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非p（﹁p）

真

假

常用结论

1．全称命题与特称命题的否定

（1）改写量词：

确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．

（2）否定结论：

对原命题的结论进行否定．

2．含逻辑联结词命题真假的判断

（1）p且q中一假则假，全真才真．

（2）p或q中一真则真，全假才假．

（3）p与﹁p真假性相反．

二、教材衍化

1．命题“对任意的x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）

A．存在x∈R，x2＋x≤0B．存在x∈R，x2＋x<

C．对任意的x∈R，x2＋x≤0D．对任意的x∈R，x2＋x<

解析：

选B.由全称命题的否定是特称命题知命题B正确．故选B.

2．已知命题p：

2是偶数，命题q：

2是质数，则命题﹁p，﹁q，p或q，p且q中真命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

选B.p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p或q，p且q都是真命题．故选B.

一、思考辨析

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）命题p且q为假命题，则命题p、q都是假命题．（　　）

（2）命题p和﹁p不可能都是真命题．（　　）

（3）若命题p、q至少有一个是真命题，则p或q是真命题．（　　）

（4）写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．（　　）

（5）存在x∈M，p（x）与对任意的x∈M，﹁p（x）的真假性相反．（　　）

答案：

（1）×

（2）√　（3）√　（4）√　（5）√

二、易错纠偏

（1）全称命题或特称命题的否定出错；

（2）复合命题的否定中出现逻辑联结词错误．

1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是．

存在两个全等三角形的面积不相等

2．已知命题“若ab＝0，则a＝0或b＝0”，则其否命题为．

“a＝0或b＝0”的否定为“a≠0且b≠0”．

若ab≠0，则a≠0且b≠0

　　　　　　全称命题、特称命题（多维探究）

角度一　全称命题、特称命题的真假

若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题中一定为真命题的是（　　）

A．对任意的x∈R，f（－x）≠f（x）

B．对任意的x∈R，f（－x）＝－f（x）

C．存在x∈R，f（－x）≠f（x）

D．存在x∈R，f（－x）＝－f（x）

【解析】　由题意知对任意的x∈R，f（－x）＝f（x）是假命题，则其否定为真命题，即存在x∈R，f（－x）≠f（x）是真命题，存在x∈R，f（－x）＝－f（x）是假命题．

【答案】　C

全称命题与特称命题的真假判断方法

（1）要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；

但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x，使得p（x）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）．

（2）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x，使p（x）成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．　

角度二　全称命题、特称命题的否定

已知命题p：

存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则﹁p为（　　）

A．存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

B．对任意的m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

C．存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

D．对任意的m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

【解析】　由特称命题的否定可得﹁p为“对任意的m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”．

【答案】　D

全称命题与特称命题的否定

确定原命题所含量词的类型，省去量词的要先结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写，改写完以后再对原命题的结论进行否定．　

角度三　与全（特）称命题有关的参数问题

（2020·

河南洛阳模拟）若命题“存在t∈R，t2－2t－a<

0”是假命题，则实数a的取值范围是______．

【解析】　因为命题“存在t∈R，t2－2t－a<

0”为假命题，所以命题“对任意的t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝（－2）2－4×

1×

（－a）＝4a＋4≤0，即a≤－1.

【答案】　（－∞，－1]

将命题的真假转化为不等式恒成立或不等式有解、方程有解或无解、函数最值等问题，从而根据函数性质、不等式等内容解决．

1．（2020·

甘肃静宁一中三模）下列命题正确的是（　　）

A．存在x∈R，x2＋2x＋3＝0

B．x>

1是x2>

1的充分不必要条件

C．对任意的x∈N，x3>

x2

D．若a>

b，则a2>

b2

选B.对于x2＋2x＋3＝0，Δ＝－8<

0，故方程无实根，即存在x∈R，x2＋2x＋3＝0错误，即A错误；

x2>

1⇔x<

－1或x>

1，故x>

1的充分不必要条件，故B正确；

当x≤1时，x3≤x2，故对任意的x∈N，x3>

x2错误，即C错误；

若a＝1，b＝－1，则a>

b，但a2＝b2，故D错误．故选B.

2．（2020·

河南商丘模拟）已知f（x）＝sinx－x，命题p：

存在x∈

，f（x）<

0，则（　　）

A．p是假命题，﹁p：

对任意的x∈

，f（x）≥0

B．p是假命题，﹁p：

C．p是真命题，﹁p：

D．p是真命题，﹁p：

选C.易知f′（x）＝cosx－1<

0，所以f（x）在

上是减函数，因为f（0）＝0，所以f（x）<

0，所以命题p：

0是真命题，﹁p：

，f（x）≥0，故选C.

