6．解：
依题意有2x－（3－x）×1＞0，
即2x－3＋x＞0，解得x＞1，故x的取值范围是x＞1.
专训2 一元一次不等式的解法的应用
名师点金：
一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，也是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤，但在去分母和系数化为1时，如果不等式两边乘或除以同一个负数，那么不等号的方向要改变．
直接解不等式
1．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
（1）x＞
x－2；
（2）【中考·自贡】
－x＞1；
（3）
≥2（x＋1）．
2．下面解不等式的过程是否正确？
如不正确，请找出开始出错之处，并改正．
解不等式：
－1＜
.
解：
去分母，得5（4－3x）－1＜3（7＋5x）． ①
去括号，得20－15x－1＜21＋15x. ②
移项，合并同类项，得－30x＜2. ③
系数化为1，得x＞－
. ④
解含字母系数的一元一次不等式
3．【中考·大庆】解关于x的不等式ax－x－2＞0.
解与方程（组）的解综合的不等式
4．当m取何值时，关于x的方程
x－1＝6m＋5（x－m）的解是非负数？
5．二元一次方程组
的解满足不等式ax＋y＞4，求a的取值范围．
解与新定义综合的不等式
6．定义新运算：
对于任意数a，b都有a△b＝ab－a－b＋1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：
2△4＝2×4－2－4＋1＝8－6＋1＝3.请根据上述定义解决问题：
若3△x的值大于5，求x的取值范围．
解与不等式解集综合的不等式
7．已知关于x的不等式2x＋a＞0的解也是不等式
＜
的解，求a的取值范围．
答案
1．解：
（1）x＞
x－2，
x＞－2，
x＞－3.
在数轴上表示如图所示．
[第1
（1）题]
（2）
－x＞1，
4x－1－3x＞3，
x＞4.
在数轴上表示如图所示．
[第1
（2）题]
（3）
≥2（x＋1），
x＋1≥6x＋6，
－5x≥5，
x≤－1.
在数轴上表示如图所示．
[第1（3）题]
2．解：
第①步开始出错，应该改成：
5（4－3x）－15＜3（7＋5x），
20－15x－15＜21＋15x，
－30x＜16，
x＞－
.
3．解：
（a－1）x＞2，
当a－1＞0，即a＞1时，x＞
；
当a－1＝0，即a＝1时，无解；
当a－1＜0，即a＜1时，x＜
.
4．解：
解方程得x＝－
（m＋1），
由题意得－
（m＋1）≥0，
解得m≤－1.
∴当m≤－1时，原方程的解为非负数．
5．解：
解方程组
得
代入不等式得2a＋2＞4.解得a＞1.
6．解：
由题意得3△x＝3x－3－x＋1＞5，解得x＞
.
7．解：
解第一个不等式得x＞－
，解第二个不等式得x＞
.
则根据题意得－
≥
，解得a≤－
.
专训3 常见的一元一次不等式的应用
名师点金：
1.解不等式应用题的关键是建立不等式模型，即在审题过程中寻找不等关系，建立不等式．列不等式时要注意不等关系中是否包含相等的情况．
2．利用不等式可以研究最优问题，研究方案选择问题等．
一元一次不等式在代数中的应用
1．当x________时，式子2（x－1）的值大于3x＋1的值．
2．若三个连续奇数的和小于27，则有________组这样的正奇数．
3．一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字大2，且这个两位数小于40，求这个两位数．
一元一次不等式在实际问题中的应用
利用一元一次不等式解决简单的实际问题
4．【中考·宁波】2017年5月14日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
（1）甲种商品与乙种商品的销售单价各是多少元？
（2）若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
最优问题
5．甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：
在甲超市累计购买商品超出300元，超出部分按原价的八折优惠；在乙超市累计购买商品超出200元，超出部分按原价的八五折优惠．设顾客预计累计购物x元（x＞300）．
（1）请用含x的式子分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；
（2）试比较顾客到哪家超市购物更优惠．
方案选择问题
6．【中考·邵阳】某校计划组织师生共300人参加一次大型公益活动，如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满，已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多17个．
（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；
（2）由于最后参加活动的人数增加了30人，学校决定调整租车方案，在保持租用车辆总数不变的情况下，为将所有参加活动的师生装载完，求租用小客车数量的最大值．
答案
1．＜－3
2．3 点拨：
设最小的一个正奇数为x，则另两个正奇数分别为x＋2，x＋4.根据题意得x＋（x＋2）＋（x＋4）＜27，解得x＜7.
