必修1第三章31解答题21题Word文件下载.docx

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15、证明：

方程x4－4x－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．

16、关于x的方程mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．

17、若方程x2＋（k－2）x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求k的取值范围．

18、若函数f（x）＝x3＋x2－2x－2的一个零点附近的函数值的参考数据如下表：

f

（1）＝－2

f（1.5）＝0.625

f（1.25）≈－0.984

f（1.375）≈－0.260

f（1.4375）≈0.162

f（1.40625）≈－0.054

求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根（精确度0.1）．

19、分别求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0，

（1）有两个负根；

（2）有两个实根，且一根比2大，另一根比2小；

（3）有两个实根，且都比1大．

20、已知函数f（x）＝x|x－4|.

（1）画出函数f（x）＝x|x－4|的图象；

（2）求函数f（x）在区间[1,5]上的最大值和最小值；

（3）当实数a为何值时，方程f（x）＝a有三个解？

21、已知函数f（x）＝ax＋

（a>

1）．

（1）证明：

函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数；

（2）用反证法证明方程f（x）＝0没有负数根．

以下是答案

1、证明　设函数f（x）＝2x＋3x－6，

∵f

（1）＝－1<

0，f

（2）＝4>

0，

又∵f（x）是增函数，

∴函数f（x）＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，

则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．

设该解为x0，则x0∈[1,2]，

取x1＝1.5，f（1.5）≈1.33>

0，f

（1）·

f（1.5）<

∴x0∈（1,1.5），

取x2＝1.25，f（1.25）≈0.128>

f

（1）·

f（1.25）<

0，∴x0∈（1,1.25），

取x3＝1.125，f（1.125）≈－0.444<

f（1.125）·

0，∴x0∈（1.125,1.25），

取x4＝1.1875，f（1.1875）≈－0.16<

f（1.1875）·

∴x0∈（1.1875,1.25）．

∵|1.25－1.1875|＝0.0625<

0.1，

∴1.1875可作为这个方程的实数解．

2、【解析】　因为函数f（x）＝lnx－

的图象在[1,3]上是连续不断的一条曲线，且f

（1）＝－1<

0，f（3）＝ln3－

>

0，从而由零点存在性定理知，函数在（1,3）内存在零点．

3、【解析】　∵－

是函数的一个零点，

∴f（－

）＝0.

∵y＝f（x）是偶函数，且在（－∞，0]上递增，

∴当log

x≤0，即x≥1时，log

x≥－

，解得x≤3.即1≤x≤3.

由对称性可知，当log

x>

0时，

≤x<

1.

综上所述，x的取值范围为[

，3].

4、【解析】　设f（x）＝2x3＋3x－3，经试算，f（0）＝－3<

0，f

（1）＝2>

0，所以函数在（0,1）内存在零点，即方程2x3＋3x－3＝0在（0,1）内有实数解，取（0,1）的中点0.5，经计算f（0.5）<

0，又f

（1）>

0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5,1）内有解．

如此继续下去，得到方程的一个实数解所在的区间，如下表：

（a，b）

（a，b）的中点

f（a）

f（b）

f

（0,1）

0.5

f（0）<

f

（1）>

f（0.5）<

（0.5,1）

0.75

f（0.75）>

（0.5,0.75）

0.625

f（0.625）<

（0.625,0.75）

0.6875

f（0.6875）<

因为|0.6875－0.75|＝0.0625<

0.1，所以方程2x3＋3x－3＝0的精确度为0.1的一个近似解可取为0.75.

5、【解析】　令f（x）＝lnx＋x－3，即求函数f（x）在（2,3）内的零点．

用二分法逐步计算．列表如下：

区间

中点

中点函数值

[2,3]

2.5

0.4163

[2,2.5]

2.25

0.0609

[2,2.25]

2.125

－0.1212

[2.125,2.25]

2.1875

－0.0297

[2.1875,2.25]

由于区间[2.1875,2.25]的长度2.25－2.1875＝0.0625<

0.1，所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根．

6、【解析】　如图

他首先从点C查，用随身带的话机向两端测试时，发现AC段正常，断定故障在BC段，再查BC段中点D，这次发现BD段正常，可见故障在CD段，再查CD中点E.

这样每查一次，就可以把待查的线路长度缩减一半，故经过7次查找，即可将故障发生的范围缩小到50m～100m之间，即一两根电线杆附近．

7、[解析]　因为f（－1）＝2－1－（－1）2＝－

<

f（0）＝20－02＝1>

而函数f（x）＝2x－x2的图象是连续曲线，所以f（x）在区间[－1,0]内有零点，即方程f（x）＝0在区间[－1,0]内有解．

8、[解析]　函数的定义域为（0，＋∞），任取x1、x2∈（0，＋∞），且x1＜x2.

f（x1）－f（x2）＝（lnx1＋2x1－6）－（lnx2＋2x2－6）

＝（lnx1－lnx2）＋2（x1－x2），

∵0＜x1＜x2，∴lnx1＜lnx2.

∴f（x1）－f（x2）<

0，即f（x1）<

f（x2）

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

又f

（1）＝ln1＋2×

1－6＝－4<

0.

f（3）＝ln3＋2×

3－6＝ln3＞0

∴f（x）在（1,3）内有零点．

由f（x）是单调函数知，f（x）有且仅有一个零点．

9、[解析]　∵－

是函数的零点，∴f

＝0，

∵f（x）为偶函数，∴f（

）＝0，

∵f（x）在（－∞，0]上递增，f（log

x）≥f

，

∴0≥log

，∴1≤x≤2，

∵f（x）为偶函数，

∴f（x）在[0，＋∞）上单调减，

又f（log

x）≥f（

），

∴0≤log

x≤

，∴

≤x≤1，∴

≤x≤2.

