全等三角形经典题型50题含答案Word文件下载.docx
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EF=AC
5.已知:
AD平分ZBAC,AC=AB+BD,求证:
ZB=2ZC
BAC•••/EAD=ZBAD'
AE=AB,
在AC上截取AE=AB,连接ED•/AD平分Z
AD=AD•••"
AED6ABD(SAS):
丄AED=ZB,DE=DB•/AC=AB+BD
AC=AE+CE•CE=DEC=ZEDC^ZAED=ZC+ZEDC=2ZC「・ZB=2ZC
6.已知:
AC平分ZBAD,CE丄AB,ZB+/D=180°
AE=AD+BE
在AE上取F,使EF=EB,连接CF因为CE丄AB所以ZCEB=ZCEF=因为
EB=EF,CE=CE,所以△CEB也△脸EZB=ZC因为ZB+ZD=18QTCFE+ZCFA
=180。
所以ZD=ZCFA为AC平分ZBAD所以ZDAC=ZFAC因为AC=AC所以
△ADC^AAFCAS)所以AD=AF所以AE=AF+FE=AD+BE
故"
FCEDCE(AAS),FC=CD>
BF+FC=AB+CD.
又ZFCE=ZDCE,CE=CE,
D;
13.已知:
AB//ED,ZEAB=ZBDE,AF=CD,EF=BC,求证:
ZF=ZC
AB//ED,AE//BD推出AE=BD,
又有AF=CD,EF=BC
所以三角形AEF全等于三角形DCB,
所以:
/C=ZF
14.已知:
AB=CD,/A=ZD,求证:
/B=ZC
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD<
BC时,E点是射线BA,CD的交点,当AD>
BC时,E点是射线AB,DC的交点)。
则:
△AE是等腰三角形。
所以:
AE=DE而AB=CD所以:
BE=CE(等量加等量,或等量减等量)所以:
△是等腰三EC形所以:
角B=角C.
15.
D
P是ZBAC平分线AD上一点,AC>
AB,求证:
PC-PB<
AC-AB作B关于AD的对称点B'
,因为AD是角BAC的平分线,
B'
在线段AC上(在AC中间,因为AB较短)因为
PC<
PB'
+B'
C,PGPB'
<
B'
C,而
C=AC-AB'
=AC-AB,所以PC-PB<
AC-AB
16.已知ZABC=3ZC,Z1=Z,BE丄AE,求证:
AC-AB=2BE
ZBAC=180-(ZABC+ZC=1804ZC
Z1=ZBAC/2=90-2ZC
ZABE=90-Z仁2ZC
延长BE交AC于F因为,Z1=Z2,BE丄AE
所以,△A是等腰三角形
AB=AF,BF=2BE/FBC=/ABCABE=3ZC/C=/CF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF=2B
E
17.
已知,E是AB中点,AF=BD,BD=5,AC=7,求
DC
作AG//BD交DE延长线于G
AGE全等BDE
AG=BD=5AGFsCDF
AF=AG=5
所以DC=CF=2
18.(5分)如图,在△ABC中,BD=DC,/仁Z2,求证:
AD丄BC.
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
/DBC=/角DCB;
/1=/2;
/DBC+/1=/匍CB+Z2;
/ABC=/ACB;
AB=AC;
三角形ABD全等于三角形ACD;
/BAD=/CADAD是等腰三角形的顶角平分线所以:
AD垂直BC
19.(5分)如图,0M平分/POQ,MA丄OP,MB丄OQ,A、B为垂足,AB交0M于点N.
求证:
/OAB=ZOBA
因为AOM与MOB都为直角三角形、共用
所以MA=MB所以/MAB=/MBA
因为/OAM=ZOBM=90度
OM,且/MOA=ZMOB
所以/OAB=90/MAB/OBA=90/MBA所以/OAB=/OBA
20.(5分)如图,已知AD//BC,/PAB的平分线与/CBA的平分线相交于E,CE的连线
交AP于D.求证:
AD+BC=AB.
