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1、2 2 2 2cos 2 y =2cos 1 =12sin cos 一 一sinctg a -1 ctg 2 :.2ctg a2tgatg 2 1 tg a-半角公式:篇 ,1 -cos :sin -2 : 2- 1 -cos 二 1 - cos :tg7 = -.i cos：二匚Lsin :1 - cos 1 亠 cos :cos =2 2.二 “1 - cos 二 1 - cos .篇 sin :2 1 一 cos ： si n t 1 - cos :-正弦定理:a bsin A sin Bcsin C=2R余弦定理： c? = a 亠b 2ab cos C反三角函数性质：arcs in

2、x =- arccos x江arctgx arcctgx高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz ）公式：n（n） k （n 上）（k）（uv） Cn U vk z0（n） （n4） n（n -1） （n/） .门一 1）（门k 1） （n 丄）（k） . （n）=uv nuv u v uv uv2! k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理： f （b） - f （a） = f）（b - a）f（b） - f （a） f （）柯西中值定理： -F（b）-F（a） F 牡）当F（x）二x时，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式： ds = 1 dx,其中y = tg二空间解析几

3、何和向量代数:、 , | 2 2 2空间 2点的距离： d = M tM 2 =+；（x2 -Xt） +（y2 一 yj +（z2 - 乙）向量在轴上的投影： PrjuAB = AB cos,是AB与 u轴的夹角。Pr ju 佝亠 a?） = Pr jai Pr ja?a b =|a b cos 日=axbx +ayby +azbz,是一个数量 ，代表平行六面体的体积平面的方程:1、点法式： A（xx） B（yy。） C（zZo） = 0,其中 n 二A,B,C, M o（Xo,y,Zo）2、一般方程： Ax亠By亠Cz亠D =03、截距世方程： x 丄上=1a b c平面外任意一点到该平 面

4、的距离:二次曲面：2 2 2x y z1、 椭球面： 2 2 =12、 抛物面： x y z,（ p,q同号）p 2q3、 双曲面：单叶双曲面： 2 - =1双叶双曲面： 一牛勺=1（马鞍面）多元函数微分法及应用全微分： dz二兰dxdy乱du =dx -exy；x全微分的近似计算：.:zdz二 fx（x,y）.：x fy（多元复合函数的求导法u.z _:vZ = fu（t）,v（t）* +dt;tv ft.:Z 二 fu（x,y）,v（x, y）T+T.XX当 u 二u（x, y）, v 二v（x, y）时,du du_:：du =dx dydv =dx dy隐函数的求导公式：隐函数F（x,

5、 y）=。，Fx,d2y2 -dxFy隐函数 F （x, y,z）, jz.xx,y）. ：竺 dy dzy zFzy FzFx : Fx dy（-）+ （-TFy ；y Fy dx微分法在几何上的应用:曲面F（x,y,z）=。上一点 皿&。，乙。）,则:过此点的法向量：Fx（x。，y,z。） Fy（x,y。，z。） Fz（x。）方向导数与梯度:设 fx（Xo，yo）=fy（Xo，yo）=O ,令：fxx（xo，yo）=A, fxy（xo，yo）=B, fyy（xo，yo）=C重积分及其应用:f f （x, y ）dxdy = ff f （r cos 日，r sin 0） rdrd 日D D

6、*f匸 pcz 1曲面 z = f （x, y）的面积 A = +li1 +dxdy“ VD 丿e丿平面薄片的重心:II X】（x, y）dcD! （x, y）d二II （x, y）d二.;?（x,y）d-平面薄片的转动惯量:对于平面薄片（位于 xoy平面）对x轴 I x = y2（x, y） d；， 对于 y 轴 Iz轴上质点 M （0,0,a）, （a - 0）的引力：y 二 x Q（x,y）d二- P（x, y）xdaFx = f II 孑，D/ 2 2 2 2（x y a ）柱面坐标和球面坐标：- .” P（x,y）ydcrFy = f | 3，D 2 2 2 二F =Fx,Fy,Fz

