平面向量典型例题Word文档下载推荐.docx

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[解析]　∵|a－b|＝，∴|a|2＋|b|2－2a·

b＝，∵|a|＝1，〈a，b〉＝60°

，

设|b|＝x，则1＋x2－x＝，∵x>

0，∴x＝.

4.若·

＋2＝0，则△ABC必定是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

[解析]　·

＋2＝·

（＋）＝·

＝0，∴⊥，

∴AB⊥AC，∴△ABC为直角三角形．

5.若向量a＝（1,1），b＝（1，－1），c＝（－2,4），则用a，b表示c为（　　）

A．－a＋3bB．a－3b

C．3a－bD．－3a＋b

[解析]　设c＝λa＋μb，则（－2,4）＝（λ＋μ，λ－μ），

∴，∴，∴c＝a－3b，故选B.

在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则等于（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

[解析]　∵E为OD的中点，∴＝3，

∵DF∥AB，∴＝，

∴|DF|＝|AB|，∴|CF|＝|AB|＝|CD|，

∴＝＋＝＋＝a＋（－）＝a＋（b－a）＝a＋b.

6.若△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，CA＝6，则·

的值为（　　）

A．19B．14

C．－18D．－19

[答案]　D

[解析]　据已知得cosB＝＝，故·

＝||×

||×

（－cosB）＝7×

5×

＝－19.

7.若向量a＝（x－1,2），b＝（4，y）相互垂直，则9x＋3y的最小值为（　　）

A．12B．2

C．3D．6

[解析]　a·

b＝4（x－1）＋2y＝0，∴2x＋y＝2，∴9x＋3y＝32x＋3y≥2＝6，等号在x＝，y＝1时成立．

8.若A，B，C是直线l上不同的三个点，若O不在l上，存在实数x使得x2＋x＋＝0，实数x为（　　）

A．－1B．0

[解析]　x2＋x＋－＝0，∴x2＋（x－1）＋＝0，由向量共线的充要条件及A、B、C共线知，1－x－x2＝1，∴x＝0或－1，当x＝0时，＝0，与条件矛盾，∴x＝－1.

9.（文）已知P是边长为2的正△ABC边BC上的动点，则·

（＋）（　　）

A．最大值为8B．最小值为2

C．是定值6D．与P的位置有关

[解析]　以BC的中点O为原点，直线BC为x轴建立如图坐标系，则B（－1,0），C（1,0），A（0，），＋＝（－1，－）＋（1，－）＝（0，－2），

设P（x,0），－1≤x≤1，则＝（x，－），

∴·

（＋）＝（x，－）·

（0，－2）＝6，故选C.

（理）在△ABC中，D为BC边中点，若∠A＝120°

，·

＝－1，则||的最小值是（　　）

[解析]　∵∠A＝120°

＝－1，∴||·

||·

cos120°

＝－1，

∴||·

||＝2，∴||2＋||2≥2||·

||＝4，∵D为BC边的中点，

∴＝（＋），∴||2＝（||2＋||2＋2·

）＝（||2＋||2－2）≥（4－2）＝，

∴||≥.

10.

如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E、F两点，且交其对角线于K，其中＝，＝，＝λ，则λ的值为（　　）

[解析]　如图，取CD的三等分点M、N，BC的中点Q，则EF∥DG∥BM∥NQ，易知＝，∴λ＝.

11.已知向量a＝（2,3），b＝（－1,2），若ma＋4b与a－2b共线，则m的值为（　　）

A.　　　　　　　　B．2

C．－2D．－

[解析]　ma＋4b＝（2m－4,3m＋8），a－2b＝（4，－1），

由条件知（2m－4）·

（－1）－（3m＋8）×

4＝0，∴m＝－2，故选C.

12.在△ABC中，C＝90°

，且CA＝CB＝3，点M满足＝2，则·

等于（　　）

A．2　　　　B．3　　　　

C．4　　　　D．6

＝（＋）·

＝·

＋·

＝||·

cos45°

＝×

3×

＝3.

13.在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB＝3，BD＝1，则·

＝________.

[答案]　

[解析]　由条件知，||＝||＝||＝3，〈，〉＝60°

〈，〉＝60°

，＝，

＝3×

cos60°

＋×

＝.

14.已知向量a＝（3,4），b＝（－2,1），则a在b方向上的投影等于________．

[答案]　－。

[解析]　a在b方向上的投影为＝＝－.

15.已知向量a与b的夹角为，且|a|＝1，|b|＝4，若（2a＋λb）⊥a，则实数λ＝________.

[答案]　1

[解析]　∵〈a，b〉＝，|a|＝1，|b|＝4，∴a·

b＝|a|·

|b|·

cos〈a，b〉＝1×

4×

cos＝－2，∵（2a＋λb）⊥a，∴a·

（2a＋λb）＝2|a|2＋λa·

b＝2－2λ＝0，∴λ＝1.

16.已知：

||＝1，||＝，·

＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°

，设＝m＋n（m，n∈R＋），则＝________.

