数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824文档格式.docx
《数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数学分析课本华师大三版习题及答案第二十一章0511214824文档格式.docx(12页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
Df二0,则在D上fx,y.=0。
7・证明:
若f在可求面积的有界闭域D上连续,,g在D上可积且不变号,则存在一点
D,使得
fx,ygx,ydxdy=f,gx,ydxdy.
DD
8.应用中值定理估计积分
rrdxdy
22-
凶砒o1OOcosxcosy
的值
2二重积分的计算
1.计算下列二重积分:
⑴y-2xdxdy,其中D=3,5】1,2】;
⑵xy2dxdy,其中(i)D=0,2〕0,31(ii)D=0,3】0,2】;
⑶!
!
cosxydxdy,其中D=
⑷..
x
1xy
dxdy,其中D=
0,10,11.
2.设f(x,y)=flxf2y为定义在D=ai,bj^2,bj上的函数若fl在lai,b」上可积,f2在a2,b21上可积,则f在d上可积,且
3.设f在区域D上连续试将二重积分fx,ydxdy化为不同顺序的累次积分
(1)D由不等式y-x,y-a,x-b0-a-b所确的区域
222
⑵D由不等式xy_a与xy<
a(a>
0)所确定的区域
(3)D=如,y)x+y
4.在下列积分中改变累次积分的顺序
(1)0dxxf(x,ydy;
11^x2
⑵jd^_1^2fx,ydy;
⑶0dy0fx,ydy+dx
3
dy.
5.计算下列二重积分
X专(p>
0)所围的区域;
2
(1)iixydxdy,其中D由抛物线y=2px与直线
⑵11ix2y2dxdy,其中D=:
x,y0_x_1,.x乞y乞2一x[
卄dxdy
(3)..(a>
0),其中D为图(20—7)中的阴影部分;
d2a-x
⑷Il-xdxdy,其中D='
x,yx2y2乞xj
(5)Ilxydxdy,其中为圆域x2ya2.
6.写出积分11fx,ydxdy在极坐标变换后不同顺序的累次积分
d
22
(1)D由不等式xy乞1,y^x,y-0所确定的区域
⑵D由不等式a2_x2•y2_b2所确定的区域
(3)d=:
x,yx2y2zy,x_0「
7•用极坐标计算二重积分:
⑴Ilsinx2y2dxdy,其中D='
x,y二2乞x2y2<
4~2'
;
(2)xydxdy,其中D^x,yx2y2_xy』;
曽fr
(3)ii「x2•y2dxdy,其中d为圆域x2R2.
8•在下列符号分中引入新变量后,试将它化为累次积分:
22丄
(1)0dxf(x,y)dy,其中u=x+y,v=x-y;
(2)iifx,ydxdy,其中D=,x,y.xy乞.a,x_0,y_0』,若x=Ucos4v,
4
y二Usinv.
(3)iifx,ydxdy,其中D=,x,yxy—a,x—0,y—Of,若x+y=u,y=uv.
9•求由下列曲面所围立体V的体积:
(1)v由坐标平面及x=2,y=3,x+y+Z=4所围的角柱体;
22|一,
(2)v由z=x*y和z=x+y围的立体;
2222
2xvxv
(3)v由曲面Z和2Z=所围的立体•
4949
11.试作适当变换,计算下列积分:
(1)11[xysinx-ydxdy,D=:
x.y0_xy_二0_x-y_T;
y
(2)Iiexydxdy,D=x,yxy岂1,x_0,y_0
12.设f:
[a,b]tR为连续函数,应用二重积分性质证明
-bI2jb
|[f(xdxI兰(b—a)[f(xdx,
其中等号仅在f为常量函数时成立。
13.设f为连续函数,且f(x,y)=f(y,x)
1x1x
证明:
.0dx0fx,ydy=0dx0f1-x,^ydy.
14.求由下列曲线所围成的平面图形面积:
(1)x+y=a;
x+y=b;
y=ax;
y=3x,(a>
b,a>
3)
(22A2
⑵=x^y2
2b丿
F(y)的
1
15.设f(x,y)=sfn(x-y),试讨论函数F(y)=l0f(x,ydx在(一00严]上的连续性并作出
图像.
』2f(x)x0a,b)
0,x^(a,b)
3三重积分
1.计算下列积分
⑴川$丫十乙2dxdydz,其中v=匚2,5^匚3,3’0,1】;
⑵[[[xcosycoszdxdydz,其中v=0,1][o,?
lx.卩冷I
(3)dxdydz—,其中、是由x+y+z=1与三个坐标面所围成的区域
"
v(1+x+y+z3
J—
⑷111ycosxzdxdydz,其中V是由y=x,y=o,z=o及x+z=?
