x→+∞
f（x）=A”的充要条
（2）“∀正整数N，∃正整数K，当0<
“limf（x）=A”的充要条件；
x→x0
x-x0≤K
时，恒有
f（x）-A≤1”是
2N
（3）“∀ε∈（0,1），∃正整数N，当n≥N时，恒有|xn-a|≤2ε”是“数列{xn}收敛于a”
的充要条件；
正确的个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
二、极限的性质
1.唯一性
（1）limex=∞,limex=0，
（2）limsinx不存在（3）limarctanx不存在（4）lim[x]
x→+∞
x→-∞
x→0x
x→∞
x→0
不存在
⎛1⎞
-π
⎜ex1⎟
【例】设k为常数，且I=lim
x→0
+
k⋅arctan存在，求k的值，并计算极限I。
x⎟
⎝ex+1⎠
2
2.局部有界性
【例】函数f（x）=|x|sin（x-2）在下列哪个区间内有界（）
x（x-1）（x-2）2
（A）
（-1,0）.（B）
（0,1）.（C）
（1,2）.（D）
（2,3）.
【注】函数有界性判别法总结如下：
（1）理论型判别—f（x）在闭区间[a,b]上连续，则f（x）在闭区间[a,b]上有界；
（2）计算型判别—f（x）在开区间（a,b）内连续，且极限lim
x→a+
f（x）与lim
x→b-
f（x）存在，则函
数f（x）在开区间（a,b）内有界.
（3）若极限不存在，则转向“四则运算规则”——有限个有界函数与有界函数的和、差、积
仍为有界函数.
（4）若存在x0，使得lim
x→x0
f（x）=∞，则无界。
3.局部保号性
若limf（x）=A>0，则当x→∙时，f（x）>0.
x→∙
【例】设limf（x）=f（0），且lim
f（x）
=2，则x=0是
x→0
x→01-cosx
（A）极大值点（B）极小值点（C）不是极值点（D）无法判断
三、极限的计算
1.函数极限的计算
（1）化简先行
【例1】求极限lim
2+sinx（sinx-x）
3
x→0tanx
3
【例2】求极限lim
x→0
1+3x-31+5xx
（2）基本的七种未定型
0
第一组：
0
∞0⋅∞
∞
2
ex-e2-2cosx
【例1】求极限lim
x→0x4
【例2】求极限limlnx⋅ln（1-x）
x→1-
第二组：
∞-∞
①有分母，则通分
【例】求极限lim（
x→0
1cos2x
-
sin2xx2）
4
②没有分母，创造分母，再通分
1
【例】求极限lim[x2（ex-1）-x]
x→+∞
第三组：
∞0
001∞
【例1】求极限lim（x+
x→+∞
1
1+x2）x
1
【例2】求极限lim（tanx）cosx-sinxx→π
4
（3）核心工具——泰勒公式
①牢记8个公式
sinx=x-1x3+o（x3）6
arcsinx=x+1x3+o（x3）
6
tanx=x+1x3+o（x3）3
arctanx=x-1x3+o（x3）
3
cosx=1-1x2+
2
1x4+o（x4）
24
ln（1+x）=x-1x2+1x3+o（x3）
23
ex=1+x+1x2+1x3+o（x3）
26
（1+x）α=1+αx+α（α-1）x2+o（x2）
2
5
②掌握两个展开原则
i.A型——上下同阶原则
B
【例】lim
x→0
1+x+
x
1-x-2
2
ii.A-B型——幂次最低原则
【例】已知x→0时，cosx-e
-x2
2与cxk为等价无穷小，求c,k.
【练习】设p（x）=a+bx+cx2+dx3，当x→0时，若p（x）-tanx与x3为同阶无穷小，求a,b,c,d.
2.数列极限的计算
（1）将xn连续化，转化为函数的极限
【例】lim（n⋅
n→∞
tan
1）
）n2
n
6
（2）当数列通项为具体已知时，通常的解法为：
1）夹逼准则，2）定积分定义，3）利用幂级数求和（仅数学一要求），
【例】lim⎛1+2+...+n⎞
n→∞⎜n2+n+1n2+n+2n2+n+n⎟
⎝⎠
（3）当数列通项由递推关系式an=f（an-1）给出时，通常使用单调有界准则
【例】设a>0,x1>0,xn+1=
（2xn+2
n
n=1,2,…，证明{x}收敛并求limx.
n→∞
四、连续与间断
1.由于“一切初等函数在其定义区间内必连续”，则只需考虑两类特殊的点：
函数的无定义点和分段函数的分段点.
