高中 概率随机变量及其概率分布教案 知识点+例题+练习Word下载.docx

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0≤P（A）≤1；

必然事件的概率为1；

不可能事件的概率为0.

（2）古典概型的概率

P（A）＝

＝

.

（3）几何概型的概率

2．条件概率

在A发生的条件下B发生的概率：

P（B|A）＝

3．相互独立事件同时发生的概率

P（AB）＝P（A）P（B）．

4．独立重复试验

如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么它在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为

Pn（k）＝C

pk（1－p）n－k，k＝0,1,2，…，n.

5．超几何分布

在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P（X＝k）＝

，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.此时称随机变量X服从超几何分布．超几何分布的模型是不放回抽样，超几何分布中的参数是M，N，n.

6．离散型随机变量的分布列

（1）设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi的概率为P（ξ＝xi）＝pi，则称下表：

ξ

x1

x2

x3

…

xi

P

p1

p2

p3

pi

为离散型随机变量ξ的概率分布表．

（2）离散型随机变量ξ的概率分布具有两个性质：

①pi≥0，②p1＋p2＋…＋pi＋…＝1（i＝1,2,3，…）．

（3）E（ξ）＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…为ξ的数学期望，简称期望．

V（ξ）＝（x1－E（ξ））2·

p1＋（x2－E（ξ））2·

p2＋…＋（xn－E（ξ））2·

pn＋…叫做随机变量ξ的方差．

（4）性质

①E（aξ＋b）＝aE（ξ），V（aξ＋b）＝a2V（ξ）；

②X～B（n，p），则E（X）＝np，V（X）＝np（1－p）；

③X～两点分布，则E（X）＝p，V（X）＝p（1－p）.

考点一　古典概型与几何概型

例1

　已知关于x的一元二次函数f（x）＝ax2－4bx＋1.

（1）设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率；

（2）设点（a，b）是区域

内的随机点，求函数y＝f（x）在区间[1，＋∞）上是增函数的概率．

（1）解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常用到计数原理与排列、组合的相关知识．

（2）在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

（3）当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．

（1）（2013·

江苏）现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．

（2）（2013·

四川）节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．

考点二　相互独立事件和独立重复试验

例2

　甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试，考试分笔试和面试两部分，笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生（可在高考中加分录取），两次考试过程相互独立．根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析，甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6、0.5、0.4，能通过面试的概率分别是0.6、0.6、0.75.

（1）求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；

（2）求经过两次考试后，至少有一人被该高校预录取的概率．

求相互独立事件和独立重复试验的概率的注意点

（1）求复杂事件的概率，要正确分析复杂事件的构成，看复杂事件能转化为几个彼此互斥的事件的和事件还是能转化为几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解．

（2）一个复杂事件若正面情况比较多，反面情况较少，则一般利用对立事件进行求解．对于“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解．

（3）注意辨别独立重复试验的基本特征：

①在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；

②在每次试验中，事件发生的概率相同．

甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是

和

.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；

每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响．

（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

（2）假设某人连续2次未击中目标，则停止射击，问：

乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？

（3）设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E（ξ）．

考点三　随机变量的概率分布、均值与方差

例3

　（2013·

重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：

在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球，根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：

奖级

摸出红、蓝球个数

获奖金额

一等奖

3红1蓝

200元

二等奖

3红0蓝

50元

三等奖

2红1蓝

10元

其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．

（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；

（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的概率分布与期望E（X）．

解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路：

（1）明确随机变量可能取哪些值．

（2）结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值．

（3）根据概率分布和期望、方差公式求解．

（2013·

浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：

取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

（1）当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等）2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

（2）从该袋子中任取（每球取到的机会均等）1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E（η）＝

，V（η）＝

，求a∶b∶c.

概率模型的应用，需熟练掌握以下常考的五种模型：

（1）基本事件的发生具有等可能性，一般可以抽象转化为古典概型问题，解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；

（2）与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题，一般可以应用几何概型求解，即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的度量（长度、面积或体积）”与“试验的基本事件所占图形的度量（长度、面积或体积）”之比表示；

（3）两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题，可转化为互斥事件来解决，解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；

（4）事件是否发生相互不影响的实际应用问题，可转化为独立事件的概率问题，其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题，应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；

（5）有关平均值和稳定性的实际应用问题，一般可抽象为随机变量的期望与方差问题，先求出事件在各种情况下发生的概率，再应用公式求随机变量的期望和方差．

课堂练习

1．

如图，用K、A1、A2三类不同的元件连结成一个系统．当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为________．

2．某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交保险金为________元．

3．甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为

.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元．

（1）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率；

（2）设总决赛中获得的门票总收入为X，求X的均值E（X）．

课后巩固

（推荐时间：

60分钟）

一、填空题

1．（2013·

课标全国Ⅰ改编）从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是________．

2．（2013·

陕西改编）

如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩

形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是________．

3．箱中有号码分别为1,2,3,4,5的五张卡片，从中一次随机抽取两张，则两张号码之和为3的倍数的概率为________．

4．甲、乙两人同时报考某一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否被录取互不影响，则其中至少有一人被录取的概率为________．

5．若从集合

中随机抽取一个数记为a，从集合{－1,1，－2,2}中随机抽取一个数记为b，则函数f（x）＝ax＋b（a>

0，a≠1）的图象经过第三象限的概率为________．

6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．

7．花园小区内有一块三边长分别是5m，5m，6m的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2m的概率是________．

8．一个袋子中装有大小相同且质地形状完全一样的四张纸牌．四张牌上分别标有数字2、3、8、10，现从中任取两张牌，将牌上的数字作为对数logab的底数与真数，则所得对数logab>

2的概率为________．

9．连续掷一枚均匀的正方体骰子（6个面分别标有1,2,3,4,5,6），现定义数列an＝

Sn是其前n项和，则S5＝3的概率是________．

二、解答题

10．（2012·

江苏）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；

当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；

当两条棱异面时，ξ＝1.

（1）求概率P（ξ＝0）；

（2）求ξ的概率分布，并求其数学期望E（ξ）．

11．（2013·

山东）甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是

外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是

.假设各局比赛结果相互独立．

（1）分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率；

（2）若比赛结果为3∶0或3∶1，则胜利方得3分，对方得0分；

若比赛结果为3∶2，则胜利方得2分，对方得1分．求乙队得分X的概率分布及数学期望．

12．（2013·

陕西）在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．

（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的概率分布及数学期望．

效

果

分

析