完整word版初二等腰三角形总复习Word下载.docx

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C.“等边对等角”和“等角对等边”都是等腰三角形的性质

D.等腰三角形的外角中一定有钝角

12.已知如图,四边形ABCD中,AB=BC,∠A=∠C,求证:

AD=CD.

13.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°

,求三角形三个内角的度数.

14.已知:

如图,AB=AC,CE⊥BC,BD⊥BC.过点A的直线DE交BD于D,交CE于E.

AD=AE.

15.如图,在△ABC中,∠B=90°

,M是AC上任意一点(M与A不重合)MD⊥BC,交∠BAC的平分线于点D,求证:

MD=MA.

16.如图,∠AOB是一钢架,且∠AOB=15°

,为了使钢架更加坚固,需要其内部添加一些钢管EF、FG、GH,·

·

,添加的钢管长度都与OE相等,则最多能添加这样的钢管根.

17.已知:

BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,AF⊥CD于点F,求证:

∠1=∠2.

18.已知:

平面坐标系内点A坐标为(1,1),点B在坐标轴上.若△OAB为等腰三角形,则点B的位置有多少种可能?

13.3.2等边三角形

1.已知:

如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:

BD=DE.

2.已知:

如图,在Rt△ABC中,∠C=90°

,∠BAD=

∠BAC,过点D作DE⊥AB,DE恰好是∠ADB的平分线,求证:

CD=

DB.

3.如图,在一场足球比赛中,球员A欲传球给同伴B,对方球员C意图抢断传球,已知球速为16m/s,球员速度为8m/s.当球由A传出的同时,球员C选择与AC垂直的方向出击,恰好在点D处将球成功抢断,则角α=。

(球员反应速度、天气等其他因素均不予考虑)

4.如图,等边三角形ABC内有一点P,PE⊥AB,PF⊥AC,PD⊥BC,垂足分别为E,F,D,且AH⊥BC于H,试用三角形面积公式证明:

PE+PF+PD=AH.

5.如图所示,在等边△ABC中,点D、E分别在边BC、AB上,且BD=AE,AD与CE交于点F,求证:

△ABD≌△CAE

6.下列三角形:

①有两个角等于60°

②有一个角等于60°

的等腰三角形;

③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形;

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(  )

A.①②③B.①②④

C.①③D.①②③④

7.如图,等边△ABC中,D、E分别为AB、AC上两点,下列结论:

①若AD=AE,则△ADE是等边三角形;

②若DE∥BC,则△ADE是等边三角形,

其中正确的有(  )

A.①B.②

C.①②D.都不对

8.如图,D,E,F分别是等边△ABC各边上的点,且AD=BE=CF,求证:

△DEF是等边三角形.

9.如图,D为等边三角形ABC内一点,将△BDC绕着点C旋转成△AEC,则△CDE是怎样的三角形?

请说明理由.

10.如图,△ABC为等边三角形,

∠BAD=∠CBE=∠ACF.

(1)求∠EDF的度数;

(2)求证:

△DEF为等边三角形.

11.已知,△ABC中,∠C=90°

,∠A=30°

,请证明:

AB=2BC.

12.已知△ABC是等边三角形,D、E、F分别是各边上的一点.

(1)若AD=BE=CF.试证明△DEF是等边三角形.

(2)若△DEF是等边三角形,那么AD=BE=CF成立吗?

若成立,请证明;

若不成立,请说明原因.

13.如图,等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点.求证:

AE=BD.

14.如图,△ABC中,∠C=90°

,∠B=15°

,AB的垂直平分线与BC交于点D,交AB于E,DB=8,求AC的长.

15.如图,点O是等边△ABC内一点,∠AOB=105°

,∠BOC=α.以OC为边作等边△OCD,连接AD.

(1)请证明:

OB=AD.

(2)△AOD能否成为等边三角形?

如能,请求出α的值;

如不能,请说明理由.

16.等腰三角形的底角为15°

,腰长为2,则该等腰三角形的面积是.

17.如图,点D、E是等边△ABC的边BC、

AC上的点,且CD=AE,AD、BE相交于点P,BQ⊥AD于Q.求证:

BP=2PQ.

18.如图,点C为线段AB上一点,△ACM、△CBN是等边三角形.请你证明:

(1)AN=BM;

(2)DE∥AB;

(3)CF平分∠AFB.

13.3等腰三角形

1.18,15或18,17.

