量子力学习题集汇集Word文件下载.docx
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2'
C3「3
下测力学量F的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数'
■已归一或不归
一的情况）.
第二章习题
1.一粒子在二维势场
0,0vx<
a,0<
yvb
V（x*L其它
中运动，求粒子的能级和波函数.能级是否简并?
2.由哈密顿算符
■2
2m222222H存，K2y“K3Z
2m2
所描述的体系，称各向异性谐振子.求其本征态和本征值.
3.禾U用递推关系
证明
并由此证明在=n态下
P=0,T=
第四章习题
1.证明’汀-A（cos、：
isin、：
cos）
为L2和Ly的共同本征态，并求相应的本征值。
说明当体系处在此状态时，
Lz没有确定值。
L2
2.对于一转动惯量为I的平面转子，其能量算符为H二」，求体系的能量本
征态。
如'
■（,0^Asin:
，求'
■（:
t）。
3.量子化对称陀螺的哈密顿量可写成
Hj]"
A
试求该对称陀螺的能量本征值。
4.一质量为m的粒子被限制在半径为r二a和r=b的二个不可穿透同心球面之间运动，不存在其它势。
求粒子的基态能量和归一化本征函数。
第五章习题
1.J为一角动量算符。
试计算Jx、Jy、Jz在J,JJ的共同本征函数构成的
1
表象中，j=1的子空间的矩阵表示。
2.已知体系的哈密顿量H与另一力学量B在能量表象中的表示为
‘100、
b10、
H=%
020
B=b
100
©
02>
e0b
t=0时体系的态矢量为
第六章习题
1.设氢原子状态是
（1、-R21（r）Y11^/P）屮=2厂
-=&
1丫10（9浮）
<
2丿
（1）求Lz和Sz的平均值；
（2）求总磁矩M—^—S的z分量的平均值（用玻尔磁子表示）
2
2.在Sz表象下求解Sx的本征值方程.在Sx的本征矢测量Sz有哪些可能值？
这些可能值出现的几率及平均值•并求此状态在Sx表象中的表示.
第七章习题
1.某物理体系由两个自旋1的非全同粒子组成•已知粒子1处于％=丄的本
22
征态，粒子2处于S2X=1的本征态，求体系总自旋S2的可能测量值及相应的概率（取衣=1）.
2.—个处于中心势的粒子具有轨道角动量L=2'
和自旋S=1•求和形如
Hs。
二ALS的自旋一轨道相互作用项相关的能级和简并度，这里A是个常
数.
3.两个自旋一的粒子组成的系统由等效Hamilton量
H=ASizS2zBSiS2
描述，其中Si、S2是两个粒子的自旋，Siz、S2z是它们的z分量，A和B为
常数.求该Hamilton量的所有能级.
4.两个无相互作用的粒子，质量相同为m，处于一维无限深势阱中，势阱宽为2a,在阱中势为零，阱外势无穷大.
（1）求系统四个最低能级的值是多少？
（2）求这些能级的简并度，如果这两个粒子（i）是全同粒子，自旋为一；
（ii）不是全同粒子，自旋都为一；
（iii）全同粒子，自旋为1.
5.固定在z轴上的两个电子间存在一个磁偶极一偶极相互作用能
H二ASS2-3SzS2z
-1--*
Sj，二i为Pauli矩阵，A为常数（令“勺）.
（1）用总自旋算子^S1S2表示HA.
（2）求HA的本征值和简并度.
a（X）,S（X），
6•某个特殊的一维势阱具有下列束缚态单粒子能量本征函数:
c（X），…，其中Ea：
Eb：
Ec….两个没有相互作用的粒子置于该势阱中•对下列
（1）,
（2）,（3）各种情形写下：
两粒子体系可能达到的两个最低能级；
上述两个能级各自的简并度；
与上述能级相应的所有可能的两粒子波函数（用「表示空间部分，|S,Ms）表示自旋部分，S是总自旋）.
（1）两个自旋为1/2的可区分粒子.⑵
两个自旋为12的全同粒子.（3）两个自旋为0的全同粒子.
第八章习题
（c«
m^2）。
试用微扰论求能级移动，并与精确结果比较
2.—个二维各向同性谐振子，质量为m，频率为•‘。
在加入微扰H=■xy（■为常数）后，求基态和第一激发态的一级能量修正。
3.设哈密顿量在能量表象中的矩阵表示为
但⑼+ab、
lbE20）+a」
其中a、b为实数。
求
（1）用微扰公式求能量至二级修正值。
（2）直接求能量，并与
（1）所得结果比较。
总复习题
1.试简述一力学量为守衡量的条件及守衡量有哪些性质
2.某一角动量算符满足
JJ=iJ
如果定义：
J+=JX+iJy,J-=Jx-iJy
试证明：
（1）[Jz，J_]二_J_;
（2）[J2,J_]=0
3.已知一厄密算符在正交归一基矢｛|uj,U2>
U3）｝张成的三维空间中取如下矩阵形式
*101:
101丿
求其本征值和本征矢•
4.实际氦原子的基态当然是非简并的。
但是，考虑一假想的氦原子，
其中两个带负电的，自旋为1的全同粒子代替了原来的两个电子。
对这种假想的氦原子，问其基态的简并度是多少？
给出你的理由（忽略与
自旋有关的作用）。
5•试写出一被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子的能量本征方程，并求解之。
?
6•对于坐标x构成算符e
（1）证明它是厄密算符；
（2）求出它在坐标、动量表象中的表示。
7.有一在丄m「2x2势作用下的一维谐振子，它在某一瞬时的波函数为
'
（xH4'
-5（X^7-6（X）
式中'
-；
n（X）为其归一化的本征函数，相应的本征值为
（1）求这一时刻的能量平均值；
（2）求这一时刻的位置平均值；
（3）过了一秒钟后，能量平均值和位置平均值是否发生变化？
为什么?
8•有一三电子系统，电子有三种可能的轨道态\b,「c和两种自旋态.，则系统的反对称波函数的数目是多少？
并举出两个具体例子。
9•已知体系的哈密顿算符在某表象中的矩阵表示为
f2z0
H=02e0
工0
（1）求体系能量本征值及归一化本征矢；
（2）
求将H对角化的幺正变换矩阵。
的几率。
如果在Sx表象中求解上述问题，会得到什么结果?
11.试证明守恒量的平均测量值不随时间变化
12•在轨道角动量算符L2和Lz的共同本征态Ym（C）下，计算下列期望值:
（1）匚和Ly；
（2）LX和L；
；
（3）.丄X和L；
13•自旋s=0的三个全同粒子处在某有心力场中，忽略粒子之间的相互作用。
三个粒子所处单粒子定态的量子数nr和l均相同，且I=1。
求体系的可能的状态数,并且用简练的形式（如Dirac符号）表示之。
14•设哈密顿量在能量（Ho）表象中的矩阵为
其中a、b为小量。
（1）用微扰法求能级至二级修正值；
（2）求准确的能级值，与
（1）的结果进行比较确定微扰法的准确度及适用条件
15.考虑一个具有三维态空间的物理体系。
在态空间选定一组正交归一基，在这组基下，哈密顿量可用矩阵
210
H=120
I。
03；
表示。
（1）当测量系统的能量时，可能的结果是什么？
•
i
-i
一个角动量算符，即满足对易关系
LL=iL
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