∵x为正奇数，∴x可取1，3，5.
故有3组这样的正奇数，分别为1，3，5；3，5，7；5，7，9.
3．解：
设这个两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为（x＋2），这个两位数为10（x＋2）＋x.
根据题意，得10（x＋2）＋x＜40，解得x＜
.
因为x为非负整数，所以x在这个范围内的取值为0，1.
当x＝0时，x＋2＝2，此时这个两位数为20；
当x＝1时，x＋2＝3，此时这个两位数为31.
所以这个两位数为20或31.
点拨：
记住两位数的表示方法；在写答案时，要写全所有的答案，不能漏写，更不能多写．
4．解：
（1）设甲种商品的销售单价是x元，乙种商品的销售单价是y元，依题意有
解得
答：
甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的销售单价是600元．
（2）设销售甲种商品a万件，依题意有
900a＋600（8－a）≥5400，
解得a≥2.
答：
至少销售甲种商品2万件．
5．解：
（1）在甲超市购物所付的费用是300＋0.8（x－300）＝0.8x＋60（元）；
在乙超市购物所付的费用是200＋0.85（x－200）＝0.85x＋30（元）．
（2）当0.8x＋60＝0.85x＋30时，解得x＝600，所以当顾客累计购物600元时，到两家超市购物所付费用相同；
当0.8x＋60＞0.85x＋30时，解得x＜600，而x＞300，所以300＜x＜600，即当顾客累计购物超过300元且不满600元时，到乙超市购物更优惠；
当0.8x＋60＜0.85x＋30时，解得x＞600，即当顾客累计购物超过600元时，到甲超市购物更优惠．
6．解：
（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个，每辆大客车的乘客座位数是y个，
根据题意可得
解得
答：
每辆小客车的乘客座位数是18个，每辆大客车的乘客座位数是35个．
（2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完，
则18a＋35（11－a）≥300＋30，
解得a≤3
，
符合条件的a的最大整数是3.
答：
租用小客车数量的最大值为3.
专训1 一元一次不等式组的解法技巧
名师点金：
1.求一元一次不等式组的解集就是求不等式组中几个不等式解集的公共部分，当几个不等式解集没有公共部分时，我们通常说这个不等式组无解．
2．确定一元一次不等式组解集的常用方法：
（1）数轴法；
（2）口诀法．
解普通型的一元一次不等式组
1．【中考·临沂】不等式组
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
2．如果不等式组
的解集是3＜x＜5，那么a，b的值分别为（ ）
A．3，5 B．－3，－5
C．－3，5D．3，－5
3．【中考·武威】解不等式组
并写出该不等式组的最大整数解．
4．已知不等式组
（1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程mx＋6＝x－2m，求m的值．
“连写”型不等式转化为不等式组求解
5．满足不等式－1<
≤2的整数的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．无数个
6．若式子4－k的值大于－1且不大于3，则k的取值范围是____________．
7．用两种不同的方法解不等式－1<
≤5.
“绝对值”型不等式转化为不等式组求解
8．解不等式：
≤4.
“分式”型不等式转化为不等式组求解
9．解不等式：
<0.
答案
1．C
2．D 点拨：
解不等式组得a＜x＜－b.因为此不等式组的解集为3＜x＜5，所以a＝3，b＝－5.
3．解：
解
（x－1）≤1得x≤3，解1－x<2得x>－1.
则不等式组的解集是－1∴该不等式组的最大整数解为x＝3.
点拨：
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找，确定不等式组的解集．
4．解：
（1）由不等式①得x＜
.
由不等式②得x＞
.
∴不等式组的解集为
＜x＜
.
∴不等式组的整数解为2.
（2）将x＝2代入mx＋6＝x－2m得2m＋6＝2－2m，
∴m＝－1.
5．B 6.1≤k＜5
7．解：
方法一：
原不等式可化为下面的不等式组
解不等式①，得x>－1.
