高等数学基本公式Word文档下载推荐.docx
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2222
cos2y=2cos—1=1「2sincos一一sin
ctga-1ctg2:
.
2ctga
2tga
tg2—
1—tga
-半角公式:
•篇,'
1-cos:
sin-
2:
2
-1-cos二1-cos:
tg7=-.icos：
二匚L
sin:
1-cos
1亠cos:
cos—=
22
.二“1-cos•二1-cos.篇sin:
■
21一cos：
•sint1-cos:
-正弦定理:
ab
sinAsinB
c
sinC
=2R
•余弦定理：
c?
=a亠b—2abcosC
反三角函数性质：
arcsinx=—-arccosx
江
arctgxarcctgx
高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
（n）k（n上）（k）
（uv）CnUv
kz0
（n）（n4）n（n-1）（n/）...门⑴一1）（门—k1）（n丄）（k）...（n）
=uvnuvuvuvuv
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：
f（b）-f（a）=f「）（b-a）
f（b）-f（a）f（）
柯西中值定理：
-
F（b）-F（a）F牡）
当F（x）二x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
曲率：
弧微分公式：
ds=1dx,其中y=tg二
空间解析几何和向量代数:
、、,|222
空间2点的距离：
d=MtM2=+；
（x2-Xt）+（y2一yj+（z2-乙）
向量在轴上的投影：
PrjuAB=ABcos®
®
是AB与u轴的夹角。
Prju佝亠a?
）=PrjaiPrja?
ab=|abcos日=axbx+ayby+azbz,是一个数量，
代表平行六面体的体积
平面的方程:
1、点法式：
A（x「x°
）B（y「y。
）C（z「Zo）=0,其中n二{A,B,C},Mo（Xo,y°
Zo）
2、一般方程：
Ax亠By亠Cz亠D=0
3、截距世方程：
x•丄上=1
abc
平面外任意一点到该平面的距离:
二次曲面：
222
xyz
1、椭球面：
—22=1
2、抛物面：
x■y^z,（p,q同号）
p2q
3、双曲面：
单叶双曲面：
—2-=1
双叶双曲面：
—一牛•勺=1（马鞍面）
多元函数微分法及应用
全微分：
dz二兰dx
dy
乱
du=——dx--
ex
y
；
x
全微分的近似计算：
.■:
z
dz
二fx
（x,y）.：
xfy（
多元复合函数的求导法
u
.z_:
v
Z=f[u（t）,v（t）]
—
*+
dt
;
t
vft
.:
Z二f[u（x,y）,v（x,y）]
T——+
T
.X
X
当u二u（x,y）,v二v（x,y）时,
dudu
_:
：
du=——dx——dy
dv=
dx'
dy
隐函数的求导公式：
隐函数F（x,y）=。
，
Fx
d2y
2-
dx
Fy
隐函数F（x,y,z）,
jz
.x
x,y）.：
竺dy^dz
yz
Fz
yFz
Fx:
Fxdy
（-）+（-T
Fy；
yFydx
微分法在几何上的应用:
曲面F（x,y,z）=。
上一点皿&
。
』。
，乙。
）,则:
过此点的法向量：
Fx（x。
，y°
z。
）Fy（x°
y。
，z。
）Fz（x。
）
方向导数与梯度:
设fx（Xo，yo）=fy（Xo，yo）=O,令：
fxx（xo，yo）=A,fxy（xo，yo）=B,fyy（xo，yo）=C
重积分及其应用:
f[f（x,y）dxdy=fff（rcos日，rsin0）rdrd日
DD*
f匸p
cz1
曲面z=f（x,y）的面积A=+
li
——1+
dxdy
“V
D\
丿
e丿
平面薄片的重心:
IIX】
（x,y）dc
D
!
^（x,y）d二
II'
（x,y）d二
..;
?
