机械振动考试复习12页word文档.docx

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2.1弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为。

设将物体向下拉，使弹簧有静伸长，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。

解：

设物体质量为，弹簧刚度为，则：

，即：

取系统静平衡位置为原点，系统运动方程为：

（参考教材P14）

解得：

2.2弹簧不受力时长度为65cm，下端挂上1kg物体后弹簧长85cm。

设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。

解：

由题可知：

弹簧的静伸长

所以：

取系统的平衡位置为原点，得到：

系统的运动微分方程为：

其中，初始条件：

（参考教材P14）

所以系统的响应为：

弹簧力为：

因此：

振幅为0.2m、周期为、弹簧力最大值为1N。

2.3重物悬挂在刚度为的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物从高度为处自由落到上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。

解：

取系统的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有位移时，系统有：

由可知：

即：

系统的初始条件为：

（能量守恒得：

）

因此系统的响应为：

其中:

即：

2.4一质量为、转动惯量为的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧约束，如图所示，求系统的固有频率。

解：

取圆柱体的转角为坐标，逆时针为正，静平衡位置时，则当有转角时，系统有：

由可知：

即：

（rad/s）

2.6求如图所示系统的周期，三个弹簧都成铅垂，且。

解：

取的上下运动为坐标，向上为正，静平衡位置为原点，则当有位移时，系统有：

（其中：

）

由可知：

即：

（rad/s），（s）

2.7如图所示，半径为r的均质圆柱可在半径为R的圆轨面内无滑动地、以圆轨面最低位置O为平衡位置左右微摆，试导出柱体的摆动方程，求其固有频率。

解：

设物体重量，摆角坐标如图所示，逆时针为正，当系统有摆角时，则：

设为圆柱体转角速度，质心的瞬时速度：

，即：

记圆柱体绕瞬时接触点A的转动惯量为，则：

（或者理解为：

，转动和平动的动能）

由可知：

即：

（rad/s）

2.8横截面面积为A，质量为m的圆柱形浮子静止在比重为的液体中。

设从平衡位置压低距离x（见图），然后无初速度地释放，若不计阻尼，求浮子其后的运动。

解：

建立如图所示坐标系，系统平衡时，由牛顿第二定律得：

，即：

有初始条件为：

所以浮子的响应为：

2.9求如图所示系统微幅扭振的周期。

图中两个摩擦轮可分别绕水平轴O1，O2转动，它们相互啮合，不能相对滑动，在图示位置（半径O1A与O2B在同一水平线上），弹簧不受力。

摩擦轮可以看做等厚均质圆盘，质量分别为m1，m2。

解：

两轮的质量分别为，因此轮的半径比为：

由于两轮无相对滑动，因此其转角比为：

取系统静平衡时，则有：

由可知：

即：

（rad/s），（s）

有一自动脱水洗衣机重W=20kN，由四根弹簧支承；如图所示，每根弹簧的刚度由试验测定为k=800N/cm。

另有四个阻尼器，总的相对阻尼系数为=0.15。

洗衣机在初次脱水时，以n=300r/min运行。

此时，衣服偏心重为130N，偏心距为50cm。

由于结构的对称性，垂直方向的振动可视为单自由度系统，试求其垂直振幅。

解依题意，本题属于偏心质量引起的强迫振动问题。

首先求出系统的固有频率为

（1/s）

而激振力频率为

（1/s）

故。

说明此时系统不会发生共振，并且超过共振区较远。

由，可求得

=0.38

有一个阻尼弹簧—质量系统，m=8kg,k=5N/m,c=0.2N·s/mm.试确定质量m振动时的位移表达式。

