数学新教材人教B版必修第一册 313 第1课时 函数的奇偶性 学案Word格式文档下载.docx

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（3）若f（－x）＝－f（x），且f（－x）＝f（x），则f（x）既是奇函数又是偶函数，这样的函数有且只有一类，即f（x）＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集．

2．奇偶函数的图像特征

（1）函数是偶函数⇔图像关于y轴对称；

（2）函数是奇函数⇔图像关于原点对称．

3．奇、偶函数的对应关系的特点

（1）奇函数有f（－x）＝－f（x）⇔f（－x）＋f（x）＝0⇔

＝－1（f（x）≠0）；

（2）偶函数有f（－x）＝f（x）⇔f（－x）－f（x）＝0⇔

＝1（f（x）≠0）．

4．奇、偶函数的单调性

根据奇、偶函数的图像特征，我们不难得出以下结论．

（1）奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“__奇同偶异__”．

（2）__偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值__，取最值时的自变量互为相反数；

__奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数__，取最值时的自变量也互为相反数．

基础自测　　

1．下列函数中，既是奇函数又是增函数的是（　D　）

A．y＝x＋1　　　B．y＝－x2

C．y＝

　D．y＝x|x|

解析：

函数y＝x＋1是非奇非偶函数，函数y＝－x2是偶函数，函数y＝

不是增函数，故选D．

2．对于定义域是R的任意奇函数f（x），都有（　C　）

A．f（x）－f（－x）>

0　B．f（x）－f（－x）≤0

C．f（x）·

f（－x）≤0　D．f（x）·

f（－x）>

∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．

∴f（x）·

f（－x）＝f（x）·

[－f（x）]＝－[f（x）]2≤0.

3．若函数f（x）＝x2－ax＋1为偶函数，则a＝__0__.

解法一：

∵f（x）为偶函数，

∴f（－x）＝f（x），

x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，

即2ax＝0（x∈R）恒成立，

∴a＝0.

解法二：

∴f（－1）＝f

（1），即1＋a＋1＝1－a＋1，

4．下列图像表示的函数是奇函数的是__②④__，是偶函数的是__①③__（填序号）．

①③关于y轴对称是偶函数，②④关于原点对称是奇函数．

5．已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－2x，则f（x）在R上的解析式为__f（x）＝

__.

当x<

0时，－x>

0，∴f（－x）＝x2＋2x.

又∵f（x）是奇函数，∴f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x.

∴f（x）＝

.

关键能力·

攻重难

类型　判断函数的奇偶性

┃┃典例剖析__■

典例1　判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝

＋

；

（2）f（x）＝

（3）f（x）＝x2－2|x|＋1，x∈[－1,1]；

（4）f（x）＝（x－2）

（5）f（x）＝（x－2）

（|x|＜2）．

思路探究：

先求定义域，验证定义域是否关于原点对称，再看f（－x）与f（x）的关系，进而做出判断．

（1）∵由

知x＝1.

∴函数f（x）的定义域为{x|x＝1}，不关于原点对称，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数．

（2）∵由

得x2＝1，即x＝±

1.

