立体几何单元检测.docx

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立体几何单元检测

立体几何单元检测

（一）

一、填空题：

1.下列命题正确的是.

若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行.

若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行.

若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行.

若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行.

【答案】

2.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和，且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是.

【答案】

【解析】因为则，，

3.如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________.

【答案】

4.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为.

【答案】

5.如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为cm3．

【答案】6。

【解析】∵长方体底面是正方形，∴△中cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。

∴四棱锥的体积为。

三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．

课标理数12.G1[2011·福建卷]【答案】

l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（　　）

A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3

B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3

C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面

D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面

大纲理数3.G3[2011·四川卷]B　【解析】对于A，直线l1与l3可能异面；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱三条侧棱所在直线时而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面.所以选B.

图1－3

课标文数15.G4[2011·福建卷]如图1－3，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．

课标文数15.G4[2011·福建卷]　【解析】∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面AB1C＝AC，

∴EF∥AC，

又∵E是AD的中点，

∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线，

∴EF＝AC＝×2＝.

二、解答题：

【2012高考真题广东理18】（本小题满分13分）

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

（1）证明：

BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

【答案】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查直线与平面垂直的证明、二面角的求解等问题，考查了学生的空间想象能力以及推理论证能力.

【2012高考江苏16】（14分）如图，在直三棱柱中，，分别是棱上的点（点不同于点），且为的中点．

求证：

（1）平面平面；

（2）直线平面．

【答案】证明：

（1）∵是直三棱柱，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵平面，∴平面。

又∵平面，∴平面平面。

（2）∵，为的中点，∴。

又∵平面，且平面，∴。

又∵平面，，∴平面。

由

（1）知，平面，∴∥。

又∵平面平面，∴直线平面

【考点】直线与平面、平面与平面的位置关系。

【解析】

（1）要证平面平面，只要证平面上的平面即可。

它可由已知是直三棱柱和证得。

（2）要证直线平面，只要证∥平面上的即可。

【2012高考真题福建理18】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点.

（Ⅰ）求证：

B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？

若存在，求AP的行；若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小为30°，求AB的长.

【答案】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面的位置关系及二面角的概念与求法等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、基本运算能力，以及函数与方程的思想、数形结合思想、化归与转化思想.

【2012高考真题上海理19】（6+6=12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，

底面，是的中点，已知，，，求：

（1）三角形的面积；

（2）异面直线与所成的角的大小。

【答案】

【解析】

（1）∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，

又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

∴CD⊥PD，

又∵，CD=2，

∴△PCD的面积为。

（2）解法一：

取PB的中点F，连接EF,AF,

则EF∥BC，∴∠AEF（或其补角）是异面直线

BC与AE所成的角。

在△ADF中，EF=、AF=,AE=2，

∴△AEF是等腰直角三角形，

∴∠AEF=，

∴异面直线BC与AE所成的角大小为。

解法二：

如图所示，建立空间直角坐标系，

则B（2,0,0）,C（2，,0）,E（1，,1），∴=（1，,1），=（0,,0）,

设与的夹角为，则

=,,

又∵0＜≤，∴=。

【点评】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．综合考查空间中两条异面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运用.本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况，要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题．

课标数学16.G4，G5[2011·江苏卷]如图1－2，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E、F分别是AP、AD的中点．

图1－2

求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD.

课标数学16.G4，G5[2011·江苏卷]本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．

【解答】证明：

（1）在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，

图1－3

所以直线EF∥平面PCD.

（2）连结BD，因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（　　）

A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

课标文数4.G4[2011·浙江卷]B　

已知直二面角α－l－β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足．若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝（　　）

A．2B.C.D．1

大纲文数8.G5[2011·全国卷]C　

[2011·湖北卷]如图1－4，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．

（1）当CF＝1时，求证：

EF⊥A1C；

（2）设二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．

图1－4

课标理数18.G5，G11[2011·湖北卷]【解答】解法1：

过E作EN⊥AC于N，连结EF.

（1）如图①，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，底面ABC⊥侧面A1C，

又底面ABC∩侧面A1C＝AC，且EN⊂底面ABC，所以EN⊥侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，

在Rt△CNE中，CN＝CEcos60°＝1，

则由＝＝，得NF∥AC1.

又AC1⊥A1C，故NF⊥A1C，

由三垂线定理知EF⊥A1C.

（2）如图②，连结AF，过N作NM⊥AF于M，连结ME，

由

（1）知EN⊥侧面A1C，根据三垂线定理得EM⊥AF，

所以∠EMN是二面角C－AF－E的平面角，即∠EMN＝θ，

设∠FAC＝α，则0°<α≤45°.

在Rt△CNE中，NE＝EC·sin60°＝，

在Rt△AMN中，MN＝AN·sinα＝3sinα，

故tanθ＝＝.

又0°<α≤45°，∴0

故当sinα＝，即当α＝45°时，tanθ达到最小值，

tanθ＝×＝，此时F与C1重合．

下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

课标理数4.G5[2011·浙江卷]D　

如图1－6，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°.

图1－6

（1）证明：

平面ADB⊥平面BDC；

（2）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．

课标理数16.F2[2011·陕西卷]【解答】

（1）∵折起前AD是BC边上的高，

∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB.

又DB∩DC＝D，

∴AD⊥平面BDC，

∵AD平面ABD，

∴平面ABD⊥平面BDC.

（2）由∠BDC＝90°及

（1）知DA，DB，DC两两垂直，不妨设|DB|＝1，以D为坐标原点，以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0,0,0），B（1,0,0），C（0,3,0），A（0,0，），

图1－7

E.

∴＝，

＝（1,0,0），

∴与夹角的余弦值为

cos〈，〉＝＝＝.

如图1－3，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（　　）

图1－3

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

课标理数8.G12[2011·辽宁卷]D　

已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题中正确的为（　　）

A．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

B．若m∥α，m∥β，则α∥β

C．若m∥α，n∥α，则m∥n

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（　　）

A.B.

C.D.