解系统的无阻尼固有频率为

rad/s

系统的临界阻尼系统为=400N·s/m

系统的阻尼比为

显示系统是弱阻尼系统，其有阻尼固有频率为

A和由施于系统的初始条件决定。

有一无阻尼系统，其固有频率为n受到一简谐激励力的作用，试确定其强迫振动。

解系统的运动方程为

或

用代换有

假定方程解的形式为

代入上式，得

这是不成立的，除非F=0我们再假定方程的解为

代入，则得

因此，有

对于激励力，有

如图所示，有一仪器需要隔振，其允许振幅为0.2mm，隔振装置采用对称布置的8个并联的弹簧组成。

已知地面是按㎝的规律振动。

仪器重W=8kN，每个弹簧刚度为=130N/cm，忽略阻尼的影响，试求其传递率及所采用的隔振装置效果是否满足要求。

解这个问题属于消极隔振问题。

系统的固有频率为

地面的振动频率为

故有隔振效果。

因忽略阻尼影响，即ξ=0。

则根据式

得

又故

隔振效果是满足要求的.

其隔振效果有时又可用—隔振效率来表示

即通过隔振装置可以隔离掉激励振幅的85.1%。

有一阻尼系统，质量为m，弹簧刚度为k，测得其自由振动数据，试确定其阻尼大小。

解由阻尼自由振动的响应可知，在时间ti,系统运动幅值

在ti+Td时刻，）Td为周期，其振动幅值xi+T有

前后两幅值相比

令T=Tl

把代入上式得

在振动试验中可测上系统阻尼自由振动时的响应，求出δ,进而得到系统的阻尼比。

试用能量法求弹簧——质量系统的固有频率。

解：

设为量自静平衡位置的位移，则

因为系统作简谐振动，故其位移为

则

所以,

代入式并整理得到系统的固有频率

如图所示，一台仪器采用橡胶隔振器隔振，已知系统的固有频率为4Hz，橡胶隔振器的阻尼比ξ=0.142，如地面振动的垂直分量是正弦振动，振幅为1.5μ，最大振动速度为0.112mm／s，试求该仪器的强迫振动的振幅。

解依题意，首先将之简化为“图2（b）”所示的力学模型。

可见它是由于基础（或支承点）的运动而激励的。

支承点作正弦振动，其位移的规律为y=Asinωt。

设系统的质量块m运动的垂直坐标x是相对于固定在地面的坐标y的，则m相对于支承点的相对位移和相对速度分别为及。

因此，质量块m的受力图如“图2（c）”所示。

根据牛顿第二定得

化简上式便得到系统的运动微分方程

（1）

由题设是一简谐激励，所以作用于系统上的及两个力都是简谐激励力，因此系统的响应也应是一个简谐振动。

现采用复数法求解微分方程

（1）的响应。

设方程的解为

令，

则

这样可使位移与位移相差一个相位角ψ。

将之代入式

（1）得

或=,（a）

于是振幅B即为复数矢量的模，即

=

（2）

若将式（a）改写为

由此得

tanψ=（3）,

式中的符号仍为

ξ=,,。

由式

（2）、式（3）得放大因子为

β=

ψ=

由题设，系统固有频率=4Hz，ξ=0.142，A=1.5μ，=0.1120mm／s。

则由，可求得地面振动的频率为

1/s，

又1/s，

故。

于是仪器的受迫振动的幅值可用式

（2）求得

B=

有一凸轮机构，凸轮以每分钟60转旋转，升程为10产生的锯齿形运动传给有阻尼弹簧—一质量系统，试确定系统的稳态响应。

解：

在一个周期内激励函数可表示为

展成Fourier级数为

系统的运动方程为

因而系统的稳态响应为

确定无阻尼单自由度系统的矩形脉冲的响应。

解激励力的表达式为

系统的响应可分为两种情况考虑

1.t

这时，系统的响应和6题的情况相同为

2.t>td

一卷扬机，通过钢索和滑轮吊挂重物，重物重量W=147000N,以v=0.025m/s等速下降，如突然制动，钢索上端突然停止，这时钢索中的最大张力是多少？

钢索弹簧常数为5782×103N/m。

解

以索丝停止这一时刻重物的平衡位置作为坐标原点，则系统可简化为图（c）

系统的固有频率rad/s

初始条件为=0=V

代入方程得A=0.00128

由振动引起钢索中的动张力

=7400.96N

钢索中总张力为=154400.96N

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