二面角练习课.docx
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二面角练习课
二面角练习课
教学目标
1.使学生进一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念;
2.使学生掌握求二面角平面角的基本方法,不断提高分析问题和解决问题的能力.
教学重点和难点
重点:
使学生能够作出二面角的平面角;
难点:
根据题目的条件,作出二面角的平面角.
教学设计过程
重温二面角的平面角的定义.
(本节课设计的出发点:
空间图形的位置关系是立体几何的重要内容.解决立体几何问题的关键在于做好:
定性分析,定位作图,定量计算,其中定性是定位、定量的基础,而定量则是定位,定性的深化.在面面关系中,二面角是其中的重要概念之一,它的度量归结为平面上角的度量,一般说来,对其平面角的定位是问题解决的关键一步.可是学生往往把握不住其定位的基本思路而导致思维混乱,甚至错误地定位,使问题的解决徒劳无益.这正是本节课要解决的问题.)
教师:
二面角是怎样定义的?
学生:
从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.
教师:
二面角的平面角是怎样定义的?
学生:
以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.
教师:
请同学们看下图.
如图1:
α,β是由l出发的两个半平面,O是l上任意一点,OC
α,且OC⊥l;OD
β,且OD⊥l.这就是二面角的平面角的环境背景,即∠COD是二面角α-l-β的平面角.从中我们可以得到下列特征:
(1)过棱上任意一点,其平面角是唯一的;
(2)其平面角所在平面与其两个半平面均垂直;
另外,如果在OC上任取一点A,作AB⊥OD,垂足为B,那么由特征
(2)可知AB⊥β.突出l,OC,OD,AB,这便是另一特征.
(3)体现出一完整的三垂线定理(或逆定理)的环境背影.
教师:
请同学们对以上特征进行剖析.
学生:
由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成,所以二面角的定位可化归为“定点”或“定线”的问题.
教师:
特征
(1)表明,其平面角的定位可先在棱上取一“点”.耐人寻味的是这一点可以随便取,但又总是不随便取定的,它必须与问题背影互相沟通,给计算提供方便.
(上面的引入力争符合练习课教学的特点.练习是形成技能的重要途径,练习课主要是训练学生良好的数学技能,同时伴随着巩固知识,发展智能和培育情感.特别要注意做到第一,知识的激活.激活知识有两个目的,一是突出了知识中的重要因素;二是强化知识中的基本要素.第二,思维的调理.练习课成功的关键在于对学生思维激发的程度.学生跃跃欲试正是思维准备较好的体现.因此,准备阶段安排一些调理思维的习题,确保学生思维的启动和运作.请看下面两道例题.)
例1 已知:
如图2,四面体V-ABC中,VA=VB=VC=a,AB=BC=CA=b,VH⊥面ABC,垂足为H,求侧面与底面所成的角的大小.
分析:
由已知条件可知,顶点V在底面ABC上的射影H是底面的中心,所以连结CH交AB于O,且OC⊥AB,由三垂线定理可知,
VO⊥AB,则∠VOC为侧面与底面所成二面角的平面角.(图2)
正因为此四面体的特性,解决此问题,可以取AB的中点O为其平面角的顶点,而且使得题设背影突出在面VOC上,给进一步定量创造了得天独厚的条件.
特征
(2)指出,如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ,那么l必垂直γ与α,β的交线,而交线所成的角就是α-l-β的平面角.(如图3)
由此可见,二面角的平面角的定位可以考虑找“垂平面”.
例2 矩形ABCD,AB=3,BC=4,沿对角线BD把△ABD折起,使点A在平面BCD上的射影A′落在BC上,求二面角A-BD-C的大小的余弦值.
这是一道由平面图形折叠成立体图形的问题,解决问题的关键在于搞清折叠前后的“变”与“不变”.
如果在平面图形中过A作AE⊥BD交BD于O、交BC于E,则折叠后OA,OE与BD的垂直关系不变.但OA与OE此时变成相交两线并确定一平面,此平面必与棱垂直.
由特征
(2)可知,面AOE与面ABD、面CBD的交线OA与OE所成的角,即为所求二面角的平面角.
另外,A在面BCD上的射影必在OE所在的直线上,又题设射影落在BC上,所以E点就是A′,这样的定位给下面的定量提供了可能.
在Rt△AA′O中,∠AA′O=90°,
通过对例2的定性分析、定位作图和定量计算,特征
(2)从另一角度告诉我们:
要确定二面角的平面角,我们可以把构成二面角的两个半平面“摆平”,然后,在棱上选取一适当的垂线段,即可确定其平面角.“平面图形”与“立体图形”相映生辉,不仅便于定性、定位,更利于定量.
特征(3)显示,如果二面角α-l-β的两个半平面之一,存在垂线段AB,那么过垂足B作l的垂线交l于O,连结AO,由三垂线定理可知OA⊥l;或者由A作l的垂线交l于O,连结OB,由三垂线定理的逆定理可知OB⊥l.此时,∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.(如图6)
由此可见,二面角的平面角的定位可以找“垂线段”.
课堂练习
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为2,E为BC的中点,求面B1D1E与面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值.
练习1的环境背景表明,面B1D1E与面BB1C1C构成两个二面角,由特征
(2)可知,这两个二面角的大小必定互补.