[答案]　3

[解析]　设m＝，n＝，则＝＋，

∵∠AOC＝30°

，∴||·

cos30°

＝||＝m||＝m，

sin30°

＝||＝n||＝n，

两式相除得：

＝＝＝，∴＝3.

17.（文）设i、j是平面直角坐标系（坐标原点为O）内分别与x轴、y轴正方向相同的两个单位向量，且＝－2i＋j，＝4i＋3j，则△OAB的面积等于________．

[答案]　5

[解析]　由条件知，i2＝1，j2＝1，i·

j＝0，∴·

＝（－2i＋j）·

（4i＋3j）＝－8＋3＝－5，又·

cos〈，〉＝5cos〈，〉，

∴cos〈，〉＝－，∴sin〈，〉＝，

∴S△OAB＝||·

sin〈，〉＝×

×

＝5.

（理）三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是________（只写序号）

①sinA＋cosA＝　②·

<

0　③b＝3，c＝3，B＝30°

　④tanA＋tanB＋tanC>

0.

[答案]　④

[解析]　若A为锐角，则sinA＋cosA>

1，∵sinA＋cosA＝，∴A为钝角，∵·

0，∴·

>

0，∴∠B为锐角，由∠B为锐角得不出△ABC为锐角三角形；

由正弦定理＝得，＝，∴sinC＝，∴C＝60°

或120°

，∵c·

sinB＝，3<

3，∴△ABC有两解，故①②③都不能得出△ABC为锐角三角形．

④由tanA＋tanB＋tanC＝tan（A＋B）（1－tanAtanB）＋tanC＝－tanC（1－tanAtanB）＋tanC＝tanAtanBtanC>

0，及A、B、C∈（0，π），A＋B＋C＝π知A、B、C均为锐角，

∴△ABC为锐角三角形．

18.已知平面向量a＝（1，x），b＝（2x＋3，－x）．

（1）若a⊥b，求x的值．

（2）若a∥b，求|a－b|.

[解析]　

（1）若a⊥b，

则a·

b＝（1，x）·

（2x＋3，－x）＝1×

（2x＋3）＋x（－x）＝0，

整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.

（2）若a∥b，则有1×

（－x）－x（2x＋3）＝0，则x（2x＋4）＝0，解得x＝0或x＝－2，

当x＝0时，a＝（1,0），b＝（3,0），

∴|a－b|＝|（1,0）－（3,0）|＝|（－2,0）|＝＝2，

当x＝－2时，a＝（1，－2），b＝（－1,2），

∴|a－b|＝|（1，－2）－（－1,2）|＝|（2，－4）|＝＝2.

19.已知向量a＝（sinx，－1），b＝（cosx，－），函数f（x）＝（a＋b）·

a－2.

（1）求函数f（x）的最小正周期T；

（2）将函数f（x）的图象向左平移上个单位后，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及其对称中心坐标．

[解析]　

（1）f（x）＝（a＋b）·

a－2＝a2＋a·

b－2＝sin2x＋1＋sinxcosx＋－2

＝＋sin2x－＝sin2x－cos2x＝sin（2x－），

∴周期T＝＝π.

（2）向左平移个单位得，y＝sin[2（x＋）－]＝sin（2x＋），横坐标伸长为原来的3倍得，

g（x）＝sin（x＋），令x＋＝kπ得对称中心为（－，0），k∈Z.

20.（文）三角形的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，设向量m＝（c－a，b－a），n＝（a＋b，c），若m∥n.

（1）求角B的大小；

（2）若sinA＋sinC的取值范围．

[解析]　

（1）由m∥n知＝，

即得b2＝a2＋c2－ac，据余弦定理知cosB＝，得B＝.

（2）sinA＋sinC＝sinA＋sin（A＋B）＝sinA＋sin（A＋）

＝sinA＋sinA＋cosA＝sinA＋cosA＝sin（A＋），

∵B＝，∴A＋C＝，∴A∈（0，），

∴A＋∈（，），∴sin（A＋）∈（，1]，

∴sinA＋sinC的取值范围为（，]．

（理）在钝角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，m＝（2b－c，cosC），n＝（a，cosA），且m∥n.

（1）求角A的大小；

（2）求函数y＝2sin2B＋cos（－2B）的值域．

[解析]　

（1）由m∥n得（2b－c）cosA－acosC＝0，

由正弦定理得2sinBcosA－sinCcosA－sinAcosC＝0，

∵sin（A＋C）＝sinB，∴2sinBcosA－sinB＝0，

∵B、A∈（0，π），∴sinB≠0，∴A＝.

（2）y＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B＝1－cos2B＋sin2B＝sin（2B－）＋1，

当角B为钝角时，角C为锐角，则

⇒<

B<

∴<

2B－<

，∴sin（2B－）∈（－，），∴y∈（，）．

当角B为锐角时，角C为钝角，则

⇒0<

∴－<

，∴sin（2B－）∈（－，），∴y∈（，），

综上，所求函数的值域为（，）．

21.设函数f（x）＝a·

b，其中向量a＝（2cosx,1），b＝（cosx，sin2x），x∈R.