2.所谓连续
lim
x→x0
f（x）=
f（x0）⇔
f（x）在x=x0处连续
3.所谓间断
（1）跳跃间断点：
lim
x→x+
f（x）≠lim
x→x-
f（x）
7
（2）可去间断点：
lim
x→x+
f（x）=lim
x→x-
f（x）≠
f（x0）
（3）无穷间断点：
lim
x→x+
f（x）=∞或lim
x→x-
f（x）=∞
（4）振荡间断点：
lim
x→x+
f（x）或lim
x→x-
f（x）振荡
⎧ln（1+ax3）
⎪,x<0
⎪x-arcsinx
⎪⎪
【例】设f（x）=⎨6
x=0
，问a为何值时，
⎪eax+x2-ax-1
⎪
⎪
⎪xsinx
⎩4
x>0
（I）f（x）在x=0连续；
（II）x=0是f（x）的可去间断点.
8
第二讲高等数学的基本概念串讲
核心考点概述内容展开一、一元函数微分需的概念及使用
1.考查导数定义的基本形式
ln（1-2x）+2xf（x）
【例】设δ
>0，f（x）在[-δ,δ]上有定义，f（0）=1,且满足lim
x→0x2
=0,
证明f'（0）存在，并求f'（0）.
2.考查导数定义中增量的广义化
【例】设f（0）=0，下列命题能确定f'（0）存在的是（）
（A）lim
h→0
f（1-cosh）
h2
存在（B）lim
h→0
f（1-eh）
存在
h
（C）lim
h→0
f（h-sinh）
h2
存在（D）lim
h→0
f（2h）-f（h）
存在
h
9
二、一元函数积分学的概念及其使用
1.不定积分、变限积分和定积分
（1）不定积分
原函数与不定积分设函数f（x）定义在某区间I上，若存在可导函数F（x），对于该．区．间．上．任．一．点．都有F'（x）=f（x）成立，则称F（x）是f（x）在区间I上的一个原函数.称
⎰f（x）dx=F（x）+C
为f（x）在区间I上的不定积分，其中C为任意常数.
【注】谈到函数f（x）的原函数与不定积分，必须指明f（x）所定义的区间.
x
【例1】试证明：
如果函数f（x）在[a,b]上连续，则函数F（x）=⎰af（t）dt在[a,b]上可导，
且F'（x）=
f（x）（本题即为变限积分函数求导的知识点）.
【例2】试证明：
含有第一类间断点、无穷间断点的函数f（x）在包含该间断点的区间内必没有原函数F（x）.
【注】第二类振荡间断点是否有原函数呢？
举例说来，对于
f（x）=
⎧⎪2xsin
⎨
⎪⎩
1-cos1,
xx
0,
x≠0,
，
x=0,
其在（-∞,+∞）上不连续，它有一个第二类振荡间断点x=0，但是它在（-∞,+∞）上存
10
⎧
⎨
在原函数F（x）=⎪x
2sin1,x≠0,
x
即，对于（-∞,+∞）上任一点都有F'（x）=f（x）成立.
⎩⎪0,
x=0.
综合以上几点，可以得出重要结论：
可导函数F（x）求导后的函数F'（x）=f（x）不一定是连续函数，但是如果有间断点，一定是第二类间断点（在考研的范畴内，只能是振荡间断点）.
（2）定积分
定积分存在定理定积分的存在性，也称之为一元函数的（常义）可积性.这里的“常义”是指“区间有限，函数有界”，也有人称为“黎曼”可积性，与后面要谈到的“区间无穷，函数无界”的“反常”积分有所区别.在本讲中所谈到的可积性都是指的常义可积性.
a
【注】事实上，还有一个使得定积分存在的充分条件：
若f（x）在[a,b]上单调，则⎰bf（x）dx
存在，不过考试大纲对此没有做要求，考生知道即可.