故x的取值集合为{x|

≤x≤2}．

10、【解析】　∵f（－1）＝3－1－（－1）2＝－

f（0）＝30－02＝1>

∴f（－1）·

又函数f（x）在[－1,0]上的图象是连续曲线，

∴方程f（x）＝0在[－1,0]内有实根．

又函数f（x）＝3x－x2在[－1,0]上是增函数，

∴方程f（x）＝0在[－1,0]上只有一个实数根．

11、解　（答案不唯一）

设y1＝

，y2＝4－x，则f（x）的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象，如图．

由图知，y1与y2在区间（0,1）内有一个交点，

当x＝4时，y1＝－2，y2＝0，f（4）<

当x＝8时，y1＝－3，y2＝－4，f（8）＝1>

∴在（4,8）内两曲线又有一个交点．

故函数f（x）的两零点所在的区间为（0,1），（4,8）．

12、解　①当a＝0时，方程即为－2x＋1＝0，只有一根，不符合题意．

②当a>

0时，设f（x）＝ax2－2x＋1，

∵方程的根分别在区间（0,1），（1,2）上，

∴

，即

，解得

a<

③当a<

0时，设方程的两根为x1，x2，

则x1x2＝

0，x1，x2一正一负不符合题意．

综上，a的取值范围为

13、A　[∵①中x0∈[a，b]且f（x0）＝0，∴x0是f（x）的一个零点，而不是（x0,0），∴①错误；

②∵函数f（x）不一定连续，∴②错误；

③方程f（x）＝0的根一定是函数f（x）的零点，∴③错误；

④用二分法求方程的根时，得到的根也可能是精确值，∴④也错误．]

14、解　第一次各13枚称重，选出较轻一端的13枚，继续称；

第二次两端各6枚，若平衡，则剩下的一枚为假币，否则选出较轻的6枚继续称；

第三次两端各3枚，选出较轻的3枚继续称；

第四次两端各1枚，若不平衡，可找出假币；

若平衡，则剩余的是假币．

∴最多称四次．

15、证明　设f（x）＝x4－4x－2，其图象是连续曲线．

因为f（－1）＝3>

0，f（0）＝－2<

0，f

（2）＝6>

所以在（－1,0），（0,2）内都有实数解．

从而证明该方程在给定的区间内至少有两个实数解．

16、解　令f（x）＝mx2＋2（m＋3）x＋2m＋14.

依题意得

或

即

，解得－

m<

17、解　设f（x）＝x2＋（k－2）x＋2k－1.

∵方程f（x）＝0的两根中，一根在（0,1）内，一根在（1,2）内，

k<

.

18、解　∵f（1.375）·

f（1.4375）<

且|1.4375－1.375|＝0.0625<

∴方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根可取为区间（1.375，1.4375）中任意一个值，通常我们取区间端点值，比如1.4375.

19、解　

（1）方法一　（方程思想）

设方程的两个根为x1，x2，

则有两个负根的条件是

解得－1<

m≤0.

方法二　（函数思想）

设函数f（x）＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f（x）与x轴的两个交点均在y轴左侧，结合函数的图象，有

（2）方法一　（方程思想）

设方程的两个根为x1，x2，则令y1＝x1－2>

0，y2＝x2－2<

0，问题转化为求方程（y＋2）2＋2（y＋2）＋m＋1＝0，即方程y2＋6y＋m＋9＝0有两个异号实根的条件，故有y1y2＝m＋9<

0，解得m<

－9.

设函数f（x）＝x2＋2x＋m＋1，则原问题转化为函数f（x）与x轴的两个交点分别在2的两侧，结合函数的图象，

有f

（2）＝m＋9<

（3）由题意知，

（方程思想），

（函数思想），

因为两方程组无解，故解集为空集．

20、解　

（1）f（x）＝x|x－4|＝

图象如右图所示．

（2）当x∈[1,5]时，f（x）≥0且当x＝4时f（x）＝0，故f（x）min＝0；

又f

（2）＝4，f（5）＝5，故f（x）max＝5.

（3）由图象可知，当0<

4时，

方程f（x）＝a有三个解．

21、[解析]　

（1）任取x1、x2∈（－1，＋∞），不妨设x1<

x2，则x2－x1>

0，ax2－x1>

1，且ax1>

∴ax2－ax1＝ax1（ax2－x1－1）>

又∵x1＋1>

0，x2＋1>

－

＝

于是f（x2）－f（x1）＝ax2－ax1＋

0，故函数f（x）在（－1，＋∞）上为增函数．

（2）证法1：

设存在x0<

0（x0≠－1），满足f（x0）＝0，则ax0＝－

，且0<

ax0<

1，

∴0<

1，即

x0<

2.与假设x0<

0矛盾，故方程f（x）＝0没有负数根．

证法2：

0（x0≠－1），满足f（x0）＝0

（Ⅰ）若－1<

0，则

－2，ax0<

∴f（x0）<

－1与f（x0）＝0矛盾．

（Ⅱ）若x0<

－1，则

0，ax0>

∴f（x0）>

0与f（x0）＝0矛盾，故方程f（x）＝0没有负数根．