（x,y）d-
平面薄片的转动惯量:
对于
平面薄片（位于xoy平面）对
x轴Ix=y2「（x,y）d；
「，对于y轴I
z轴上质点M（0,0,a）,（a-0）的引力：
y二xQ（x,y）d二
-…P（x,y）xda
Fx=fII孑，
D/2222
（xya）
柱面坐标和球面坐标：
-.”P（x,y）ydcr
Fy=f||3，
D222二
F={Fx,Fy,Fz}，其中:
”P（x,y）xda
-fa3
D（x2-y2-a2）^
"
x=rcos日
柱面坐标：
*y=rsin日,z=z
hif（x,y,z）dxdydz=F（r,v,z）rdrdvdz,hq
其中：
F（r,v,z）=f（rcosv,rsinj,z）
x=rsin申cos日球面坐标：
«
y=rsindsin日,z=rcos护
IIIf（x,y,z）dxdydzmF（r,/）rsindrdQQ
_1_1
重心：
x=[[[xftlv,y=yPdv,
M3MQ
转动惯量：
lx：
III（yz）"
dv,ly=
Q
■■:
■■:
r（J
g-drd「F（r,,v）rsindr
000
z1IIIz^dv,
M-
III（xz）:
-dv,
曲线积分:
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
x=®
（t）
设f（x,y）在L上连续，L的参数方程为：
丿,（oEt^P）,则：
J=^（t）
x=t
y=（t）
f（x,y）ds=f［「（t）,‘-（t）］」2（t）+屮*（t）dt（avB）特殊情况:
「x=®
（t）
，则：
y=屮化）
P
P（x,y）dxQ（x,y）dy二{P['
（t）/-;
（t）^:
（t）■Q[^（t）^'
（t）P'
（t）}dt
L
设L的参数方程为
两类曲线积分之间的关
L上积分起止点处切向量
ot
系：
Pdx亠Qdy二（Pcos二亠Qcos!
*）ds，其中
LL
的方向角。
-和场分别为
格林公式：
（：
Q:
P
—）dxd^=■■-Pdx-Qdy格林公式:
;
x-yL
D（，
Q；
）dxdy
=:
Pdx亠Qdy
dxdyxdy-ydx
2L
当P=_y,Q=x，即：
一^一土=2时，得至UD的面积:
&
cy
平面上曲线积分与路径
无关的条件：
1、G是一个单连通区域;
——。
注意奇点，女口（0,0），应
jx:
y
减去对此奇点的积分,
注意方向相反!
二元函数的全微分求积
在：
Q-；
P时，PdxQdy才是二元函数u（x,y）的全微分，其中:
jxjy
（x,y）
u（x,y）二P（x,y）dx■Q（x,y）dy，通常设x0=y0=0。
（xo,yo）
曲面积分:
对面积的曲面积分：
■22
f（x,y,z）ds二f[x,y,z（x,y）]1zx（x,y）Zy（x,y）dxdy
•丄.Dxy
对坐标的曲面积分：
P（x,y,z）dydzQ（x,y,z）dzdxR（x,y,z）dxdy，其中:
±
IlR（x,y,z）dxdy
二R[x,y,z（x,y）]dxdy，
取曲面的上侧时取正
号;
Dxy
IIP（x,y,z）dydz
iiP[x（y,z）,y,z]dydz，
取曲面的前侧时取正
Dyz
iiQ（x,y,z）dzdx
iiQ[x,y（z,x）,z]dzdx，
取曲面的右侧时取正
号。
Dzx
两类曲面积分之间的关系：
iiPdydz'
Qdzdx'
Rdxdy=（P
cos二
Z
Qcos,亠Rcos）ds
高斯公式:
cPcQ£
R
ill（）dv=PdydzQdzdxRdxdy
=（Pcos很亠Qcos,亠Rcos）ds
x.:
y:
z-
高斯公式的物理意义
——通量与散度:
散度：
div-——,即：
单位体积内所产生
exeycz
的流体质量，若
divp”0,则为消失
通量：
IlAnds=Ands=（Pcos二：
卜Qcos“'
Rcos）ds，zzz
因此，高斯公式又可写成：
illdivAdv=•Ands
Qz
斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：
cRcQ
cR
cQ
cP
|7（—）dydz+（
）dzdx
+（
-）dxdy
=qPdx
Qdy+Rdz
£
eycz
ey
r
dydz
dzdx
cosP
cos'
/
上式左端又可写成：
II
g
=（（
cz
S
空间曲线积分与路径无
关的条件：
cR<
9Q
即
ijk
旋度：
rotA=———exdygz
PQR
向量场A沿有向闭曲线〕的环流量:
常数项级数：
PdxQdyRdz=■Atds
rf
等比数列：
1亠.亠丄=——
i—q
等差数列：
1•2•3亠•亠n=—-^―
111
调和级数：
1是发散的
23n
级数审敛法:
1正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）
P<
1时，级数收敛
设：
p=lim叮UT，则*p>
1时，级数发散一环p=1时，不确定
2、比值审敛法：
设:
匸=limUn±
nF：
Un
jr-.：
i时，级数收敛
，则;
P〉1时，级数发散
P=1时，不确定
3、定义法:
sn=比•u2——亠un；
limsn存在，则收敛；
否则发散。
n—Jpc
交错级数u1-u2u3_U4（或-u1u2-u3-■
un0）的审敛法——莱布尼兹定理:
un出十
如果交错级数满足丿，那么级数收敛且其和
limun=0
绝对收敛与条件收敛：
s^u,其余项rn的绝对值rnWun卡。
⑴q，u2亠•亠un•…，其中un为任意实数；
（2）uj+卜2|+匕|十一+un十一
如果
（2）收敛，则
（1）肯定收敛，且称为绝对收敛级数;
如果⑵发散，而
（1）收敛，则称
（1）为条件收敛级数。
、1发散，而a上1U攵敛；
nn
级数:
、~2收敛；
p级数「+I”却时发散
n\p>
1时收敛
幕级数:
/X£
1时，收敛于——
1—X
_1时，发散
对于级数（3）a0亠a/-a2x亠•亠anx亠•，如果它不是仅在原点
收敛，也不是在全
数轴上都收敛，则必存
在R，使
求收敛半径的方法：
设
an1
函数展开成幕级数:
函数展开成泰勒级数:
（x
（n-1）!