【例】在区间[-1,2]上，以下四个结论，
⎪
⎧2,
①f（x）=⎨1,
x>0
x=0，有原函数，但其定积分不存在；
⎩
⎪-1,
x<0
②f（x）=⎪
⎧2xsin1
⎨x2
-
2cos1
xx2
x≠0
，有原函数，其定积分也存在
⎪⎩0
⎪
⎧1,x≠0
③f（x）=⎨x
⎪⎩0,x=0
x=0
，没有原函数，其定积分也不存在
⎪
⎧2xcos1+
sin
1,x≠0
④f（x）=⎨x
⎪⎩0
x
x=0
，有原函数，其定积分也存在
正确结论的个数为（）
（A）1（B）2（C）3（D）4
11
2.反常积分
（1）无穷区间上反常积分的概念与敛散性
+∞
①af（x）dx的定义
+∞b
f（x）dxlim
ax→+∞
f（x）dx
⎰
+∞
若上述极限存在，则称反常积分af（x）dx收敛，否则称为发散.
b
②⎰-∞f（x）dx的定义
bb
⎰-∞=⎰a
f（x）dxlim
a→-∞
f（x）dx
b
若上述极限存在，则称反常积分⎰-∞f（x）dx收敛，否则称为发散.
+∞+∞+∞c
③⎰-∞
f（x）dx的定义
⎰-∞
f（x）dx=⎰c
f（x）dx+⎰-∞f（x）dx
+∞
若右边两个反常积分都收敛，则称反常积分⎰-∞
b
（2）无界函数的反常积分的概念与敛散性
f（x）dx收敛，否则称为发散
①若b是
f（x）的唯一奇点，则无界函数
f（x）的反常积分⎰af（x）dx定义为
bb-ε
f（x）dx=lim
aε→0
f（x）dx
b
若上述极限存在，则称反常积分⎰af（x）dx收敛，否则称为发散.
b
②若a是f（x）的唯一奇点，则无界函数f（x）的反常积分⎰af（x）dx定义为
bb
f（x）dx=limf（x）dx
aε→0
b
若上述极限存在，则称反常积分⎰af（x）dx收敛，否则称为发散.
b
③若c∈（a,b）是f（x）的唯一奇点，则无界函数f（x）的反常积分⎰af（x）dx定义为
bcb
⎰af（x）dx=⎰af（x）dx+⎰cf（x）dx
b
若上述右边两个反常积分都收敛，则称反常积分⎰af（x）dx收敛，否则称为发散.
12
第三讲高等数学的基本计算串讲
核心考点概述
1.微分学的计算
2.积分学的计算
3.微积分在几何上的应用内容展开
一、一元函数微分学的基本计算1.四则运算
[f（x）±g（x）]'=
[f（x）⋅g（x）]'=
f'（x）±g'（x）
f'（x）g（x）+f（x）g'（x）
⎡f（x）⎤'
⎢g（x）⎥
f'（x）g（x）-f（x）g'（x）
=g2（x）
（g（x）
≠0）
⎣⎦
d[f（x）±g（x）]=df（x）±dg（x）
d[f（x）⋅g（x）]=g（x）df（x）+f（x）dg（x）
d⎡f（x）⎤=g（x）df（x）-f（x）dg（x）
（g（x）≠0）
⎢g（x）⎥
g2（x）
⎣⎦
2.复合函数求导
sin21
【例】y=2x，求y'
13
3.反函数求导
设函数y=f（x）,f'（x）≠0，其反函数为x=ϕ（y），则ϕ'（y）=dx=1=
dydy
dx
4.参数方程求导
1
f'（x）
⎧x=ϕ（t）
dydydt
ψ'（t）
⎩
设函数y=y（x）由⎨y=ψ（t）确定，t为参数，则dx=dxdt=ϕ'（t）
⎨
⎧x=θcosθ
【例】设函数由
⎩y=θsinθ
确定，求
dy
dxθ=π
2
5.隐函数求导
方程两边分别对x求导即可，把方程中的y看成f（x）
⎡⎛1⎞⎤
【例】设y=
f（x）是由方程y-x=ex（1-y）所确定的，求limn⎢f⎜
⎟-1⎥.
n→∞⎣
⎝n⎠⎦
6.对数求导法
【例】y=5
（x-3）2（x+5）3（x-1）3
，求y'.
14
7.幂指函数求导
【例】y=xsinx，求y'.
8.高阶导数
（1）（u±v）（n）=u（n）±v（n）
（2）（uv）=∑Cuv
n
（n）k（n-k）（k）
n
k=0
（3）泰勒展开式
①设y=
f（x）无穷阶可导，
∞f（n）（x）n
y=f（x）=∑0（x-x0）
n=0
∞
y=f（x）=∑
n=0
n!
f（n）（0）
xn
n!