2.65°

,80°

,70°

或55°

.

3.B.

4.8cm或10cm.

5.65°

32.5°

6.证明:

∵AD是BC边上的中线,

∴ED⊥BC(等腰三角形三线合一),

又∵BG是∠ABC的平分线,EF⊥AB,

∴EF=ED(角平分线上的点到角两边的距离相等).

7.证明:

方法一:

如图,作△ABC中BC边上的高线,垂足为D,

在Rt△ADB和Rt△ADC中,

∴Rt△ADB≌Rt△ADC(AAS)

∴AB=AC.

方法二:

如图,作△ABC中∠BAC的角平分线AD,

在△ADB和△ADC中,

∴△ADB≌△ADC(AAS),

方法三:

将△ABC视为△ABC和△ACB两个三角形,

在△ABC和△ACB中,

∴△ABC≌△ACB(ASA),

8.证明:

∵OA=OB,

∴∠A=∠B,

又∵AB∥DC,

∴∠C=∠B,∠D=∠A,

∴∠C=∠D,

∴△OCD是等腰三角形.

9.A.

10.D.

11.D.

12.如图,连接AC,

∵AB=BC,

∴∠BAC=∠BCA,

∵∠BAD=∠BCD,

∴∠BAD∠BAC=∠BCD∠BCA,

即∠DAC=∠DCA,

∴AD=CD(等角对等边).

13.30°

,75°

或150°

,15°

14.如图,过点A作AM⊥EC于点M,过点A作AN⊥BD交DB延长线于点N,

∵AM⊥ECAN⊥BD,

∴∠AMC=∠ANB=90°

∵∠NBC=∠MCB=90°

,∠ABC=∠ACB,

∴∠NBA=∠MCA,

又∵AB=AC,

∴△ABN≌△ACM(AAS),

∴AN=AM,

又∵∠AND=∠AME=90°

,∠D=∠E,

∴△ADN≌△AEM(AAS),

∴AD=AE.

15.∵MD⊥BC,且∠B=90°

∴AB∥MD,

∴∠BAD=∠D,

又∵AD为∠BAC的平分线,

∴∠BAD=∠MAD,

∴∠D=∠MAD,

∴MA=MD.

16.5.

17.如图,分别延长AB、AE交CD延长线于点M、N,

∵∠ABC=∠AED,∠BCD=∠EDC,

∴∠MBC=∠NED,∠BCM=∠EDN(同补角相等),

又∵BC=DE,

∴△BCM≌△EDN(ASA),

∴∠M=∠N,

∴AM=AN,

∴△AMN为等腰三角形,

又∵AF⊥CD,

∴∠1=∠2(等腰三角形三线合一).

18.8.

1.证明:

∵D是等边三角形ABC的AC边上的中点,

∴BD平分∠ABC(等腰三角形三线合一),

∴∠CBD=

∠ABC=30°

又∵CE=CD,

∴∠CDE=∠E,

又∵∠BCD=∠CDE+∠E=2∠E,

∴∠E=30°

=∠CBD,

∴BD=DE(等角对等边).

2.证明:

∵∠BAD=

∠BAC,DE⊥AB,DC⊥AC,

∴DC=DE(垂直平分线上的点到角两边的距离相等),

∴在△ADE和△BDE中,

∴△ADE≌△BDE(ASA),

∴∠B=∠DAE=∠CAD,

∴∠B=30°

∴DE=

DB,

又∵CD=DE,

∴CD=

3.30°

.

4.证明:

如图,连接PA,PB,PC,

则S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC,

∴S△ABC=S△PAB+S△PBC+S△PAC=

PE×

AB+

PD×

BC+

PF×

AC,

又∵AB=BC=AC,

∴S△ABC=

(PE+PF+PD)×

BC,

又∵S△ABC=

AH×

∴PE+PF+PD=AH.

5.证明:

在△ABD和△CAE中,

∴△ABD≌△CAE(SAS).

6.D.

7.C.

∵△ABC是等边三角形,且AD=BE=CF,

∴AF=BD=CE,

在△ADF、△BED和△CFE中,

∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),

∴DF=ED=FE,

∴△DEF是等边三角形.

9.△CDE是等边三角形

证明:

∵△AEC由△BDC绕着点C旋转而成,

∴△AEC≌△BDC,

∴CD=CE,

∴△CDE是等腰三角形,

又∵∠BCD=∠ACE,

∴∠BCD+∠ACD=∠ACE+∠ACD,即∠ACB=∠ECD,

∴∠ECD=60°

∴△CDE是等边三角形.