解不等式②，得x≤8.所以原不等式的解集为－1方法二：
－1<
≤5，－3<2x－1≤15，－2<2x≤16，
－18．思路导引：
这个不等式不是一元一次不等式，因此不能用解一元一次不等式的方法来解．但由绝对值的知识|x|＜a（a＞0），可知－a＜x＜a.
解：
由
≤4，得－4≤
≤4.
则原不等式可转化为
解不等式①，得x≥－
.解不等式②，得x≤3.
所以原不等式的解集为－
≤x≤3.
点拨：
解题时要先将含绝对值的不等式转化为不等式组再进行求解．
9．思路导引：
不等式的左边为
，是两个一次式相除的形式（也是以后要讲的分式形式），右边是零．它可以理解成“当x取什么值时，两个一次式的商是负数？
”由除法的符号法则可知，只要被除式与除式异号，商就为负值．因此这个不等式的求解问题，可以转化为解一元一次不等式组的问题．
解：
∵
＜0，∴3x－6与2x＋1异号．
即：
（Ⅰ）
或（Ⅱ）
解（Ⅰ）的不等式组得
∴此不等式组无解．
解（Ⅱ）的不等式组得
∴此不等式组的解集为－
＜x＜2.
∴原不等式的解集为－
＜x＜2.
专训2 含字母参数的一元一次不等式（组）的应用
名师点金：
含字母参数的不等式（组）通常有这样几种类型：
一是方程（组）的解满足特定的要求．这类问题的解题思路是先用含字母参数的式子来表示方程（组）的解，再依据要求列出关于字母参数的不等式（组）求解即可．
二是含字母参数的不等式（组）的解集满足特定的要求．这类问题的解题思路是先用含字母参数的式子表示出不等式（组）的解集，再根据要求列出关于字母的不等式（组）求解即可．
与方程组的综合问题
1．已知有理数x，y同时满足三个条件：
①x－y＝2－m，②4x－3y＝2＋m，③x＞y，那么有理数m的取值范围是（ ）
A．m＞－2 B．m＜2 C．m＜－2 D．m＞2
2．已知方程组
的解中，x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a－3|＋|a＋2|.
3．在等式y＝ax＋b中，当x＝1时，y＝－3；当x＝－3时，y＝13.
（1）求a，b的值；
（2）当－1＜x＜2时，求y的取值范围．
与不等式的解集的综合问题
已知解集求字母参数的值或范围
4．已知不等式（a－2）x＞4－2a的解集为x＜－2，则a的取值范围是__________．
5．若不等式组
的解集为－1＜x＜1，求（b－1）a＋1的值．
已知整数解的情况求字母参数的取值范围
6．【中考·毕节】已知关于x的不等式组
的解集中共有5个整数，则a的取值范围为（ ）
A．7＜a≤8B．6＜a≤7
C．7≤a＜8D．7≤a≤8
7．试确定有理数a的取值范围，使不等式组
恰有两个整数解．
已知不等式组有无解的情况求字母参数的取值范围
8．若关于x的不等式组
无解，则a的取值范围是__________．
9．若关于x的不等式组
有解，求a的取值范围．
答案
1．B
2．解：
（1）解方程组得
∵x为非正数，y为负数，
∴
解得－2＜a≤3.
（2）∵－2＜a≤3，即a－3≤0，a＋2＞0，
∴原式＝3－a＋a＋2＝5.
3．解：
（1）将x＝1，y＝－3；x＝－3，y＝13代入y＝ax＋b，得
解得
（2）由y＝－4x＋1，得x＝
.
∵－1＜x＜2，∴－1＜
＜2，解得－7＜y＜5.
4．a＜2
5．解：
解①得x＜
，解②得x＞2b＋3.根据题意得
＝1，且2b＋3＝－1，解得a＝1，b＝－2，则（b－1）a＋1＝（－3）2＝9.
6．A
7．解：
由
＋
＞0两边同乘6，
得3x＋2（x＋1）>0，解得x＞－
.
由x＋
＞
（x＋1）＋a两边同乘3，
得3x＋5a＋4>4（x＋1）＋3a，解得x<2a，
∴原不等式组的解集为－
又∵原不等式组恰有两个整数解，
∴x＝0或x＝1.∴1＜2a≤2，即
＜a≤1.
