1方程导出01弦振动方程文档格式.docx

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三、《数学物理方程》学习难点

1、涉及较多的物理知识；

2、大量应用多元微积分、含参变量积分以

及Fourier级数等有关的知识、技巧；

3、综合应用多门已学课程；

4、计算量较大。

关于教材

•《数学物理方程讲义》；

•前苏州大学校长姜礼尚等编；

•曾获国家教委优秀教材奖；

•第一版是姜礼尚先生在北大时与陈亚淅、刘西垣

合编；

•第二版是姜礼尚先生在苏大时改编；

前苏大易法

槐教授也加入了编者的行列；

•第三版是姜礼尚先生在同济大学改编,即将出版。

参考书

•《数学物理方程》，复旦大学数学系主编

•《数学物理方法》，Courant和Hilbert编

（经典但较老）

•《PartialDifferentialEquation》，Fritz

John编（经典教材）

一些基本概念

•PDE（偏微分方程PartialDifferentialEquation）：

含有多元未知函数的偏导数的方程；

•ODE（常微分方程OrdanaryDifferentialEquation）；

•PDE的阶：

方程中出现的未知函数最高阶偏导数的阶；

•线性PDE：

方程中的任一项或者与未知函数无关，或者

是已知函数与未知函数或其某一偏导数的乘积。

•非线性PDE：

不是线性的PDE统称为非线性PDE。

•本课程主要讨论三类二阶线性PDE。

例

∂−∂=+

uu

2

2u1

∂∂

tx

是二阶线性PDE。

∂−∂=

u

是一阶非线性PDE。

第一章方程的导出和定解条件

一、本章内容：

1.根据典型的问题导出数学物理方程──偏微分方程。

2.介绍变分原理。

3.介绍偏微分方程基本概念。

二、采用方法

1.用Newton定律、守恒律及其它实验定律方法导出偏微分方程及定解条件。

2.用变分原理推导Euler方程及定解问题。

§

1.守恒律

1.1动量守恒与弦振动方程

一、方程推导

1．问题提法

l

一长为的柔软、均匀的细弦，拉紧后让它离

开平衡位置，在垂直于弦线的外力的作用下，

作微小的横振动，求在不同时刻弦线的形状。

0l

2．数学提法

以弦平衡位置所在直线为x轴，弦运动平面内，过弦的一

端作垂直于弦平衡位置的直线为u轴，建立直角坐标系。

问题的数学提法：

设　t　时刻，对应于x点处的位移为u（x,t），求函数

u=uxt

（,）

1

0.5

-0.51.5

-1

01

t

4

x

60

3．分析、假设

①．波动原因：

对小段弦而言，弦受外力、张力共同作用引起位移、加

速度变化，当把小段弦视作质点时，这小段弦服从Newton

第二定律：

F＝ma（外力的合力＝质量＊加速度）。

②．术语及假设：

柔软──抗拉伸，不抗弯曲，从而拉力与弦线相切。

弦的线密度为常数，可设为kg/m。

ρ均匀──

弦的直径与长度之比远远小于1，弦可视为理细弦──

想的曲线。

线密度可设为0（/）；

方向：

00向上，0＜0向下。

fNmf>

f外力──

∂<

<

u（x,t）

　　1,故其高阶项可近似看着为0。

微小的振动─

∂

拉紧——弦的张力随时间的变化可忽略不计。

4.受力分析及各物理量计算公式

①．受力分析：

如图：

小段弦受外力、张力共同作用

f

T

ax

α

AB

a

bx

b

ay

by

abx

这里0、

≤αα≤

ab

π

②．各量计算公式：

垂直方向合力大小（方向向上）：

fΔs+T⋅i+T⋅i

0aubu

=Δ+TTi+TTi

f0sacos（a,u）bcos（b,u）

=fΔs−Tα−Tα

0asinabsinb

其中iu=（0,1）为指向u轴正向的单位向量，△s为弧长。

水平方向合力大小：

−Taαa+Tbαb　=，横振动

coscos（0）

ρΔ

s小段弦质量：

小段弦加速度：

∂2×

ΔΔ+⋅+⋅

u（x,t）∂2×

（）

ρ

s＝fsTiTi

∂2t

③．各量近似、简化：

根据微小振动条件

<

u（x,t）

因此由数学分析的近似关系：

u（x,t）

sintan,

α≈α=

aa

xa

=

cos1sin1,

α＝−2α≈

sintan－,cos1,

α≈α=α≈

bbb

xb

Δ=∫+≈−

s1udxba.

（）2

由横向的平衡条件得：

aαa=bαb

TcosTcos

⇒T≈T≡

abT0.

5．方程导出

由Newton第二定律及前面的计算公式、近似公式可得：

fΔs−Tα−Tα

≈fb−a−Tα−Tα

0（）0tana0tanb≈fb−a−Tα−Tα

u（x,t）u（x,t）

=−−+

f（ba）TT

000

x=x=

xaxb

=Δ

ρ∂2

s

∂2

t

≈−

（ba）,

于是得：

ρ∂=

fT

+

00

∂−∂

xx

xbxa

==

ba

−

令0得:

b−a→

002

两边同除以，　就得出弦振动方程：

22

af（x,t）,

∂2∂2

Tf

其中f（x,t）0

a=，　=

（x,

t）

.

注意：

由前面的推导，边界张力的垂直分量为：

TiT,TiT.