7、，其中:” P（x,y）xda-fa 3D （x2 - y2 - a2）x = r cos 日柱面坐标：* y = r sin日, z =zhi f （x, y, z） dxdydz = F（r,v,z）rdrd vdz, h q其中： F （r, v,z） = f （r cos v, rsin j,z）x = r sin 申 cos 日 球面坐标： y = rsin dsin日, z = r cos 护III f （x, y,z） dxdydz mF（r, /）r sin drd Q Q_ 1 _ 1重心：x = xftlv, y = yPdv,M 3 M Q转动惯量： lx： III （y

8、 z ） dv, ly =Q: : r（ Jg - dr d F （r, ,v）r sin dr0 0 0z 1 III zdv,M -III （x z ） :-dv,曲线积分:第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：x = （t）设f （x,y）在L上连续，L的参数方程为：丿 ,（oEtP）,则：J =（t）x = ty = （t）f （x,y）ds = f（t）,- （t）2 （t） + 屮 * （t）dt （a v B ） 特殊情况:x =（t），则：y =屮化）PP（x, y）dx Q（x, y）dy 二 P （t）/-; （t ）: （t） Q （t）（t ）P （t） dtL设L的参

9、数方程为两类曲线积分之间的关L上积分起止点处切向量ot系：Pdx 亠 Qdy 二（Pcos 二亠 Qcos !*）ds，其中L L的方向角。-和场分别为格林公式： （：Q : P）dxd = - Pdx - Qdy 格林公式: ;x -y LD（，Q ；）dxdy=:Pdx 亠 Qdydxdy xdy - ydx2 L当P=_y,Q=x，即：一一土 =2时，得至U D的面积:& cy平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域;。注意奇点，女口 （0,0），应jx : y减去对此奇点的积分,注意方向相反!二元函数的全微分求积在：Q - ；P 时，Pdx Qdy 才是二元函数 u（x,

10、 y）的全微分，其中:jx jy（x,y）u（x,y）二 P （x, y）dx Q （x, y）dy，通常设 x0 = y0 =0。（xo, yo）曲面积分:对面积的曲面积分： 2 2f （x,y,z）ds 二 f x, y, z（x,y） 1 zx（x,y） Zy （x,y）dxdy丄. D xy对坐标的曲面积分：P（x,y,z）dydz Q（x, y,z）dzdx R（x, y,z）dxdy，其中: Il R（x,y,z）dxdy二 Rx, y, z（x,y）dxdy，取曲面的上侧时取正号;D xyII P（x,y,z）dydzii Px（y, z）, y,zdydz，取曲面的前侧时取正D

11、yziiQ（x,y, z）dzdxii Qx, y（z,x）, zdzdx，取曲面的右侧时取正号。Dzx两类曲面积分之间的关 系：ii Pdydz Qdzdx Rdxdy = （Pcos 二ZQ cos ,亠 R cos ） ds高斯公式:cP cQ Ri l l （ ）dv = Pdydz Qdzdx Rdxdy= （P cos 很 亠 Q cos ,亠 R cos ）dsx .:y : z -高斯公式的物理意义通量与散度:散度：div - ,即：单位体积内所产生ex ey cz的流体质量，若divp ”0,则为消失通量：I l A nds = Ands = （P cos 二：卜Q cos

12、“ R cos ）ds， z z z因此，高斯公式又可写 成：i l l div Adv = An dsQ z斯托克斯公式一一曲线积分与曲面积分的关系：cR cQcRcQcP|7（ ）dydz +（）dzdx+ （- ）dxdy=q PdxQdy + Rdz ey czeyrdydzdzdxcos Pcos /上式左端又可写成：IIg=（czS空间曲线积分与路径无关的条件：cR 9Q即i j k旋度：rotA= ex dy gzP Q R向量场 A沿有向闭曲线 的环流量:常数项级数：Pdx Qdy Rdz = A t dsr f等比数列： 1亠.亠丄=i q等差数列： 1 2 3亠亠n = -

