四边形DEFG为菱形，
A：
.GE丄DF,OG=OE=-GE.
2
TZDoE=ZADE=90l,ZOED=ZDEA9
「•△DOEsHADE,
DEOE
：
.——=——,即DE'=EO∙AF・
AEDE
-EO=-GE,DE=FG,
2
AFG2=丄GE∙AF,
2
VAG=3y∕s,FG=5,
Λ25=∣-（AF-3√5）∙AF,
∙∙∙AF=5√L
故答案为：
5
【点睛】
本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判
定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质得到DE2=EO∙AE是解题答
问题的关键.
21.（I）M=2+√∏,xι=2-√1T;
（2）Xl=-
【分析】
（1）利用公式法求解町得：
（2）利用因式分解法求解町得.
【详解】解:
（1）Va=i9b=-4,C=-7,
ΛΔ=（-4）2-4×l×（-7）=44>0,
则χ=4±2√ΓT=2±们,
2
即Xi=2+λ∕ΓT,λs=2-√ΓT;
（2）∙.∙3λ-（2v+1）=2（2λ∙+1）,
.∙.3∙Y（2%+1）・2（2x+l）=0,
则（2∙Y+1）（3λ--2）=0,
.∙.2x+I=0或3x・2=0,
解得Xl=~—,兀2=—.
23
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：
直接开平
方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
22.见解析
【分析】
根据题意在图①、图②的网格中，拼出两个不全等且含有正方形的图形.要求拼图时，直角
三角形的顶点均在小正方形的顶点上，且四个直角三角形不能有重叠部分即可求解.
【详解】
【点睛】
本题考查了图形的剪拼，抓住所要求图形的特点，找到相应的边的长度是解决本题的关键.
23.
（1）（35,12,37）；
（2）加・1,2nfn2+l
【分析】
（1）根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案；
（2）根据给出的3组数以及勾股数的定义即可得出答案.
【详解】
（1）上述四组勾股数组的规律是：
32+42=52,62+82=102,82+152=172,
即Cn2-1）2+（2∕?
）2=（n2+l）->
所以第5个勾股数组为（35,12,37）.
（2）勾股数为IV-1,2n,n2+l.
【点睛】
本题考查数字型规律探究、勾股数，能从数字等式中找到变化规律是解答的关键.
24.
（1）见解析；
（2）有厶ABDtΔACD,AACE,^ABE
【分析】
（1）首先证明厶AFE^∆DFB可得AE=BD.进而可证明AE=CD,再由AE〃BC可利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADCE是平行四边形；
（2）根据三角形的面积公式解答即可.
【详解】
证明：
TAD是AAEC的中线，
ΛBD=CD,
VAE√BC,・•・ZAEF=ZDBF,
在/SAFE和ADFE中,
ZAEF=ZDBF
AF=DF
AΔAFE^ΔDFB（AAS）,
AAE=BD.
∙*∙AE=CD,
VAE/7BC,
・•・四边形ADCE是平行四边形；
（2）Y四边形ABCE的面积为S,
・•・四边形ABCE的面枳可以分成三部分，即AABD的面积+△ADC的面积+ΔAEC的面枳
=S,
∙/BD=DC=CEtAE//BC,
・•・面枳是的三角形有AABD,∆ACD,ΔACE,AABE.
【点睛】
本题考查平行线的性质、三角形的中线、三角形的判定与性质、平行四边形的判定、三角形的面枳等知识，熟练掌握平行四边形的判定方法，会利用等底等高的三角形面积相等解决问题是解答的关键.
25.
（1）y=-50x+15000:
（2）该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最人
【分析】
（1）根据题意列出关系式为：
y=100x+150（100-λ）,整理即可；
（2）利用不等式求出；I的范闱，再根据一次函数的性质解答即可.
【详解】
解：
（1）据题意得，v=1OOa+15O（100-λ）,即y=-50a+15000;
（2）据题意得，IOo-XW3x,
解得x>25,
由
（1）可知y=-50.r+15000,
•"=-50<0,
.∙.y随X的增大而减小,
・•・当x=25时，y有最大值,
100-25=75（台），
・•・该商店购进A型电脑25台，B型电脑75台时，才能使销售总利润最人.