为创造一完整的三垂线定理的环境背景,线段C1D1会让我们眼睛一亮,我们只须由C1(或D1)作B1E的垂线交B1E于O,然后连结OD1(或OC1)即得面D1B1E与面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1,
2.将棱长为a的正四面体的一个面与棱长为a的正四棱锥的一个侧面吻合,则吻合后的几何体呈现几个面?
分析:
这道题,考生答“7个面”的占99.9%,少数应服从多数吗?
从例题中三个特征提供的思路在解决问题时各具特色,它们的目标分别是找“点”、“垂面”、“垂线段”.事实上,我们只要找到其中一个,另两个就接踵而来.掌握这种关系对提高解题技能和培养空间想象能力非常重要.
本题如果能融合三个特征对思维的监控,可有效地克服、抑制思维的消极作用,培养思维的广阔性和批判性.
如图9,过两个几何体的高线VP,VQ的垂足P,Q分别作BC的垂线,则垂足重合于O,且O为BC的中点.
OP延长过A,OQ延长交ED于R,考虑到三垂线定理的环境背影,∠AOR为二面角A-BC-R的平面角,结合特征
(1),
(2),可得VAOR为平行四边形,VA∥BE,所以V,A,B,E共面.
同理V,A,C,D共面.
所以这道题的正确答案应该是5个面.
(这一阶段的教学主要是通过教师精心设计的一组例题与练习题,或边练边评,或由学生一鼓作气练完后再逐题讲评,达到练习的目的.其间要以学生“练”为主,教师“评”为辅)
教师:
由例1、例2和课堂练习,我们已经看到二面角的平面角有三个特征,这三个特征互相联系,客观存在,但在许多问题中却表现得含糊而冷漠,三个特征均藏而不露,在这种形势下,需认真探索.
学生:
应探索体现出一完整的三垂线定理的环境背景,有了“垂线段”,便可以定位.
教师:
请大家研究下面的例题.
例3 如图10,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC的中点,F在AA1上,且A1F∶FA=1∶2,求平面B1EF与底面A1C1所成的二面角大小的正切值.
分析:
在给定的平面B1EF与底面A1C1所成的二面角中,没有出现二面角的棱,我们可以设法在二面角的两个面内找出两个面的共点,则这两个公共点的连线即为二面角的棱,最后借助这条棱作出二面角的平面角.
略解:
如图10.
在面BB1CC1内,作EH⊥B1C1于H,连结HA1,显然直线EF在底面A1C1的射影为HA1.
延长EF,HA1交于G,过G,B1的直线为所求二面角的棱.
在平面A1B1C1D1内,作HK⊥GB1于K,连EK,
则∠HKE为所求二面角的平面角.
在平面A1B1C1D1内,作B1L⊥GH于L,利用Rt△GLB1∽Rt△GKH,可求得KH.
又在Rt△EKH中,设EH=a,容易得到:
所求二面角大小的正切值
教师:
有时我们也可以不直接作出二面角的平面角,而通过等价变换或具体的计算得出其平面角的大小.
例如我们可以使用平移法.由两平面平行的性质可知,若两平行平面同时与第三个平面相交,那么这两个平行平面与第三个平面所成的二面角相等或互补.因而例3中的二面角不易直接作出其平面角时,可利用此结论平移二面角的某一个面到合适的位置,以便等价地作出该二面角的平面角.
略解:
过F作A′B′的平行线交BB′于G,过G作B′C′的平行线交B′E于H,连FH.
显见平面FGH∥平面A′B′C′D′.
则二面角B′-FH-G的平面角度数等于所求二面角的度数.
过G作GM⊥HF,垂足为M,连B′M,由三垂线定理知B′M⊥HF.
所以∠B′MG为二面角B′-FH-G的平面角,其大小等于所求二面角平面角的大小.
例4 已知:
如图12,P是正方形ABCD所在平面外一点,PA=PB=PC=PD=a,AB=a.
求:
平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值.
分析:
为了找到二面角及其平面角,必须依据题目的条件,找出两个平面的交线.
解:
因为 AB∥CD,CD
平面CPD,AB
平面CPD.
所以 AB∥平面CPD.
又 P∈平面APB,且P∈平面CPD,
因此 平面APB∩平面CPD=l,且P∈l.
所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角.
因为 AB∥平面CPD,AB
平面APB,平面CPD∩平面APB=l,
所以 AB∥l.
过P作PE⊥AB,PE⊥CD.
因为 l∥AB∥CD,
因此 PE⊥l,PF⊥l,
所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角.
因为 PE是正三角形APB的一条高线,且AB=a,
因为 E,F分别是AB,CD的中点,
所以 EF=BC=a.
在△EFP中,
小结:
二面角及其平面角的正确而合理的定位,要在正确理解其定义的基础上,掌握其基本特征,并灵活运用它们考察问题的背景.
我们已经看到,定位是为了定量,求角的大小往往要化归到一个三角形中去解,因此寻找“垂线段”,把问题化归是十分重要的.
作业
1.120°二面角α-l-β内有一点P,若P到两个面α,β的距离分别为3和1,求P到l的距离.
2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,求以BD1为棱,B1BD1与C1BD1为面的二面角的度数.