所围成的区域.
2.试改变下列累次积分的顺序:
11••xy
odxodyofx,y,zdz;
11x2-y2
odxodyofx,y,zdz.
x2
0dx
dz」fx,y,zdy
3•计算三重积分:
(1)iiiZ2dxdydz,其中V由Xy2z2_r2和x2•y2•z2_2rz所确定;
1、1\2_x2_y2
⑵odxody、,zdz.
4•利用适当的坐标变换,计算下列各曲面所围成的体积
(1)Z=x2y2,z=2x2y2,y=x,y=x2;
⑵;
+()lab丿ic丿
af
—I=1,(xx0,yA0,zA0,a>
0,b>
0,c>
0)
5•设f(x,y,z)在长方体V=a,Jc,d】e,f上可积,若对任何y,zD=c,d】b,f1
b
定积分F(y,z)=fx,y,zdx
a
存在,证明F(y,z)在D上可积,且
Fy,zdydz=iiifx,y,zdxdydz.
6.设v=」(x,y,z)务
22,
冷咅1计算下列积分:
2yb2
Z2
一2dxdydz;
c
⑵…訂沁dxdydz.
4重积分的应用
1.求曲面az=xy包含在圆柱x2y2二a2内那部分的面积
2.求锥面Z=.x2y2被柱面Z2=2x所截部分的曲面面积
3•求下列均匀密度的平面薄板重心:
⑴半椭圆务•$7_1,y_0;
ab
⑵高为h,底分别为a和b的等腰梯形.
4•求下列均匀密度物体重心:
(1)z^1-X2-Y2,z一0;
⑵由坐标面及平面x+2y-z=1所围四面体.
5•求下列均匀密度的平面薄板转动惯量:
(1)半径为R的圆关于其切线的转动惯量;
⑵边长为a和b,且夹角为「的平行四边形关于底边b的转动惯量
量.
7•计算下列引力:
.…222
⑴均匀薄片xy<
Rz=0对于轴上一点(0,0,c)(c>
0)处的单位质量的引力
pop
⑵均匀柱体xy辽a,0^z乞h对于P(O,O,c)(c>
h)处单位质量的引力•
8•求曲面
x=bacossin「0三-2
y=bacoscos「0__2
z=asin
的面积,其中a,b常数且0乞a岂b.
9•求螺旋面
x=rcosv0込r玄a
y=rsinv0込v:
:
二
z二b)
的面积
10.求边长为I的正方形的薄板的质量,该薄板上每一点的密度与该点距正方形某顶点的距离成正比,且在正方形中点处密度为T0・
11.求边长为a密度均匀的正方体,关于其任一棱边的转动惯量
1.设
f(x,y>
r
1,
2y,
X为无理数
x为有理数
x,y产D=0,110,11
(1)证明f在D上不可积;
11
(2)说明[dx[f(x,ydy存在,并求它的值
(3)说明f在D上先x后y的累次积分不存在
2•设平面上区域D在x轴和y轴上的投影长度分别为Lx,Ly,D的面积为lD,(a,3)为D
内任一点证明:
⑴JJ(x_a[y—BjdxdyMLxLyAD
口(x_a[y_0)dxdy
3•试作适当变换,把下列重积分化为单重积分
(1)iifx2y2dxdy;
X2y2勺
⑵jjfQx2+y2dxdy,其中D=Qx,ypy兰x,x"
};
(3),.fxydxdy;
|x|:
y|」
(4)iifxydxdy,其中D=x,yx辽y玄4x,1玄xy辽2二
4.计算下列积分:
(1)Ilxydxdy;
0?
x,y_2
(2)iisgnx2-y22dxdy.
x2Hy2应
(1)f(x,y)=sin2xcos2y,D=qx,y0_x■■:
0_y_V;
⑵fx,y,z=xyz,
D=1x,y,zx2y2z2二xyzf.
6•设
aibiCi
b2c2式0
a3
b3C3
求平面
aixbiy6z=hi
a2xb2yc2z二h2
a3Xb3yC3Z二h3
所界平行六面体体积.
7•研究函数
F(y)=[f4dx
0xy
的连续性,其中f为[0,i]上正连续函数
io•设f:
R3>
R是连续可微函数,证明函数
b3b2
H(x)=adzjf(x,y,zdy
83a2
xy
11.设F(x,y)=xx-yzfzdz,其中f为可微函数,求FXyx,y.
12.设f为可微函数,求下列函数F的导数:
(1)F(t)=iiifx2y2z2dxdydz;
x2勺24z2g2
⑵F(t)=Iifxyzdxdydz,其中
v='
x,y,z0—x,y,z—tl