做BE的延长线,与AP相交于F点,
•/PA//BC•••/PAB+/CBA=180°
又•••,AE,BE均为/PA和/CBA勺角平分线
•••/EAB+/EBA=90°
AEBE90B为直角三角形在三角形ABF
中,AE丄BF,且AE为/FAB勺角平分线
•三角形FAB为等腰三角形,
AB=AF,BE=EF在三角形DEF与三角形BEC中,/EBC=/DFE,
且BE=EF,/DEF=/CEB,•三角形EF与三角形BEC为全等三角形,
•DF=BC•AB=AF=AD+DF=AD+BC
21.(6分)如图,△ABC中,
AD是/CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
/C=2ZB
在AB上找点E,使AE=AC•/AE=AC,/EAD=/CAD,
AD=ADADE◎△ADC。
DE=CD,
/AED=/CvAB=AC+CD,
•DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE/B=/EDB/C=/B+/EDB
=2ZB
22.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M.
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立
请给予证明;
若不成立请说明理由.
分析:
通过证明两个直角三角形全等,
即Rt△DECBRt△以及垂线的性质得出四边形BEDF
是平行四边形•再根据平行四边形的性质得出结论.
解答:
解:
(1)连接BE,DF.•/DE丄AC于E,BF丄AC于F,,a/DEC=/BFA=90D°
BF,在Rt△DE(和Rt△BF中,TAF=CEAB=CD,aRt△DECBRt△BFA,aDE=BF.a四边形
BEDF是平行四边形.aMB=MME=MF;
(2)连接BE,DF.•••DE丄A(于E,BF丄AC于F,,a/DEC=/BFA=90°
DE//BF,在
Rt△DEC口Rt△BF中,•/AF=CE,AB=CD,aRt△DECBRt△•BFAE=BF.a四边形BEDF
是平行四边形.AMB=MME=MF.
23.(7分)已知:
如图,DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点,
△AEDBzEBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC外,请再写出两
C
个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
(1)DC//AE,且DC=AE,所以四边形AECD是平行四边形。
于是知
AD=EC,且/EAD=/BEC。
AE=BE,所以△AED◎△EBC。
(2)△AEC、△ACD、A都面积相等。
24.(7分)如图,△ABC中,/BAC=90度,AB=AC,BD是/ABC的平分线,BD的延长
线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F.
BD=2CE.
延长BA、CE,两线相交于点F•/BE丄CE/•/BEF=/BEC=90在△BEF和△BEC中/FBE=/CBE,BE=BE,/BEF=/BEC•••△BEF◎△BEC(ASA)/•EF=EC/•CF=2CE
•//ABD+/ADB=90°
/ACF+/CDE=90又v/ADB=/CDE
•••/ABD=/ACF在△ABD和△ACF中
/ABD=/ACF,AB=AC,
/BAD=/CAF=90
•△ABD◎△ACF(ASA)
•BD=CF•BD=2CE
25、(10分)如图:
DF=CE,AD=BC,/D=/C。
△AED也^FC。
26、(10分)如图:
AE、BC交于点
BE//CF,BE=CF。
AM是△ABC的中线。
M,F点在AM上,
•••BE||CF•••/E=/CFM,/EBM=/FCM:
BE=CF
•••△BEMBACFM
•BM=CM「.AM是厶ABC勺中线•
27、(10分)如图:
在厶ABC中,BA=BC,D是AC的中点。
BD丄AC。
三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等,它们全等,所以角
们的和是180度,所以都是90度,BD垂直AC
28、(10分)AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。
BF=CF
在厶ABD^ACD^AB=ACBD=DCAD=AD
•△ABD◎△ACD^ZADB=/ADC:
/
BD在△:
BDC
△FDC中
BD=DC/BDF=/FDDF=DF
FBD◎△FCD•BF=FC
29、(12分)如图:
AB=CD,AE=DF,CE=FB。
求证:
AF=DE。
因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形
ABE=三角形CDF因为角DCB=角ABFAB=DCBF=CE
角形ABF=三角形CDE所以AF=DE
30.公园里有一条
Z”字形道ABCD,如图所示,其中
AB//CD,在AB,CD,BC三段
路旁各有一只小石凳
E,F,M,且BE=CF,M在BC的中点,试说明
三只石凳E,F,M恰好在一条直线上
证:
•••A平行CD(已知)•••/B=/C(两直线平行内错角相等)TM在BC的中点(已知)
•••EM=FM(中点定义)在厶BMEHACM中BE=CF(已知)/B=£
(已证)EM=FM
(已证)•△BM等与△CMFSAS)•••£
EMB=£
FMC(全等三角形的对应角相等)
•••£
EMF=£
EMB+£
BMF=£
FMC+£
BMC=180。
(等式的性质)
•E,M,F在同一直线上
31.已知:
点A、F、E、C在同一条直线上,BE=DF.求证:
△ABE◎△CDF.