10.⑴∵ΔABC是等边三角形,

∴∠ABC=60°

∵∠BAD=∠CBE,

∴∠EDF=∠BAD+∠ABD=∠CBE+∠ABD=∠ABC=60°

⑵∵ΔABC是等边三角形,

∴∠ACB=60°

∵∠CBE=∠ACF,

∴∠FED=∠CBE+∠ECB=∠ACF+∠ECB=60°

又∵∠EDF=60°

∴∠FED=∠EDF=∠DFE=60°

∴ΔDEF是等边三角形.

11.如图,延长BC至点D,使CB=DC,连接AD,

∵∠ACB=∠ACD=90°

,CB=DC,

∴△ABC≌△ADC(SAS),

∴∠B=∠D,

∵∠A=30°

∴∠B=∠D=∠BAD=60°

∴△ABD为等边三角形,

∴AB=BD=BC+CD=2BC.

12.

(1)∵△ABC为等边三角形 

∴∠A=∠B=∠C,AB=AC=BC 

又∵AD=BE=CF 

∴CD=AE=BF 

∴△ADE≌△BEF≌△CFD(SAS),

∴DE=DF=EF 

∴△DEF为等边三角形;

(2)∵△ABC、△DEF是等边三角形,

∴∠A=∠B=∠C=60°

,∠DEF=∠EDF=∠DFE=60°

又∵∠AED+∠ADE=120°

,∠ADE+∠CDF=120°

∴∠AED=∠CDF,

同理可证∠AED=∠BFE,

∴∠AED=∠CDF=∠BFE,

又∵∠A=∠B=∠C,DE=FD=EF 

∴△ADE≌△CFD≌△BEF(AAS),

∴AD=CF=BE.

13.∵△ABC、△DEC为等边三角形,

∴BC=AC,DC=EC,∠ACB=∠BCD+∠ACD=60°

,∠DCE=∠ACE+∠ACD=60°

∴∠BCD=∠ACE,

∴△AEC≌△BDC(SAS),

∴AE=BD.

14.4.

15.

(1)∵△ABC、△OCD为等边三角形,

∴BC=AC,CD=CO,∠ACB=∠BCO+∠ACO=60°

,∠DCO=∠ACD+∠ACO=60°

∴∠BCO=∠ACD,

∴△ADC≌△BOC(SAS),

∴OB=DA.

(2)不能,设△AOD是等边三角形

由题意得

∵AD=OD=AODC=OC=ODOB=AD

∴AO=OB=OC

∴∠AOB=120º

这与已知∠AOB=105º

矛盾,所以△AOD不能成为等边三角形.

16.1.

17.证明:

∵△ABC是等边三角形,

∴AB=AC,∠BAC=∠C=60°

又∵在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,

∴△ABE≌△CAD(SAS),

∴∠ABE=∠CAD,

又∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=60°

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=60°

又∵BQ⊥AD,

∴在Rt△BPQ中,∠QBP=30°

∴BP=2PQ.

18.

(1)∵△ACM、△CBN是等边三角形,

∴CM=CA,CN=CB,∠MCA=∠NCB=60°

∴∠MCA+∠MCN=∠NCB+∠MCN,

∴∠MCB=∠ACN,

又∵在△BCM和△NCA中,CB=CN,∠BCM=∠NCA,CM=CA,

∴△BCM≌△NCA(SAS),

∴AN=BM;

(2)∵△ACM、△CBN是等边三角形,

∴CM=CA,∠MCA=∠NCB=60°

∴∠MCN=60°

又∵在△ACD和△MEC中,∠CAD=∠CME,AC=MC,∠ACD=∠MCE,

∴△ACD≌△MCE(ASA),

∴CD=EC,

又∵∠MCN=60°

∴△DCE为等边三角形,

∴∠EDC=60°

∴∠EDC=∠ACD=60°

∴DE∥AB;

(3)如图,过点C作CP⊥AF于点P,过点C作CQ⊥BF于点Q,

∵在△CAP和△CMQ中,

∠CAD=∠CME,∠CPA=∠CQM=90°

,AC=MC,

∴△CAP≌△CMQ(AAS),

∴CP=CQ,CF为∠AFB的角平分线,

∴CF平分∠AFB.

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