财务管理插值法的快速理解和掌握之欧阳史创编.docx

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财务管理插值法的快速理解和掌握之欧阳史创编

教学中插值法的快速理解和掌握

时间：

2021.02.10

创作：

欧阳史

2009-4-139:

52　田笑丰　【大中小】【打印】【我要纠错】

摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。

本文根据不同情况分门别类。

利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。

并将其归纳为两类：

加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。

关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形

　　时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。

是财务决策的基本依据。

为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。

但在教学过程中。

笔者发现大多数教材插值法（也叫插入法）是用下述方法来进行的。

如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。

　　事实上，这样计算的结果是错误的。

最直观的判断是：

系数与期数成正向关系。

而4.000更接近于3.791。

那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。

正确结果是：

n=6-0.6=5.4（年）。

由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。

　　笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。

　　一、已知系数F和计息期n。

求利息率i

　　这里的系数F不外乎是现值系数（如：

复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA）和终值系数（如：

复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA）。

（一）已知的是现值系数

　　那么系数与利息率（也即贴现率）之间是反向关系：

贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。

　　图1中。

F表示根据题意计算出来的年金现值系数（复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1），F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。

查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。

（二）已知的是终值系数

　　那么系数与利息率之间是正向关系：

利息率越大系数也越大。

其关系可用图2表示。

　　图2中，F表示根据题意计算出来的某种终值系数。

F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。

F对应的利息率仍记作i，查表所得的另一个比F略大的系数记作F，其对应的利息率即为i。

　　上面两图中，二者往往相差1％，最多也不超过5％，故曲边三角形ABC和ADE可近似地看作直边三角形。

　　二、已知系数F和利息率i。

求计息期n

（一）已知的是终值系数和年金现值系数

　　那么系数与计息期间是正向关系：

计息期越大系数也越大。

可用图3表示。

　　图3中。

F表示根据题意计算出来的终值系数或年金现值系数，F为在相应系数表中查到的略小于F的那个系数。

F对应的计息期即为n，查表所得的另一个比F略大的系数即记作F。

其对应的计息期为n。

（二）已知的是复利现值系数

　　那么系数与计息期间是反向关系：

计息期越大系数反而越小。

可用图4表示。

　　图4中，F表不根据题意计算出来的复利现系数。

F1为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F1对应的计息期即为n1，那么还有另一个比F略小的系数即记作F2，其对应的计息期为n2。

　　同理，当n1和n2无限接近时，近似直边三角形ABC、ADE为相似三角形，则有：

BC／DE=AB/AD

　　在图3中即有：

F-F1／F2-F1=n-n1/n2-n1

　　在图4中则有：

n-n1/n2-n1＝F1-F／F1-F2

　　据上面两式均可求得：

　　n=n1+F1-F／F2-F1（n2-n1）…………………………公式2

　　三、内部报酬率IRR的计算

　　内部报酬率（或叫内部收益率）IRR是投资决策常用指标之一，也采用插值法来计算，其原理等同于时间价值中利息率的计算，只是因变量由终值、现值系数转变为净现值NPV。

其计算原理可在图5中得到反映。

　　这里，i1＜i2，且二者之差不超过5％，这是在实际计算中很多人容易忽略的一个方面。

在测算净现值时。

先试用一个较小的贴现率，求得的NPV远大于零，于是就再选用一个大得多的贴现率让NPV小于0，之后也直接套用公式3来计算IRR，这样虽然省事。

但误差较大，有时候会影响决策。

因为此时曲边三角形不可以近似看作直边三角形，后面的推导也就不成立了。

理解了这一原理，一般就会注意两次试用的贴现率之间差距不要太大。

其标准就是不超过5％。

　　以上三个公式均是以较小的变量（i1、n1）加上插入值。

可以称为加法公式。

公式中分式部分即插入值。

其分子、分母的被减项都是较小变量对应的系数或净现值，这样对应记忆快捷准确。

加上三者结构一致，记住一个即可举一反三，非常方便。

　　这三个公式均是以较大的一项（i2、n2）为起点，减去插入值，可以称为减法公式。

分式中分子、分母的被减项均是较大变量对应的系数或净现值，也是对应关系。

　　本文开头所提例子应该用减法公式，直接套用公式2，因为其列示已知变量是从大到小，但教材却用了加法公式2。

导致错误。

如果采用加法公式2，那就要对查表已知的期数及年金现值系数从小到大重新排列。

正确运用两公式的结果是一样的，均为5.4年。

　　插值法的原理是相似三角形定理，据此。

即使模糊或忘记了公式也可采用文中任一图示快速、准确地推导出来。

而且采用公式法，不论是根据什么系数。

也不论是求解利息率、计息期还是IRR。

均可套用，简单有效又不容易出错。

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　　【摘要】笔者通过例举了3个财务管理中的例子，总结出了一种简易的插值法，可以非常直观的解决财务管理实务中的问题。

