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1、 问题1 如果 存在，那么函数在点处是否一定有定义? 解析 存在与在处是否有定义无关例如，而 =处无定义；又如，而处有定义.所以，存在，不一定有点有定义. 问题2 若存在，那么和是否一定存在？是否一定有？解析 存在，并不能保证与均存在.例如不存在.又因为只有在均存在的条件下，才有,所以存在，不能保证 问题3 是否正确，为什么?解析 不正确.尽管. 这说明,时，不是无穷大. 三、例题精解 例1 求下列极限: （1） ； （3） （4） （5） （6） .0 解 （1）由于讨论函数处有定义，而且在处连续，所以有 （2） （这是型，设法将其化为） （3） 型未定式） （分子、分母均含非零因子（4）

2、需要注意，是由于为时的无穷小量，1，即为有界函数，所以时的无穷小. （函数符号与极限符号交换） （分子有理化） （6） （适当变形） （利用商的极限公式） （利用重要极限 例2设 问为何值时存在，并求此极限值. 解 对于分段函数，讨论分段点处的极限.由于函数在分段点两边的解析式不同，所以，一般先求它的左、右极限. 为使存在，必须. 因此，存在且例3 设 问当为何值时，是的间断点? 是什么间断点?解，当，亦即的间断点；由于为大于0的实数，故均存在，只是，故的跳跃间断点. 例 4 已知 ，求的值. 解 因为 由有理函数的极限知，上式成立，必须有的系数等于0,即，于是四、练习题 1判断正误 若函数处

3、极限存在，则处连续. （ ） 解析 函数在一点连续，要求函数在该点极限存在，且极限值等于该点函数值如函数，即函数处极限存在；但，所以函数 在处不连续 分段函数必有间断点. （ 解析 分段函数不一定有间断点如函数是分段函数，所以又因为，即处连续，无间断点 时的等价无穷小. （ ） ，由等价无穷小的定义，时的等价无穷小 无界函数不一定是无穷大量. （ ） 解析 无穷大必无界，但反之不真如函数，当时是无界函数；但若取）时，不是无穷大量 2.选择题 下列极限存在的是（ B ） （A） ; （B） （C） （D） 解析 （A）， 所以不存在；（B） ，极限存在；（C）（D） ，所以不存在 已知,则常数（

4、 C ）. （A） 1； （B） 5 ； （C） 6 ； （D） -1. ，所以 处 （ C ）. （A） 有定义； （B） 极限存在； （C） 左极限存在； （D） 右极限存在. 解析 因，在处无定义， 处左极限存在， 处右极限不存在， 由极限存在的充要条件，可知函数处的极限不存在 当 （ D ）. （A）有最大值与最小值; （B）有最大值无最小值;（C）无最大值有最小值; （D）无最大值无最小值. 上是连续函数，图形如下：所以当无最大值与最小值 3.填空题 （1）已知为常数，则 0 ， 6 ；解 时极限值存在且值为3，则分子、分母的最高次幂应相同，所以那么 （2）的连续区间是解 由，知函数

5、的定义区间为又因为初等函数在其定义区间上连续，所以（3）的 可去 间断点;时，函数无定义，但，极限存在，所以的可去间断点 （4）若为常数），则 解 由复合函数求极限的方法， 4.解答题 解一 解二 无穷小量的等价代换，由于所以 设，求 解 由无穷小量的等价代换，即 是无穷小量，是有界变量 因为有界变量乘无穷小量仍是无穷小量，所以 设试讨论处的连续性，写出的连续区间；且处连续 又因为当时函数连续，当也连续，所以函数的连续区间为 设求,并问处是否连续； 讨论 时，函数无定义，所以为函数的间断点 因为 ，为函数的跳跃间断点 （7） 求解 由无穷小量的等价代换，所以 （8） 试证方程至少有一个根介于1和2之间. 证 设函数上连续，且，即区间端点函数值异号由根的存在定理，至少存在一点使得，即方程至少有一个根介于1和2之间