8．a≤1
9．解：
解不等式①得x＜a－1.解不等式②得x＞－6.
∵不等式组有解，∴－6＜x＜a－1，
则a－1＞－6，解得a＞－5.
专训3 巧用一元一次不等式（组）进行方案设计
名师点金：
利用一元一次不等式（组）来设计方案问题应用广泛，解答这类问题的关键是先根据题意列出不等式（组），再根据问题的实际意义得出不等式（组）的特殊解来确定方案．其主要类型有：
通信计费方案、商品购买方案、车辆调配方案等．
通信计费方案
1．某人的移动电话（手机）可选择两种收费办法中的一种，甲种收费办法是先交月租费20元，每通一分电话再收费0.1元；乙种收费办法是不交月租费，每通一分电话收费0.2元．问每月通话时间在什么范围内选择甲种收费办法合适？
在什么范围内选择乙种收费办法合适？
商品购买方案
2．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案．在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100.
（1）根据题意，填写下表（单位：
元）：
累计购物额
130
290
…
x
在甲商场实际花费
127
…
在乙商场实际花费
126
…
（2）当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？
（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
车辆调配方案
3．某镇组织20辆汽车装运A，B，C三种脐橙共100t到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题．
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量/t
6
5
4
（1）设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，请用含x的代数式表示y.
（2）如果装运每种脐橙的车辆都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？
写出所有的安排方案．
4．某市果农王灿收获枇杷20t，桃子12t．现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4t和桃子1t，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各2t.
（1）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？
有几种方案？
（2）若甲种货车每辆要付运费300元，乙种货车每辆要付运费240元，则果农王灿应选择哪种方案使运费最少？
最少运费是多少？
答案
1．解：
设每月通话x分，则
当20＋0.1x<0.2x时，解得x>200，
当20＋0.1x>0.2x时，解得x<200，
所以当每月通话时间多于200分时，选择甲种收费办法合适；当每月通话时间少于200分时，选择乙种收费办法合适．
2．解：
（1）271；0.9x＋10；278；0.95x＋2.5
（2）根据题意，得0.9x＋10＝0.95x＋2.5，解得x＝150.
所以当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．
（3）令0.9x＋10＜0.95x＋2.5，解得x＞150；
令0.9x＋10＞0.95x＋2.5，解得x＜150.
所以当小红累计购物超过150元时，在甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元但不足150元时，在乙商场实际花费少．
点拨：
此题主要考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，此类问题出现的较多且不简单，有一定难度，涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来．
3．解：
（1）根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为20－x－y，则有6x＋5y＋4（20－x－y）＝100.整理，得y＝－2x＋20.
（2）由
（1）知装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x，－2x＋20，x.
由题意，得
解得4≤x≤8.
因为x取正整数，所以x的值为4，5，6，7，8，所以安排方案共有5种．
方案一：
装运A种脐橙的汽车4辆，B种脐橙的汽车12辆，C种脐橙的汽车4辆；
方案二：
装运A种脐橙的汽车5辆，B种脐橙的汽车10辆，C种脐橙的汽车5辆；
方案三：
装运A种脐橙的汽车6辆，B种脐橙的汽车8辆，C种脐橙的汽车6辆；
方案四：
装运A种脐橙的汽车7辆，B种脐橙的汽车6辆，C种脐橙的汽车7辆；
方案五：
装运A种脐橙的汽车8辆，B种脐橙的汽车4辆，C种脐橙的汽车8辆．
4．解：
（1）设安排甲种货车x辆，则安排乙种货车（8－x）辆．
由题意得
解得2≤x≤4.
∵x取整数，∴x可取2，3，4.
∴安排甲、乙两种货车有三种方案：
甲种货车
乙种货车
方案一
2辆
6辆
方案二
3辆
5辆
方案三
4辆
4辆
（2）方案一所需运费为300×2＋240×6＝2040（元）；
方案二所需运费为300×3＋240×5＝2100（元）；
方案三所需运费为300×4＋240×4＝2160（元）．
∵2040<2100<2160，
∴果农王灿应选择方案一使运费最少，最少运费是2040元．
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