　　【关键词】简易插值法；财务管理实务；财务问题

　　中图分类号:

C931文献标识码:

A文章编号:

1009-8283（2009）01-0036-01

　　财务管理实务中多处用到插值法求解相关问题，如求年金或复利现值系中的贴现率i或期数n、求内含报酬率IRR等，但是国内大部分的《财务管理》教材中都未讲解插值法的计算原理，导致许多学生死记公式，计算常常发生错误。

笔者总结出一种简易的插值法，可以非常直观地解决上述问题。

下面通过几个具体例题来阐述这种方法：

　　[例1]：

假设年利率为10%，按复利计算，投资者需要存款多长时间才能使3000元变为9000元。

　　解：

已知PV=3000，FV=9000，i=10%，求n

　　依据公式：

FV=PV*（1+10%）n

　　或FV=PV*（F/P,10%,n）

　　可知：

（F/P,10%,n）=FV/PV=9000/3000=3查复利现值系数表可知：

　　当n=11时,（F/P,10%,11）=2.8531

　　当n=12时,（F/P,10%,12）=3.1384

　　故所求n值应介于11与12之间

　　利用简易插值法求解如下：

　　n（F/P,10%,n）n（F/P,10%,n）

　　112.8531112.8531

N3123.1384

　　差值A=-0.1469Q=1B=-0.2853

　　n=11+A/B*Q

　　=11+（-0.1469/-0.2853）*1

　　=11+0.5149

　　=11.5489（年）

　　吕红（1968--），女，广东建设职业技术学院经管系讲师、会计硕士，主要研究方向为财务管理理论与实务。

CPA会计概念理解篇—插值法计算实际利率2009-05-1913:

44:

39|来源：

财考网|作者：

　　一：

概念理解　　“插值法”计算实际利率。

在08年考题中涉及到了实际利率的计算，其原理是根据比例关系建立一个方程，然后，解方程计算得出所要求的数据，　　例如：

假设与A1对应的数据是B1，与A2对应的数据是B2，现在已知与A对应的数据是B，A介于A1和A2之间，即下对应关系：

A1　　B1　　A（？

）　B　　A2　　B2　　则可以按照（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）计算得出A的数值，其中A1、A2、B1、B2、B都是已知数据。

根本不必记忆教材中的公式，也没有任何规定必须B1＞B2　　验证如下：

根据：

（A1-A）/（A1-A2）=（B1-B）/（B1-B2）可知：

　　（A1-A）＝（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2）　　A＝A1－（B1-B）/（B1-B2）×（A1-A2）　　＝A1＋（B1-B）/（B1-B2）×（A2-A1）　　考生需理解和掌握相应的计算。

　　例如：

某人向银行存入5000元，在利率为多少时才能保证在未来10年中每年末收到750元？

　　5000/750=6.667或750*m=5000　　查年金现值表，期数为10，利率i=8%时，系数为6.710；i=9%，系数为6.418.说明利率在8-9%之间，设为x%　　8%　　6.710　　x%　　6.667　　9%　　6.418　　（x%-8%）/（9%-8%）=（6.667-6.71）/（6.418-6.71）计算得出x=8.147.　　二、经典例题　　2000年1月1日，ABC公司支付价款120000元（含交易费用），从活跃市场上购入某公司5年期债券，面值180000元，票面利率5%，按年支付利息（即每年9000元），本金最后一次支付。

合同约定，该债券的发行方在遇到特定情况时可以将债券赎回，且不需要为提前赎回支付额外款项。

XYZ公司在购买该债券时，预计发行方不会提前赎回。

　　ABC公司将购入的该公司债券划分为持有至到期投资，且不考虑所得税、减值损失等因素。

为此，XYZ公司在初始确认时先计算确定该债券的实际利率：

　　设该债券的实际利率为r，则可列出如下等式：

　　9000×（1+r）-1+9000×（1+r）-2+9000×（1+r）-3+9000×（1+r）-4+（9000+180000）×（1+r）-5=120000元　　采用插值法，可以计算得出r=14.93%.由此可编制表　　年份期初摊余成本（a）实际利率（r）　　r=14.93%现金流入（c）期末摊余成本　　d=a+r-c　　2000120000179169000128916　　2001128916192479000139163　　2002139163207779000150940　　2003150940225359000164475　　200416447524525（倒挤）1890000　　但是如果计算利率r先假设两个实际利率a和b，那么这两个利率的对应值为A和B，实际利率是直线a、b上的一个点，这个点的对应值是120000，则有方程：

　　（a-r）/（A-120000）=（b-r）/（B-120000），　　假设实际利率13%则有=9000×3.5172+180000×0.5428=31654.8+97704=129358.8　　假设实际利率15%则有=9000×3.3522+180000×0.4972=30169.8+89496=119665.8　　（0.13-r）/9358.8=（0.15-r）/（-334.2）　　解得：

r=14.93%

时间：

2021.02.10

创作：

欧阳史