c8577d90940590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed4f9Word格式文档下载.docx
《c8577d90940590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed4f9Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《c8577d90940590c69ec3d5bbfd0a79563c1ed4f9Word格式文档下载.docx（25页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
问题1如果
存在，那么函数
在点
处是否一定有定义?
解析
存在与
在
处是否有定义无关．例如
，而
=
处无定义；
又如
，而
处有定义.所以，
存在，不一定有
点有定义.
问题2若
存在，那么
和
是否一定存在？
是否一定有
·
？
解析
存在，并不能保证
与
均存在.例如
不存在.又因为只有在
均存在的条件下，才有
所以
存在，不能保证
．
问题3
是否正确，为什么?
解析不正确.尽管
.
这说明,
时，
不是无穷大.
三、例题精解
例1求下列极限:
（1）
；
（3）
（4）
（5）
（6）
.0
解
（1）由于讨论函数
处有定义，而且在
处连续，所以有
（2）
（这是
型，设法将其化为
）
（3）
型未定式）
（分子、分母均含非零因子
（4）
．
需要注意，
是由于
为
时的无穷小量，
≤1，即
为有界函数，所以
时的无穷小.
（函数符号与极限符号交换）
（分子有理化）
（6）
（适当变形）
（利用商的极限公式）
（利用重要极限
例2 设
问
为何值时
存在，并求此极限值.
解对于分段函数，讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限.
为使
存在，必须
.
因此，
存在且
例3设
问当
为何值时，
是
的间断点?
是什么间断点?
解
，
当
，亦即
的间断点；
由于
为大于0的实数，故
均存在，只是
，故
的跳跃间断点.
例4已知
，求
的值.
解因为
由有理函数的极限知，上式成立，必须有
的系数等于0,即
，于是
四、练习题
1判断正误
⑴若函数
处极限存在，则
处连续.（×
）
解析函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值．如函数
，即函数
处极限存在；
但
，所以函数
在
处不连续．
⑵分段函数必有间断点.（×
解析分段函数不一定有间断点．如函数
是分段函数，
，所以
又因为
，即
处连续，无间断点．
⑶
时的等价无穷小.（√）
，由等价无穷小的定义，
时的等价无穷小．
⑷无界函数不一定是无穷大量.（√）
解析无穷大必无界，但反之不真．如函数
，当
时是无界函数；
但若取
）时
，不是无穷大量．
2.选择题
⑴下列极限存在的是（B）
（A）
;
（B）
（C）
（D）
解析（A）
，所以
不存在；
（B）
，极限存在；
（C）
（D）
，所以
不存在．
⑵已知
则常数
（C）.
（A）1；
（B）5；
（C）6；
（D）-1.
，所以
处（C）.
（A）有定义；
（B）极限存在；
（C）左极限存在；
（D）右极限存在.
解析因
，在
处无定义，
处左极限存在，
处右极限不存在，
由极限存在的充要条件，可知函数
处的极限不存在．
⑷当
（D）.
（A）有最大值与最小值;
（B）有最大值无最小值;
（C）无最大值有最小值;
（D）无最大值无最小值.
上是连续函数，图形如下：
所以当
无最大值与最小值．
3.填空题
（1）已知
为常数，
，则
0，
6；
解
时极限值存在且值为3，则分子、分母
的最高次幂应相同，所以
那么
（2）
的连续区间是
解由
，知函数
的定义区间为
．又因为初等函数在其定义区间上连续，所以
（3）
的可去间断点;
时，函数
无定义，但
，极限存在，所以
的可去间断点．
（4）若
为常数），则
．
解由复合函数求极限的方法，
4.解答题
⑴
解一
解二无穷小量的等价代换，由于
所以
．
⑵设
，求
解 由无穷小量的等价代换，
即
⑶
是无穷小量，
是有界变量．
因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以
⑷设
试讨论
处的连续性，写出
的连续区间；
且
处连续．
又因为当
时函数
连续，当
也连续，所以函数
的连续区间为
⑸设
求
并问
处是否连续；
⑹讨论
时，函数无定义，所以
为函数的间断点．
因为
，
为函数
的跳跃间断点．
（7）求
解由无穷小量的等价代换，
所以
（8）试证方程
至少有一个根介于1和2之间.
证设函数
上连续，且
，即区间端点函数值异号．由根的存在定理，至少存在一点
使得
，即方程
至少有一个根介于1和2之间．
升级会员 