②根据题目所给的具体函数y=
f（x），将其展开
③由展开式的唯一性⇒比较①②展开式的多项式同幂次项前面的系数
0
⇒f（n）（0）,f（n）（x）
【例】y=x3sinx，求y（6）（0）.
15
9.参数方程确定的函数的二阶导数
⎧x=ϕ（t）
⎩
设函数y=y（x）由参数方程⎨y=ψ（t）确定，其中t是参数，则
⎧dy=dydt=ψ'（t）
⎪
⎪dx
⎨
⎪d2y
dxdt
⎛dy⎞
⎜dx⎟
ϕ'（t）
⎛dy⎞
⎜dx⎟dt
ψ'（t）ϕ'（t）-ψ'（t）ϕ'（t）
⎪=⎝⎠=⎝⎠=
⎪⎩dx2dx
dxdt
[ϕ'（t）]3
10.反函数的二阶导数
在y=
f（x）二阶可导的情况下，记f'（x）=y'x,ϕ'（y）=x'y（x'y≠0），则
⎧y'=dy=1=1
⎪
⎪xdx
⎪
⎨
dxx′ydy
⎛dy⎞
⎛1⎞
⎛1⎞
⎪d⎜
⎟d⎜
⎟d⎜⎟
⎪'d2y
⎝dx⎠
⎜x'⎟
⎜x'⎟dy
x'y'y1
⎪yxx=2
=⎝⎠=⎝⎠⋅
=-'2'
⎩⎪dxdx
dxdydx
（xy）xy
11.变限积分求导公式
F'（x）=d（⎰ϕ2（x）（）
）=f[ϕ
（x）]ϕ'（x）-f[ϕ（x）]ϕ'（x）
ftdt
dxϕ1（x）
2211
12.基本初等函数的导数公式
（c）'=0
d（c）=0
（xα）'=αxα-1
（sinx）'=cosx
（实常数）
d（xα）=αxα-1dx
dsinx=cosxdx
（实常数）
（cosx）'=-sinx
（tanx）'=sec2x
（cotx）'=-csc2x
（secx）'=secxtanx
（cscx）'=-cscxcotx
dcosx=-sinxdx
dtanx=sec2xdx
dcotx=-csc2xdx
dsecx=secxtanxdx
dcscx=-cscxcotxdx
16
（loga
x）'=
1
xlna
（a>0,a≠1）
dlogax=
dxxlna
（a>0,a≠1）
（lnx）'=1
x
（ax）'=axlna（a>0,a≠1）
（ex）'=ex
dlnx=1dx
x
dax=axlnadx（a>0,a≠1）
dex=exdx
（arcsinx）'=
1
1-x2
darcsinx=
1dx
1-x2
（arccosx）'=-
（arctanx）'=
1
1-x2
1
darccosx=-
darctanx=
1dx
1-x2
1dx
1+x21+x2
（arccotx）'=-
1
1+x2
darccotx=-
1dx
1+x2
[ln（x+
[ln（x+
x2+a2）]'=1
x2+a2
x2-a2）]'=1
x2-a2
dln（x+
dln（x+
x2+a2）=1dx
x2+a2
x2-a2）=1dx
x2-a2
二、一元函数积分学的基本计算
1.凑微分法
（1）基本思想
⎰f[g（x）]g'（x）dx=⎰f[g（x）]d[g（x）]=⎰f（u）du
当被积函数比较复杂时，拿出一部分放到d后面去，若能凑成⎰f（u）du的形式，则凑微分成功.
（2）归纳总结凑微分的思维结构
①熟练掌握教材中的基本积分公式及常用的凑微分公式.
f（x）
②当被积函数可分为f（x）g（x）或
g（x）
时，其中f（x）较复杂时，对f（x）求导数（或其主
要部分）求导，一般得到g（x）的倍数，既可以是常数倍，也可以是函数倍，从而凑微分进行计算.
③当对f（x）求导得不到g（x）的倍数时，考虑“被积函数的分子分母”，同乘以或同除以一个适当的因子，恒等变形以达到凑微分的目的.一般而言，因子应根据题设函数给出，常用
的有eαx，xβ，sinx，cosx等.
17
⎰
cos2x-sinx
【例】求cosx（1+cosxesinx）dx
2.换元法
（1）基本思想
⎰f（x）dxx=g（u）⎰f[g（u）]d[g（u）]
u=g-1
=f[g（u）]g'（u）du
⎰
（x）
u=g-1
（x）
当被积函数不容易积分（比如含有根式，含有反三角函数）时，可以
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