•/AF=CE•AF+EF=CE+EF
•£
BEA=£
DFC又
•AE=CF•/BE//DF
•/BE=DF
"
ABE6
CDASO
32.已知:
如图所示,
AB=AD,
BC=DC,E、F分别是DC、
BC的中点,求证:
AE=AF。
连结BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等
腰△两底角相等得:
角
ABC=角ADC在结合已知条件证得:
△ADE也ZABF
得AE=AF
33•如图,在四边形ABCD中,E是AC上的一点,/
仁£
2,£
3=£
4,求证
£
5=£
6.
因为角1=角2£
所以角ADC=角ABC.又因为AC
是公共边,所以AAS==>三角形ADC全等于三角形ABC.
所以BC等于DC,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等
于三角形BEC所以/5=Z6
34.已知AB//DE,BC//EFD,C在AF上,且AD=CF,求证:
△KBC^BEF.
因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB
平行DE,BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=角F
(两直线平行,内错角相等)然后SSA(角角边)三角形
全等
35.已知:
如图,
AB=AC,BD
AC,CEAB,垂足分另【J为D、
BE=CD.
因为AB=AC,所以/EBC=/DCB
BD丄AC,CE丄AB所以/BEC=/CDB
E,BD、CE相交于点F,
(公共边)则有三角形EBC全等于三角形DCB所以
BE=CD
36、如图,在△ABC中,AD为/BAC的平分线,
DE丄AB于E,DF丄AC于F。
DE=DF.
AAS证△ADEBZADF
37.已知:
如图,ACBC于C,DEAC于E,AD
=AE.若AB=5,求AD的长?
角C=角E=90度
角B=角EAD=90度-角BAC
AB于A,BC
BC=AE
△\BC^zDAE
AD=AB=538.如图:
AB=AC,ME丄AB,MF丄AC,垂足分别为E、F,ME=MF。
MB=MC证明•••AB=AC
•••△AB是等腰三角形•••/B=ZC
又VME=MF,△BEM^ACEM!
直角三角形
•△BE全等于△CEM「.MB=MC
39.如图,给出五个等量关系:
①ADBC②ACBD③CEDE④DC
⑤DABCBA.请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,推出一个正确的结
论(只需写出一种情况),并加以证明.