∴函数f（x）的定义域是{x|x＝±

1}，关于原点对称．

又∵f（x）＝0，∴f（x）既是奇函数也是偶函数．

（3）函数的定义域为[－1,1]，关于原点对称．

∵f（－x）＝（－x）2－2|－x|＋1＝x2－2|x|＋1＝f（x），

∴f（x）是偶函数．

（4）设f（x）＝（x－2）

∵由

得x≤－2或x＞2，

∴函数的定义域为（－∞，－2]∪（2，＋∞），

不关于原点对称．

∴f（x）＝（x－2）

既不是奇函数也不是偶函数．

（5）设f（x）＝（x－2）

∵|x|＜2，∴－2＜x＜2，

∴函数的定义域为（－2,2），关于原点对称，

而f（x）＝－（2－x）

＝－

，

∴f（－x）＝－

＝f（x），

（|x|＜2）是偶函数．

归纳提升：

如何判断函数的奇偶性

1．判断函数的奇偶性一般不用其定义，而是利用定义的等价形式，即考察f（－x）与f（x）的关系，具体步骤如下：

（1）求f（x）的定义域．

（2）若定义域不关于原点对称，则函数f（x）不具有奇偶性，若定义域关于原点对称，可再利用定义验证f（－x）与f（x）的关系．

2．关于一些较复杂的函数，也可以用如下性质判断函数的奇偶性：

（1）偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数．

（2）奇函数的和、差仍为奇函数．

（3）奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数．

（4）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．

┃┃对点训练__■

1．判断下列函数的奇偶性：

（1）f（x）＝x2＋1；

（2）f（x）＝|x＋1|－|x－1|；

（3）f（x）＝

·

（1）函数的定义域为R，关于原点对称，

f（－x）＝（－x）2＋1＝x2＋1＝f（x），

∴函数f（x）＝x2＋1是偶函数．

（2）函数的定义域为R，关于原点对称，

f（－x）＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|

＝－（|x＋1|－|x－1|）＝－f（x），

∴函数f（x）＝|x＋1|－|x－1|是奇函数．

（3）函数f（x）＝

的定义域为[1，＋∞），不关于原点对称，故函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．　　

类型　奇偶函数图像的应用

典例2　

（1）如图1，给出了奇函数f（x）的局部图像，那么f

（1）等于（　B　）

A．－4　B．－2　　

C．2　D．4

图1　　　　　图2

（2）设偶函数f（x）的定义域为[－5,5]，且f（3）＝0，当x∈[0,5]时，f（x）的图像如图2所示，则不等式xf（x）＜0的解集是__[－5，－3）∪（0,3）__.

根据函数的奇偶性可作出函数在y轴另一侧的图像，再根据图像来解题．

（1）由函数的图像可得f（－1）＝2，又由函数为奇函数，则f

（1）＝－f（－1）＝－2.

（2）因为f（x）为偶函数，且由图像可得在[0,3）上，f（x）＜0在（3,5]上，f（x）＞0，则在[－5，－3）上，f（x）＞0，在（－3，0]上，f（x）＜0，xf（x）＜0⇔

或

所以－5≤x＜－3或0＜x＜3，即不等式的解集为[－5，－3）∪（0,3）．

巧用奇偶性作函数图像的步骤

（1）确定函数的奇偶性．

（2）作出函数在[0，＋∞）（或（－∞，0]）上对应的图像．

（3）根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（－∞，0]或[0，＋∞）上对应的函数图像．

2．已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x2＋2x，现已画出函数f（x）在y轴左侧的图像，如图所示．

（1）请补出完整函数y＝f（x）的图像；

（2）根据图像写出函数y＝f（x）的增区间、值域．

（1）由题意作出函数图像如图：

（2）据图可知，单调增区间为（－1,0），（1，＋∞），值域为[－1，＋∞）．

类型　分段函数奇偶性的判定

典例3　用定义判断函数f（x）＝

的奇偶性．

判断分段函数的奇偶性，要注意x与－x是在不同的“段”中，则f（－x）与f（x）是不同的关系式．

任取x>

0，则－x<

0.

∴f（－x）＝（－x）2－1＝x2－1＝－（－x2＋1）＝－f（x）．

又任取x<

0，则－x>

∴f（－x）＝－（－x）2＋1＝－x2＋1＝－（x2－1）＝－f（x）．

对x∈（－∞，0）∪（0，＋∞）都有f（－x）＝－f（x）成立．∴函数f（x）为奇函数．

f（x）＝

即f（x）＝|x|（－x＋

）（x≠0），

则f（－x）＝|x|（x－

）＝－|x|（－x＋

）＝－f（x）．

∴f（x）为奇函数．

1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑．

2．若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示．

3．判断函数f（x）＝

函数f（x）的定义域为R，关于原点对称，

当x>

0时，－x<

0，f（－x）＝－（－x）2－2＝－x2－2＝－（x2＋2）＝－f（x），

0，f（－x）＝（－x）2＋2＝x2＋2＝－（－x2－2）＝－f（x）．

当x＝0时，f（0）＝0，即x＝0时，f（－x）＝－f（x）．

综上所述，x∈R，有f（－x）＝－f（x），故该函数为奇函数．

类型　由函数的奇偶性求函数的解析式

典例4　已知f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x|x－2|，求当x＜0时，f（x）的表达式．

已知函数f（x）是奇函数，可利用对称性求对称区间上的解析式．

令x＜0，则－x＞0.

∴f（－x）＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.

∴f（x）＝x|x＋2|.

故当x＜0时，f（x）的表达式为f（x）＝x|x＋2|.