⋅=−⋅=

au∂bu∂

总结：

弦振动方程：

∂2−∂2=

u（x,t）u（x,t）∂2−∂2=

其中

2T0（,）f0（x,t）.

afxt

=，　=

ρρ

{

是弦的线密度，

T是弦的张力的大小，

ρ和

T是正数，

0

f外力方向向下。

f是外力的线密度，

f>

外力方向向上，

左端点张力的垂直分量为：

TiT

⋅=−

au0

x=

xa

右端点张力的垂直分量为：

Ti

⋅=

bu

xb

二、定解条件

边界条件

1．初始条件：

①．已知初始位移：

u==ϕx≤x≤l

0（）,0,

u−au=f

ttxx

②．已知初始速度：

u==ψx≤x≤l

tt

2．边界条件：

初始条件

①．第一类边界条件：

（已知边界位移）

==≥

u0g（t）,t0,,

ugtt

2（）,0.

xl

当gi（t）≡0（i=1或2）时，称该端为固定端。

②．第二类边界条件：

（已知边界张力垂直分量）

−=≥

0（）,0,

xx1

xxl

当gi（t）≡0（i=1或2）时，称该端为自由端。

③．第三类边界条件：

（边界有弹性支撑情形）

（）（）,0,,

−u+αu=gtt≥

（）（）,0.

u+βu=gtt≥

xxl2

其中，α>

0、β>

0.

三、定解问题提法（PDE术语）：

1、定解条件（从方程中确定解的条件）：

初始条件、边界条件的统称。

定解条件是不能随意施加的！

2、定解问题：

方程＋定解条件。

3、弦振动方程的定解问题：

弦振动方程＋两个初始条件＋边界条件之一

也称为弦振动方程的混合问题。

弦振动方程的第一边值（Dirchlet）问题：

∂−∂=<

>

2a2f（x,t）,0xl,t0,

u（x,0）（x）,0xl,

=ϕ≤≤

u（x,0）（x）,0xl,

=ψ≤≤t

u（0,t）

g（t）,t

≥

0,

u（l,t）

0.

弦振动方程的第二边值（Neumann）问题：

g（t）,t0,

∂1

∂=≥

g（t）,t0.

弦振动方程的第三边值问题：

22（,）,0,0,

afxtxlt

⎛−+⎞=≥

α

ug（t）,t0,

⎜∂⎟

⎝x⎠

x0

⎛u+⎞=≥

β

ug（t）,t0.

4、Cauchy问题（或初值问题）：

对于弦线中某一段，如果在所考虑的时间内，弦端点的影响

可以忽略不计时，可以认为弦长为无穷，这时问题化为：

∂−∂=−∞<

∞>

2a2f（x,t）,x,t0,

u（x,0）（x）,x,

=ϕ−∞≤≤∞

u（x,0）（x）,x.

=ψ−∞≤≤∞t

五、附注

1、弦振动方程具有典型性，许多有关振动问题同样可以用

此方程来刻画。

由于振动的一个共同特征是产生波的传

播，因此，此方程也称为一维波动方程。

2、弦振动方程的混合问题的边界条件也可以是三类边界条

件中的不同两种。

3、高维波动方程与一维波动方程类似：

这里

∂−Δ=>

2auf（x,t）,（a0）

∂2

n

Δ∑

u（x,t）为Laplace算子，n为维数，　

∂2x

ii

（x,

,

L

）为n维空间中的点。

通常我们称该方程称为波动方程。

波动方程的混合问题：

波动方程的第一边值（Dirchlet）问题：

∂−Δ=∈Ω>

2（,）（,）,,0,

auxtfxtxt

=ϕ∈Ω

u（x,0）（x）,x,

=ψ∈Ω

∂Ωuxt=gxtx∈∂Ωt≥

（,）（,）,,0.

Ω这里n∂Ω

为的单位外法向。

波动方程的第二边值（Neumann）问题：

2au（x,t）f（x,t）,x,t0,

u（x,0）（x）,x,

∂=∈∂Ω≥

g（x,t）,x,t0.

∂Ω

Ω

这里n∂Ω

波动方程的第三边值问题：

=ϕ∈Ω

⎛+⎞=∈∂Ω≥

u（x,t）g（x,t）,x,t0.

⎝n⎠

这里n∂ΩΩ

波动方程的初值问题（Cauchy问题）：

∂−Δ=∈>

2n

2au（x,t）f（x,t）,xR,t0,

u（x,0）（x）,xR,

=ϕ∈n

=ψ∈

u（x,0）（x）,xR.

4、平衡状态问题

当物体在外力作用下处于平衡状态时，物体的位

移不再随时间变化，此时，位移满足：

−2Δ（）=（）,∈Ω.

auxfxx

该方程称为Poisson方程。

注：

均匀弹性杆的微小纵振动

——均匀细杆在外力作用下沿杆长方向作微小振动

设杆长方向为x轴，u（x,t）为x处的截面在

时刻t沿杆长方向的位移，如下图

x（不振动时）

uatu（b,t）x（振动时刻t）

向右，u>

0ab

振动中弦上点的张力大小由胡克定理确定：

＝

TESε

其中，S－截面积、E－弹性系数（杨氏模量）、

ε∂

＝－杆在该点的相对伸长量。

因此，区间　　两端所受的张力为：

[a+u（a,t）,b+u（b,t）]

a+uatb+u（b,t）Tb

∂∂

=−=

TES,TES

a∂b∂

再由Newton第二定律，可推得u（x,t）满足

af

tx∂2∂2

Ef

20

其中，a=，f=,

S

为杆的密度，f为外力线密度。

本节练习：

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