【点睛】
本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是根据一次函数X值的增人而确定y值的增减情况.
26.
（1）见解析；
（2）见解析；（3）2√10
【分析】
（1）由题意ZAEB=90°-ZABE,ZCMB=90°-ZCMFt推出ZAME=ZCMB=90°-ZCMF,在AAME中，根据ZEAM+ZAME+ZAEM=180°,求解即可.
（2）如图②中，作MH//BC交CD于H,交AB于G.证明△BGM竺AMHF（AΛS）可得结论.
（3）如图③中，延长DC到P,使得CP=AE,连接EF,BP.证明△BEF丝ABPF（SAS）,推出EF=PF,设CF=Hb则DF=6-加，PF=3+加，在Rt∆DEF中,根据EF=DE2+DF,构建方程求出加即可解决问题.
【详解】
（1）证明：
如图①中，
图①
在正方形ABCD中，ZBAD=90。
，AD=CD,
・•・ZDAC=ZACD,
在Rt∆ABE中，ZAEB=90°-ZABE,
TFM丄BE,
・•・ZBMF=90。
，
.∙∙ZCMF+ZCMB=90°,
ΛZCMB=90o-ZCMF,・•・ZAME=ZCMB=90。
-ZCMF,
在厶AME中，ZEAM+ZAME+ZAEM=1SQ°,
/.ZEAM+（9OQ-ZCMF）+（90°-ZABE）=IS0°,
・•・ZABE+ZCMF=ZEAM,
・•・ZABE+ZCMF=ZACD-
（2）证明：
如图②中，作MH//BC交CD于H,交AB于G.
AED
图②
∖tGH//BC,
/.ZAGH=ZABC=90°,ZGHD=ZDCB=90。
・•・ZGBC=ZCHG=ZGBC=90。
，
・•・四边形BGHC是矩形，
：
・CH=BG,
•・•ZHCM=ZCMH=45°,
：
・HM=CH,
TZBMF=90°,
ΛZBMG+ZHMF=90o,ZHMF+ZMFH=90o,
・•・ZBMG=∕MFH,
：
・HBGM空HMHF（44S）,
∙∙.BM=FM.
（3）解：
如图③中，延长DC到P使得CP=AE,连接EF,BP.
AED
图③
*：
AB=BCtZBAE=ZBCP=9QofAE=CP,
••.△ABE丝MBP（SAS）,
.∙.BE=BP,ZABE=ZCBP,
TZABE+ZEBC=ZABC=90。
，
・•・ZCBP+ZEBC=90°,即ZEBP=90。
TBM=MF,ZBMF=90%
：
•ZMBF=45。
，
・•・ZPBF=ZEBF=45。
•・•BF=BF,
（SAS）,
：
.EF=PF,
TE是AD的中点，
ΛAE=DE=-AD,
2
VBC=AD=CD=AB=6,
.∖AE=DE=3,
设CF=m,则DF=6■〃人PF=3+m.
YEF=PF,
ΛEF=3+∕∏,
在Rt∆DEF中,•・•EF-=DE2+DF2,
A32+（6-/Z/）2=（3+w）2,
解得w=2,即CF=2、
+62=2λ∕10・
【点睛】
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性
质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型.
27.
（1）y=-—λ+5;
（2）S=--Z+25；（3）t=-4
■22
【分析】
4
（1）因为A点在直线y=--X±,且横坐标为-6,可求得A点坐标，设直线AE的解析式
为y=kx+b,将A、E两点的坐标代入，即可求得直线AB的解析式；
（2）根据已知条件得到四边形OADE是平行四边形，过A作X轴的垂线，垂足为E,过P
作X轴的垂线，垂足为F,交AB与点Q,连接OQ,求得E（-6,0）,推出四边形OADE
是菱形，且可证△BDQ丝ABOQ,故SδBDQ=SABOQ,求得0（t,--t+5）,根据三角形
2
的面枳公式即可得到结论；
（3）设AD交y轴于F,连接CD,可证^
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