初中数学相似三角形的判定定理资料讲解.docx

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初中数学相似三角形的判定定理资料讲解

相似三角形的判定

教学目标

1．知道相似三角形的定义及有关概念，知道相似比为1的相似三角形是全等三角形；会读、会用“∽”符号；能准确写出相似三角形的对应角与对应边的比例式；

2、掌握相似三角形判定的预备定理及相似三角形的判定定理1；

3、综合运用所学两个定理，来判定三角形相似，计算相似三角形的边长.

4、了解判定定理1的证题方法与思路，应用判定定理l.

一、复习

1．什么叫做全等三角形？

它在形状上、大小上有何特征？

2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？

3、复习平行线分线段成比例定理（文字表述及基本图形）

本节学习相似三角形的定义及相关判定定理.

二、学习新课

相似三角形的概念：

我们把对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.

相似三角形的概念作为相似三角形的判定方法之一.

[说明]相似三角形的本质特征是“具有相同形状”，它们的大小不一定相等，这是和全等三角形的重要区别．两个三角形形状相同，就是他们的对应角相等，对应边成比例．

相似比的概念：

相似三角形对应边的比，叫做相似比（或相似系数）．

[说明]①两个相似三角形的相似比具有顺序性．②全等三角形的相似比为1，这也说明了全等三角形是相似三角形的特殊情形．

注：

在证两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上．

类似地，如果两个边数相等的多边形的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比，叫做相似比.

如图，是相似三角形，则相似可记作∽.由于，则与的相似比，则与的相似比.

猜测两个三角形全等与相似的区别与联系：

当两个相似三角形的相似比时，这两个相似三角形就成为全等三角形，因此全等三角形是相似三角形的特例.

想一想：

如果∽，∽那么与相似吗？

利用相似三角形的定义说理.得到相似三角形具有传递性（性质）如果两个三角形分别与同一个三角形相似，那么这两个三角形也相似.

思考问题：

（l）所有等腰三角形都相似吗？

所有等边三角形呢？

为什么？

（2）所有直角三角形都相似吗？

所有等腰直角三角形呢？

为什么？

练习一：

选择题

下列四组图形，必是相似形的是（　　）

Ａ、有一个角为的两个等腰三角形；Ｂ、有一个角为的两个等腰梯形；

Ｃ、邻边之比都为2:

3的两个平行四边形；Ｄ、有一个角为的两个等腰三角形.

新授2：

相似三角形的预备定理

课本通过探讨的方法，根据题设中有平行线的条件，结合定理的结论，再根据三角形的定义，从而得出了这两个三角形相似的结论，这里要强调的是：

（1）本定理的导出不仅复习了相似三角形的定义，而且为后面的证明打下了基础。

（2）由本定理的题设所构成的三角形有三种可能，基本图形在“平行线分线段成比例”出现过．

（3）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，每个比的前项是同一个三角形的三边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错，做题时务必要认真仔细，如本定理的比例式，防止出现错误

（4）根据两个三角形相似写对应边的比例式时，这两个三角形中相等的角所对的边就是对应边，对应边应写在对应位置．

（5）有平行就有成比例线段，有平行就有相似三角形．我们称由预备定理得到的相似三角形为“平行线型”的相似三角形.

新授3：

相似三角形的判定定理1：

如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）.

1.判定两个三角形全等的方法有哪几种？

SAS、ASA、AAS、SSS、HL．

2.全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？

“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．

3.我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．

4.如图在△ABC和△中，，△ABC和△是否相似？

5.我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？

①相似三角形的定义，②预备定理．

6.根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？

为什么？

预备定理，因为用定义条件明显不够．

7.采用预备定理，必须构造出怎样的图形？

8.应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？

（1）在△ABC边AB（或延长线）上，截取，过D作DE∥BC交AC于E．“作相似．证全等”．

（2）在△ABC边AB（或延长线上）上，截取，在边AC（或延长线上）截取AE=，连结DE，“作全等，证相似”．（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）

三、巩固练习

1、已知：

在△ABC和△DEF中，∠A=40°,∠B=80°,∠E=80°,∠F=60°.

（1）求证:

△ABC∽△DEF;

（2）写出对应边成比例的式子.

2、

（1）已知:

如图5-58,直线BE,DC交于A,∠E=∠C.求证:

DA·AC=BA·AE.

（2）若图形作以下变化，结论是否依然成立，请证明.

3、已知:

如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BDAC于D.

（1）图中有几个直角三角形?

它们相似吗?

为什么?

（2）用语言叙述第

（1）题的结论:

直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.

（3）写出相似三角形对应边成比例的表达式.

四、小结

1、相似三角形的定义，相似比的概念

2、三角形相似与全等的判定方法的类比.

3、三角形相似的判定定理1，并强调判定相似需且只需两个独立条件.

4、常用的找对应角的方法：

①已知角相等;②已知角度计算得出相等的对应角;③公共角;④对顶角;⑤同角的余（补）角相等.

六、说明

1、相似三角形的概念是本节的重点也是本节的难点.相似三角形是研究相似形的最重要和最基本的图形，是在全等三角形知识的基础上的拓广和发展，全等形是相似形的特殊情况，研究相似三角形比研究全等三角形更具有一般性.

2、相似三角形的预备定理和相似三角形的判定定理的证明，类比全等三角形学习.