由函数奇偶性求函数解析式的解题策略

1．函数具有奇偶性，若只给出了部分区间上的解析式，则可以利用函数的奇偶性求出对称区间上的解析式，其解题理论为函数奇偶性的定义．

正用定义可以判断函数的奇偶性，逆用可以求出函数在对称区间上的解析式．

2．结论：

（1）若f（x）是奇函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f（x）中的x，y分别替换为－x，－y，然后解出y即可．

（2）若f（x）是偶函数，且已知x＞0时的解析式，则x＜0时的解析式只需将原函数式y＝f（x）中的x替换为－x，y不变，即得x＜0时的解析式．

4．若f（x）是定义在R上的奇函数，当x<

0时，f（x）＝x（1－x），求：

当x≥0时，函数f（x）的解析式．

0，

∵当x<

0时，f（x）＝x（1－x），

∴f（－x）＝－x（1＋x），

又f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），

∴－f（x）＝－x（1＋x），∴f（x）＝x（1＋x），

又f（0）＝f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝0，

∴当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）．

类型　抽象函数的奇偶性

典例5　已知函数y＝f（x）（x∈R），若对于任意实数a、b都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b），求证：

f（x）为奇函数．

因为对于任意实数a、b都有f（a＋b）＝f（a）＋f（b），可以先令a、b为某些特殊值，从而得出f（－x）＝－f（x）．

证明：

令a＝0，则f（b）＝f（0）＋f（b），

∴f（0）＝0，再令a＝－x，b＝x，

则f（0）＝f（－x）＋f（x），∴f（－x）＝－f（x），且定义域x∈R关于原点对称，∴f（x）是奇函数．

判断抽象函数的奇偶性，应利用函数奇偶性定义，找准方向，巧妙赋值，合理，灵活变形配凑，找出f（－x）与f（x）的关系，从而判断或证明抽象函数的奇偶性．

5．已知函数y＝f（x）（x∈R），若对于任意实数x1、x2，都有f（x1＋x2）＋f（x1－x2）＝2f（x1）·

f（x2），求证：

f（x）为偶函数．

令x1＝0，x2＝x，

得f（x）＋f（－x）＝2f（0）·

f（x），①

令x1＝x，x2＝0，得f（x）＋f（x）＝2f（0）·

f（x），②

由①②得，f（－x）＝f（x），且定义域x∈R关于原点对称，∴函数f（x）为偶函数．

课堂检测·

固双基

1．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（－3）＝－2，则f（3）＋f（0）＝（　C　）

A．3　B．－3　　

C．2　D．7

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（0）＝0，又f（－3）＝－f（3）＝－2，∴f（3）＝2，

∴f（3）＋f（0）＝2，故选C．

2．下面四个结论：

①偶函数的图像一定与y轴相交；

②奇函数的图像一定经过原点；

③偶函数的图像关于y轴对称；

④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f（x）＝0（x∈R），其中正确命题的个数是（　A　）

A．1　B．2　　

C．3　D．4

偶函数的图像关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误；

奇函数的图像关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确；

若y＝f（x）既是奇函数又是偶函数，由定义可得f（x）＝0，但不一定x∈R，只要定义域关于原点对称即可，故④错误，既是奇函数又是偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零，区别在定义域，选A．

3．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，则f

（2）＝__12__.

∵当x∈（－∞，0）时，f（x）＝2x3＋x2，

∴f（－2）＝2×

（－2）3＋（－2）2＝－16＋4＝－12，

又∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－2）＝－f

（2）＝－12，∴f

（2）＝12.

4．已知函数f（x）＝

为奇函数，则a＝__－1__.

因为f（x）是奇函数，f（－1）＝0，所以f（－1）＝－f

（1）＝0，

所以f

（1）＝

＝0，解得a＝－1.

经检验，a＝－1符合题意．

5．判断下列函数是否具有奇偶性：

（1）由

，得－2≤x<

2，

∴函数f（x）的定义域为[－2,2）不关于原点对称，

故函数f（x）＝

是非奇非偶函数．

（2）由1－x2≥0，得－1≤x≤1，∴|x＋2|＝x＋2，

∴|x＋2|－2＝x＋2－2＝x，∴x≠0.

∴函数f（x）的定义域为[－1,0）∪（0,1]，

＝

f（－x）＝

＝－f（x），

∴函数f（x）＝

是奇函数．