含有逻辑联结词的命题的真假判断（师生共研）

河北衡水中学3月大联考）已知命题p：

对任意的x∈R，|x＋1|>

x；

命题q：

“m≤1”是“函数f（x）＝x2－（m＋1）x－m2在区间（1，＋∞）内单调递增”的充分不必要条件，则下列命题中是真命题的为（　　）

A．p且qB．（﹁p）且q

C．（﹁p）或qD．p且（﹁q）

【解析】　因为|x＋1|>

x，对x∈R成立，故p为真命题；

因为函数f（x）＝x2－（m＋1）·

x－m2在区间（1，＋∞）内单调递增，所以

≤1，即m≤1，故应为充要条件，故q为假命题，所以p且q，（﹁p）且q，（﹁p）或q均为假命题，p且（﹁q）为真命题，故选D.

（1）“p或q”“p且q”“﹁p”等形式命题真假的判断步骤

①确定命题的构成形式；

②判断其中命题p，q的真假；

③确定“p或q”“p且q”“﹁p”等形式命题的真假．

（2）含逻辑联结词命题真假的等价关系

①p或q真⇔p，q至少一个真⇔（﹁p）且（﹁q）假；

②p或q假⇔p，q均假⇔（﹁p）且（﹁q）真；

③p且q真⇔p，q均真⇔（﹁p）或（﹁q）假；

④p且q假⇔p，q至少一个假⇔（﹁p）或（﹁q）真；

⑤﹁p真⇔p假；

﹁p假⇔p真．　

安徽蚌埠一模）已知命题p：

存在x∈R，sinx>

1，命题q：

对任意的x∈（0，1），lnx<

0，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p且qB．p且（﹁q）

C．p或（﹁q）D．（﹁p）且q

选D.因为－1≤sinx≤1，故命题p是假命题，易知命题q是真命题，故p且q为假，p且（﹁q）为假，p或（﹁q）为假，（﹁p）且q为真，故选D.

“若x2－x>

0，则x>

1”；

“若x，y∈R，x2＋y2＝0，则xy＝0”．下列命题是真命题的是（　　）

A．p或（﹁q）B．p或q

C．p且qD．（﹁p）且（﹁q）

选B.若x2－x>

1或x<

0，故p是假命题；

若x，y∈R，x2＋y2＝0，则x＝0，y＝0，xy＝0，故q是真命题．则p或q是真命题，故选B.

由命题的真假确定参数的取值范围（典例迁移）

已知p：

存在x∈R，mx2＋1≤0，q：

任意x∈R，x2＋mx＋1>

0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．

【解】　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1>

0恒成立，则有m≥0；

当q是真命题时，则有Δ＝m2－4<

0，即－2<

m<

2.因此由p，q均为假命题得

即m≥2.

所以实数m的取值范围为[2，＋∞）．

【迁移探究1】　（变结论）本例条件不变，若p且q为真，则实数m的取值范围为________．

依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m<

0；

当q是真命题时，有－2<

2，

由

可得－2<

0.

（－2，0）

【迁移探究2】　（变结论）本例条件不变，若p且q为假，p或q为真，则实数m的取值范围为________．

若p且q为假，p或q为真，则p，q一真一假．

当p真q假时

所以m≤－2；

当p假q真时

所以0≤m<

2.

所以实数m的取值范围是（－∞，－2]∪[0，2）．

（－∞，－2]∪[0，2）

【迁移探究3】　（变条件）本例中的条件q变为：

存在x∈R，x2＋mx＋1<

0，其他不变，则实数m的取值范围为________．

依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4>

0，

所以m>

2或m<

－2.由题意知，p，q均为假命题，

所以

得0≤m≤2，

所以实数m的取值范围是[0，2]．

[0，2]

根据命题真假求参数的步骤

（1）先根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）．

（2）然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．

（3）最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．

[注意]　要注意分类讨论思想的应用，如本例的迁移探究

（2），由于p和q一真一假，因此需分p真q假与p假q真两种情况讨论求解．　

　（2020·

河南师范大学附属中学开学考）已知命题p：

“对任意的x∈[0，1]，a≥ex”，命题q：

“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．（4，＋∞）B．[1，4]

C．（－∞，1]D．[e，4]

选D.命题p等价于lna≥x对x∈[0，1]恒成立，所以lna≥1，解得a≥e；

命题q等价于关于x的方程x2＋4x＋a＝0有实根，则Δ＝16－4a≥0，所以a≤4.因为命题“p且q”是真命题，所以命题p真，命题q真，所以实数a的取值范围是[e，4]，故选D.

[基础题组练]

1．已知命题p：

存在x>

1，x2－1>

0，那么﹁p是（　　）

A．对任意的x>

B．对任意的x>

1，x2－1≤0

C．存在x>

D．存在x≤1，x2－1≤0

选B.特称命题的否定为全称命题，所以﹁p：

对任意的x>

1，x2－1≤0.

实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（　　）

A．命题p是假命题

B．命题p是特称命题

C．命题p是全称命题

D．命题p既不是全称命题也不是特称命题

选C.本题考查命题真假的判断以及全称命题、特称命题的判断．命题p：

实数的平方是非负数，是真命题，命题p是全称命题，故选C.