3、理解常见图形，掌握常用的找对应角的方法.

相似三角形的判定

教学目标

1．掌握相似三角形的判定定理2;

2、会运用所学的两个定理判定三角形相似，计算相似三角形的边长等.

3、了解判定定理2的证题方法与思路,应用判定定理2.

一、复习引入

1．问题1：

什么叫做相似三角形？

它们在形状上、大小上有何特征？

什么叫做相似比?

结合图形复述相似三角形的预备定理和判定定理1.

2．两个全等三角形的对应边和对应角有什么关系？

3.类比全等三角形的“边角边”，我们来看问题2.

本节学习相似三角形判定定理2.

问题2：

如上图，在和中，如果,那么和相似吗？

分析：

≌（SAS），再利用三角形一边的平行线判定定理，得到DE//BC，可以转化为相似三角形预备定理中的平行线.

二、新课

新授1：

相似三角形的判定定理2的推导及文字和符号表述.

通过问题2，得到相似三角形的判定定理2：

如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.

简述为：

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.∽

新授2：

相似三角形的判定定理2的应用

例题1已知如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA=1，0B=1.5,0C=3,OD=2.求证:

与是相似三角形.

分析：

判断是否有成比例的线段,再利用判定定理2.

议一议:

图中是否还有相似三角形?

答：

∽

问题:

（1）两条直角边对应成比例的两个直角三角形是否相似?

为什么?

（2）等腰三角形ABC与等腰三角形DEF有一角相等,这两个三角形是否相似?

为什么?

例题2已知如图,点D是的边AB上的一点,且.

求证:

∽.

分析:

已知条件是一个乘积式,将它改写成比例式,得到,观察这个比例式中的四条线段结合图形,可以依据相似三角形的判定定理2推出结论.这是比较困难的技巧问题,也是证题的关键步骤.

三、巩固练习

练习1:

书后练习24.4

（2）/1

练习2：

（1）书后练习24.4

（2）/2

（2）D在的△ABC边AB上,且=AD•AB，则△ABC∽△ACD,理由是.

（3）一个直角三角形的两边长分别为3和6,另一个直角三角形的两边长分别为2和4,那么这两个直角三角形相似.（填“一定”、“不一定”或“一定不”）

（4）如图，在中，若，则下列比例式正确的是：

练习3:

补充

（1）在和中,则当DF=时,∽.

（2）如图,P为AB上一点（AB>AC）,要使∽,可添加一个条件.

（3）如图，D是△ABC一边BC上的一点，△ABC∽△DBA的条件是（   ）

（C）（D）

（4）如图，在中，AB=AC，D点是CB的延长线上一点，E是BC延长线上的一点，且满足=DB·CE.

求证：

（1）△ADB∽△EAC

（2）若∠BAC=，求∠DAE的度数.

四、课堂小结

1、三角形相似与全等的判定方法的类比.

2、三角形相似的判定定理2，并强调判定相似需且只需两个独立条件.,强调对应边成比例.

五、作业布置

书后练习1-3，练习册24.4

（2）

五、教学设计说明

1、相似三角形的判定定理2是本节的重点也是本节的难点，证明的导出过程多多理解，重点理解“角”是“两条对应边的夹角”.

2、例题及练习是相似三角形的判定定理2的应用，由浅入深，图形由简单到复杂.

（3）相似三角形的判定

教学目标

1、掌握相似三角形的判定定理3；

2、会综合运用所学的三个定理判定三角形相似，进行相关证明与计算.

4.了解判定定理3的证题方法与思路,应用判定定理3，如网格问题.

一、复习引入

1．复述已经学习过的判定三角形相似的定理.

（1）定义法：

对应角相等、对应边成比例；

（2）预备定理：

平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形和原三角形相似.

（3）判定定理1：

两角对应相等，两个三角形相似；

（4）判定定理2：

两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.

下面学习相似三角形判定定理3

二、学习新课

新授1：

相似三角形的判定定理3的推导及文字和符号表述.

问题3：

类比三角形全等的判定，思考猜测问题3.

如图在和中，如果，那么和相似吗？

分析：

同样可以利用相似三角形预备定理来证明.

通过问题3，又得到相似三角形的判定定理3：

如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.

简述为：

三边对应成比例，两个三角形相似.

∽

新授2：

相似三角形的判定定理3的应用

例题3已知如图，D、E、F分别是的边BC、CA、AB的中点.求证：

∽.

（分析：

利用中位线的性质，可得两个三角形三边对应成比例，根据相似三角形的判定定理3，可得两个三角形相似）

证明：

例题4（补充）如图，在正方形网格上有两个三角形和求证：

△∽△.

分析 由条件可考虑三边是否对应成比例.可设小正方形边长为1，由勾股定理可求出各自边长，再进行证明.

证明：

设小正方形边长为1，则由勾股定理可求得：

＝，，，，又＝2，＝5.

∴∶

∶，∶＝

∴ 

∴△∽△.

三、巩固练习

练习1:

书后练习24.4（3）/1

练习2：

（1）书后练习24.4（3）/2

（2）书后练习24.4（3）/3

（3）以下各图放置的小正方形的边长都相同，分别以小正方形的顶点为顶点画三角形，则与△ABC相似的三角形图形为（）

（4）如图，是一个正方形网络，里面有许多三角形．在下面所列出的各三角形中，与不相似的是.

B

C

D

A