13、1 1 1调和级数：1 是发散的2 3 n级数审敛法:1正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）P 1时，级数发散 一环 p=1时，不确定2、比值审敛法：设:匸=lim Unn F：Unj r-.：i时，级数收敛，则;P1时，级数发散P=1时，不确定3、定义法:sn =比 u2 亠un； lim sn存在，则收敛；否则发 散。 nJpc交错级数 u1 - u2 u3 _U4 （或-u1 u2 -u3 - un 0）的审敛法 莱布尼兹定理:un出十如果交错级数满足 丿 ，那么级数收敛且其和lim un =0绝对收敛与条件收敛：su,其余项rn的绝对值 rn Wun卡。q，u2亠亠un ，其中

14、un为任意实数；（2）uj +卜2| +匕| 十一 + un 十一如果（2）收敛，则（1）肯定收敛，且称为绝对 收敛级数;如果 发散，而（1）收敛，则称（1）为条件收敛级数。、1发散，而a上1U攵敛；n n级数:、2收敛；p级数+ I”却时发散n p 1时收敛幕级数:/ X 1时，收敛于1 X_1时，发散对于级数（3）a0亠a/ - a2x亠亠anx亠，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全数轴上都收敛，则必存在R，使求收敛半径的方法：设an 1函数展开成幕级数:函数展开成泰勒级数:（x（n -1）!x0 =0时即为麦克劳林公式:些函数展开成幕级数:x CR时收敛X a R时发散，其中R称为收敛半

15、径。二R时不定二二其中aan 1 是 （3）的系数，则-Hef（X）二 f （X）（XX。） f, （n）（X0）（xX0）2 （X0） 2! n!-x0）n , f （x）可以展开成泰勒级数的（X X。） - -充要条件是：lim Rn = 0 n_ .f（x） = f（0） f（0）xqx2 .Axn!m（m1） 2亠 m（m1）（m n+1） n（1 x） 1 mx x x3 5 2n -1X X 1 nd Xsin x = x （-1）3! 5!（一1 : X : 1）欧拉公式:eiX = cos x i sin x三角级数: +（2n 1）!ix 丄x e +ecos x =ix _

16、ixe -esin x 二f （t） =A An sin（ n- ；）=其中， a0 二aA0, an 二 An sin -:n, bn 正交性：1, sin x,cos x,sin 2x,cos 2x 上的积分二n =1oOa 0 T -（an cos nx bn sin nx）二 An cos n， . t 二 X。sin nx, cos nx 任意两个不同项的乘积在_兀，兀傅立叶级数:C30、 （an cos nx gn丄余弦级数：2 兀 a 、，bn = 0, an f （x）cos nxdx n= 0,1,2 f （x） 0 、an cos nx是偶函数兀0 2n= 1,2,3 f（

17、x）= bn sin nx是奇函数周期为21的周期函数的傅立叶级数:f（x）二 a （anCOS n：x . sin “汝），周期 “I即得齐次方程通解。一阶线性微分方程:P（x）dx _P （x）dxdx +C）e L2、贝努力方程：包 P（x）y 二Q（x）yn,（n =0,1）当 Q（x） =0时,为非齐次方程,y = （ Q （x）e全微分方程:如果P（x, y）dx Q （x, y）dy =0中左端是某函数的全微 分方程，即:du （x, y） =P（x,y）dx Q（x,y）dy =0,其中：_u ; uP （x, y）， Q （x, y）x ;.u （ x, y） = C应该是该

18、全微分方程的 通解二阶微分方程:d2y dy f（x）三0时为齐次r p（x） Q（x）y = f（x）， -dx dx : f（x）=0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：（*） y py qy = 0，其中 p, q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：（A）r2 pr 7 =0，其中r2，r的系数及常数项恰好是 （*）式中y ,y , y的系数;2、求出（式的两个根 sar1， r2的形式（*）式的通解两个不相等实根（p2 _4q 0）X 2 Xy = & e + c2 e两个相等实根（p2 _4q =0）ri xy =（S +c2x）e一对共轭复根（p2 _4q A =o（ +i B， r2 =ot -i P仁 2p 住qpa =-，戸=y = （q cos Px + c2 sin Px）二阶常系数非齐次线性微分方程y py qy = f （ x）, p, q 为常数f （x） =eXpm（x）型,札为常数;f （x） = e % p （x） cos x 亠 Pn （x） sin ，x型