已知:
证明:
已知1,2求证4因为AD=BCAC=BD,在四边形ADBC中,连AB所以△AD全等于△BCA
所以角D=角C
以4,5为条件,1为结论。
即:
在四边形ABCD中,ZD=ZC,ZA=ZB,求AD=BC因
为ZA+ZB+ZC+ZD=360ZD=ZCZA=ZB,所以2(ZA+ZD)=360;
ZA+ZD=180。
,所以AB//DC
40•在△ABC中,ACB90,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,
BEMN于E.⑴当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①ADC也CEB;
②DEADBE;
(1)证明:
•••/ACB=90,•••/ACD#BCE=90,而
ADLMN
于D,BELMN于E,
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,若不成立,说明理由
•••/ADC=/CEB=90。
,/BCE+/CBE=90°
•/ACD祀©
B©
•(和在Rt△CE中,
{/ADC=/CEB/ACD=/CBEAC=CB,
Rt△ADCBRAASCEB'
.(AD=CE,DC=BE,
•DE=DC+CE=BE+AD;
(2)不成立,证明:
在△
和ADCCE中,{/ADC=/CEB=90
/ACD=/CBEAC=CB,
•△ADC^ACAASO,
AD=CE,DC=BE,
DE=CECD=AD-BE;
41•如图所示,已知
AE丄AB,AF丄AC,AE=AB,AF=AC。
(1)EC=BF;
(2)EC
丄BF
(1)证明;
因为AE垂直AB所以角EAB=角EAC+角
CAB=90度因为AF垂直AC所以角CAF=角CAB+角
BAF=90度所以角EAC=角BAF因为AE=AB
AF=AC所
F
以三角形EAC和三角形FAB全等所以
EC=BF角ECA=角F
(2)
(2)延长FB与EC的延长线交于点
G因为角ECA=角F(已证)所以角G=角CAF因为
44.如图,已知AC伯D,EA、
EB分别平分/CAB和/DBA,
CD过点E,贝UAB与AC+BD
角CAF=90度所以EC垂直BF
N
(1)
•/BE丄AC
CF丄AB•
ABM+/BAC=90°
4/
\
€
/ACN+/
BAC=90°
/
/ABM=/
ACNvBM=AC,
Ae
CN=AB•••△ABM^A
NACaam=an
B
(2)
•/△ABMBA
NAC/
•/BAM=/
Nv/N+/
BAN=90°
BAM+/BAN=90。
即
42.如图:
BE丄AC,CF丄AB,BM=AC,CN=AB。
(1)AM=AN
;
(2)AM丄AN。
/MAN=90°
aAM丄AN
43.如图,已知/A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC//EF
连接BF、CE,
证明△AB全等于△DE(S(S),
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
相等吗?
请说明理由
在AB上取点N,使得AN=AC/CAE=/EAN,AE为公共边,
所以三角形CAE全等三角形EAN
所以/ANE=/AC又AC平行BD
所以/ACE+/BDE=18而/ANE+/ENB=180
所以/ENB=/BDE/NBE=/BB为公共边,
所以三角形EBN全等三角形EBD
所以BD=BN所以AB=AN+BN=AC+BD
45、(10分)如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE.求证:
BE//CF.
•••A是中线•••BD=CD•/DF=DE,
/BDE=/CDFBDE◎△CDF
BED=/CFD•BE||CF
46、(10分)已知:
如图,AB=CD,DE丄AC,BF丄AC,E,
F是垂足,DEBF.
AB//CD.
•/DE丄ACBF丄AC,DEC=/
AFB=90在Rt△DEC
和Rt△BFA中,DE=BF,AB=CD,•Rt△DEC^Rt△BFA,
•••/C=/A,「.AB//CD.
47、(10分)如图,已知/1=/2,/3=Z4,求证:
AB=CD
48、(10分)如图,已知AC丄AB,DB丄AB,AC=
BE,AE=BD,试猜想线段CE与DE的大小与位置关系,并证明你的结论•
结论:
CE>
DE。
当/AE越小,贝UDE越小。
过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件
知AFDE为平行四边形,
ABEC为矩形,且△DF为等腰三角形。
RT△中AN
AE为锐
角,即/AEB<
90
DF//AE/FDB=/AEB<
90°
△中DFB
/DFB=/DBF=(180-/FDB)/2>
45
RT△中,玄FBA=90-ZDBF<
/AFB=90-ZFBA>
AB>
AF•/AB=CAF=DE/•CE>
DE
49、
(10分)如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE,求证:
AE=DE.
先证明△ABC^/BDC的出角ABC=角DCB
在证明△ABE^/DCE
得出AE=DE
50.如图9所示,AABC是等腰直角三角形,/ACB=90°
AD是BC边上的中线,过C
作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:
/ADC
图9
=ZBDE.
作CG平分/AC交AD于GvZACB=90°
二/ACG=
/DCG=45°
vZACB=90°
AC=BC•••/B=ZBAC=45°
「・ZB=ZDCG=ZACGvCF丄AD「・ZACF+ZDCF=90°
vZACF+ZCAF=90°
「・ZCAF=ZDCF•/AC=CBACG=ZACG^^CBE•CG=BE
vZDCG=ZBCD=BD•△CDG◎△BDEADC=ZBDE