3．（2020·

河南郑州调研测试）已知命题p，q，则“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

选A.若﹁p为假命题，则p为真命题，则p或q为真命题；

若p或q为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，但p不一定为真命题，故无法判定﹁p为假命题．即“﹁p为假命题”是“p或q为真命题”的充分不必要条件．故选A.

4．（2020·

辽宁五校协作体联考）已知命题“存在x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，0）B．[0，4]

C．[4，＋∞）D．（0，4）

选D.因为命题“存在x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，所以其否定“对任意的x∈R，4x2＋（a－2）x＋

>

0”是真命题，则Δ＝（a－2）2－4×

4×

＝a2－4a<

0，解得0<

a<

4，故选D.

5．命题p的否定是“对所有正数x，

x＋1”，则命题p可写为____________________．

因为p是﹁p的否定，所以只需将全称量词变为特称量词，再对结论否定即可．

存在x∈（0，＋∞），

≤x＋1

6．已知命题p：

x2＋4x＋3≥0，q：

x∈Z，且“p且q”与“﹁q”同时为假命题，则x＝________．

若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“﹁q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p且q”为假，所以p为假，故－3<

x<

－1，

得x＝－2.

－2

7．已知命题p：

f（x）＝

在区间（0，＋∞）上是减函数；

不等式x2－2x>

m－1的解集为R.若命题“p或q”为真，则实数m的取值范围是______；

若“p且q”为假，则实数m的取值范围是______．

对于命题p，由f（x）＝

在区间（0，＋∞）上是减函数，得1－2m>

0，解得m<

；

对于命题q，不等式x2－2x>

m－1的解集为R等价于不等式（x－1）2>

m的解集为R，因为（x－1）2≥0恒成立，所以m<

0.若p或q为真，则p，q中有一个为真，所以m<

若p且q为假，则p，q至少有一个为假．若p为假，则m≥

若q为假，则m≥0，所以m≥0.

.

8．设命题p：

函数y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）内递减，q：

曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点．若p且（﹁q）为真命题，求实数a的取值范围．

解：

函数y＝loga（x＋1）在区间（－1，＋∞）内递减⇔0<

1，

曲线y＝x2＋（2a－3）x＋1与x轴有两个不同的交点⇔Δ＝（2a－3）2－4＞0⇔a<

或a＞

所以若p为真命题，则0<

1；

若q为真命题，则a<

因为p且（﹁q）为真命题，

所以p为真命题，q为假命题．

，解得

≤a<

所以实数a的取值范围是

[综合题组练]

存在x∈R，x2＋1<

2x；

若mx2－mx＋1>

0恒成立，则0<

4，那么（　　）

A．“﹁p”是假命题B．q是真命题

C．“p或q”为假命题D．“p且q”为真命题

选C.因为x2＋1<

2x，即x2－2x＋1<

0，也即（x－1）2<

0，所以命题p为假；

0恒成立，则m＝0或

则0≤m<

4，所以命题q为假，故选C.

安徽八校联考）下列说法正确的是（　　）

A．“若a＋b≥4，则a，b中至少有一个不小于2”的逆命题是真命题

B．命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个真命题

C．“存在x∈R，x2－x<

0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x>

0”

D．“a＋1>

b”是“a>

b”的一个充分不必要条件

选B.对于A，原命题的逆命题为“若a，b中至少有一个不小于2，则a＋b≥4”，而a＝4，b＝－4满足a，b中至少有一个不小于2，但此时a＋b＝0，故A不正确；

对于B，此命题的逆否命题为“设a，b∈R，若a＝3且b＝3，则a＋b＝6”，为真命题，所以原命题也是真命题，故B正确；

对于C，“存在x∈R，x2－x<

0”的否定是“对任意的x∈R，x2－x≥0”，故C不正确；

对于D，由a>

b可推得a＋1>

b，但由a＋1>

b不能推出a>

b，故D错误．

3．短道速滑队组织6名队员（含赛前系列赛积分最靠前的甲、乙、丙三名队员在内）进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p或q是真命题，p且q是假命题，（﹁q）且r是真命题，则选拔赛的结果为（　　）

A．甲得第一名，乙得第二名，丙得第三名

B．甲得第二名，乙得第一名，丙得第三名

C．甲得第一名，乙得第三名，丙得第二名

D．甲得第一名，乙没得第二名，丙得第三名

选D.由（﹁q）且r是真命题，得﹁q为真命题，q为假命题（乙没得第二名），且r为真命题（丙得第三名）；

p或q是真命题，由于q为假命题，只能p为真命题（甲得第一名），这与p且q是假命题相吻合；

由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.

4．已知m∈R，命题p：

对任意实数x，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，若﹁p为真命题，则m的取值范围是________．

若对任意x∈R，不等式x2－2x－1≥m2－3m恒成立，则[（x－1）2－2]min≥m2－3m，即m2－3m≤－2，解得1≤m≤2，因为﹁p为真命题，所以m<

1或m>

（－∞，1）∪（2，＋∞）