x0=0时即为麦克劳林公式:
些函数展开成幕级数:
xCR时收敛
XaR时发散
，其中R称为收敛半径。
二R时不定
二二其中a
an1是（3）的系数，则
—-He
f（X）二f（X°
）（X—X。
）•f
（n）
（X0）（x—X0）2•…」（X0）2!
n!
-x0）n"
f（x）可以展开成泰勒级数的
（X—X。
）-■-
充要条件是：
limRn=0n_.
f（x）=f（0）f（0）xqx2.….
Ax"
…
n!
m（m—1）2亠m（m—1）…（m—n+1）n
（1x）1mxxx
352n-1
X±
X1ndX
sinx=x'
（-1）
3!
5!
（一1:
X:
1）
欧拉公式:
eiX=cosxisinx
三角级数:
+…
（2n—1）!
ix丄」xe+e
cosx=
ix_ix
e-e
sinx二
f（t）=A°
•Ansin（n-■；
）=
其中，a0二aA0,an二Ansin-:
n,bn正交性：
1,sinx,cosx,sin2x,cos2x上的积分二
n=1
oO
a0T-
（ancosnxbnsinnx）
二Ancos」n，.'
t二X。
sinnx,cosnx任意两个不同项的乘积
在［_兀，兀］
傅立叶级数:
C30
'
、•（ancosnxg
n丄
余弦级数：
2兀a、，
bn=0,anf（x）cosnxdxn=0,1,2f（x）0、ancosnx是偶函数
兀02
n=1,2,3…f（x）=£
bnsinnx是奇函数
周期为21的周期函数的傅立叶级数:
f（x）二a°
•'
「（anCOSn「：
x.sin“汝），周期“I
即得齐次方程通解。
一阶线性微分方程:
P（x）dx_"
P（x）dx
dx+C）eL
2、贝努力方程：
包P（x）y二Q（x）yn,（n=0,1）
当Q（x）=0时,
为非齐次方程,
y=（Q（x）e
全微分方程:
如果P（x,y）dxQ（x,y）dy=0中左端是某函数的全微分方程，即:
du（x,y）=P（x,y）dxQ（x,y）dy=0,其中：
__u;
u
P（x,y），Q（x,y）
x;
.u（x,y）=C应该是该全微分方程的通解
二阶微分方程:
d2ydyf（x）三0时为齐次
rp（x）Q（x）y=f（x），-
dxdx:
f（x）=0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
（*）y"
■py'
qy=0，其中p,q为常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：
（A）r2•pr7=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是（*）式中y,y,y的系数;
2、求出（①式的两个根sa
r1，r2的形式
（*）式的通解
两个不相等实根（p2_4q>
0）
「［X「2X
y=&
e+c2e
两个相等实根（p2_4q=0）
rix
y=（S+c2x）e
一对共轭复根（p2_4q£
A=o（+iB，r2=ot-iP
仁2
p住"
q—p
a=-，戸=
y=（qcosPx+c2sinPx）
二阶常系数非齐次线性微分方程
y•py•qy=f（x）,p,q为常数
f（x）=eXpm（x）型,札为常数;
f（x）=e%［p（x）cos•・x亠Pn（x）sin，x］型
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