（1）若f（x）＝1－且x∈[－，]，求x；

（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m，n）（|m|<

）平移后得到函数y＝f（x）的图象，求实数m、n的值．

[解析]　

（1）依题设，f（x）＝2cos2x＋sin2x

＝1＋2sin（2x＋）．

由1＋2sin（2x＋）＝1－，得sin（2x＋）＝－，

∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤，∴2x＋＝－，即x＝－.

（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m，n）平移后得到函数y＝2sin2（x－m）＋n的图象，即函数y＝f（x）的图象．由

（1）得f（x）＝2sin2（x＋）＋1.∵|m|<

，∴m＝－，n＝1.

22.已知向量＝（2cosx＋1，cos2x－sinx＋1），＝（cosx，－1），f（x）＝·

.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）当x∈[0，]时，求函数f（x）的最大值及取得最大值时的x值．

[解析]　

（1）∵＝（2cosx＋1，cos2x－sinx＋1），＝（cosx，－1），

∴f（x）＝·

＝（2cosx＋1）cosx－（cos2x－sinx＋1）

＝2cos2x＋cosx－cos2x＋sinx－1＝cosx＋sinx＝sin（x＋），

∴函数f（x）最小正周期T＝2π.

（2）∵x∈[0，]，∴x＋∈[，]，

∴当x＋＝，即x＝时，f（x）＝sin（x＋）取到最大值.

23.△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m＝（－1,1），n＝（cosBcosC，sinBsinC－），且m⊥n.

（1）求A的大小；

（2）现在给出下列三个条件：

①a＝1；

②2c－（＋1）b＝0；

③B＝45°

，试从中选择两个条件以确定△ABC，求出所确定的△ABC的面积．

（注：

只需要选择一种方案答题，如果用多种方案答题，则按第一方案给分）．

[解析]　

（1）因为m⊥n，所以－cosBcosC＋sinBsinC－＝0，

即cosBcosC－sinBsinC＝－，所以cos（B＋C）＝－，

因为A＋B＋C＝π，所以cos（B＋C）＝－cosA，所以cosA＝，A＝30°

（2）方案一：

选择①②，可确定△ABC，

因为A＝30°

，a＝1,2c－（＋1）b＝0，

由余弦定理得，12＝b2＋（b）2－2b·

b·

解得b＝，所以c＝，

所以S△ABC＝bcsinA＝·

·

＝，

方案二：

选择①③，可确定△ABC，

，a＝1，B＝45°

，C＝105°

又sin105°

＝sin（45°

＋60°

）＝sin45°

＋cos45°

sin60°

由正弦定理c＝＝＝，

所以S△ABC＝acsinB＝·

1·

（注意：

选择②③不能确定三角形）

（理）如图，⊙O方程为x2＋y2＝4，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，⊙O交y轴于点N，∥，且＝.

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）设F1（0，）、F2（0，－），若过F1的直线交

（1）中曲线C于A、B两点，求·

的取值范围．

[解析]　

（1）设P（x0，y0），M（x，y），

∵＝，∴，∴，

代入x＋y＝4得，＋＝1.

（2）①当直线AB的斜率不存在时，显然·

＝－4，

②当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：

y＝kx＋，

由得，（9＋4k2）x2＋8kx－16＝0，

不妨设A1（x1，y1），B（x2，y2），则

＝（x1，y1＋）·

（x2，y2＋）＝（x1，kx1＋2）·

（x2，kx2＋2）＝（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋20

＝＋＋20＝＋20

＝－4＋，

∵k2≥0，∴9＋4k2≥9，∴0<

≤，

∴－4<

综上所述，·

的取值范围是（－4，]．

24.在平面直角坐标系内，已知两点A（－1,0）、B（1,0），若将动点P（x，y）的横坐标保持不变，纵坐标扩大到原来的倍后得到点Q（x，y），且满足·

＝1.

（1）求动点P所在曲线C的方程；

（2）过点B作斜率为－的直线l交曲线C于M、N两点，且＋＋＝0，又点H关于原点O的对称点为点G，试问M、G、N、H四点是否共圆？

若共圆，求出圆心坐标和半径；

若不共圆，请说明理由．

[解析]　

（1）设点P的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（x，y），

依据题意得，＝（x＋1，y），＝（x－1，y）．

∵·

＝1，∴x2－1＋2y2＝1.∴动点P所在曲线C的方程是＋y2＝1.

（2）因直线l过点B，且斜率为k＝－，∴l：

y＝－（x－1），

联立方程组，消去y得，2x2－2x－1＝0.

设M（x1，y1）、N（x2，y2），∴∴y1＋y2＝－（x1－1）－（x2－1）

＝－（x1＋x2）＋＝.

由＋＋＝0得，＝（－x1－x2，－y1－y2），即H（－1，－），

而点G与点H关于原点对称，∴G（1，），

设线段MN、GH的中垂线分别为l1和l2，kGH＝，则有

l1：

y－＝（x－），l2：

y＝－x.联立方程组

解得l1和l2的交点为O1（，－）．

因此，可算得|O1H|＝＝，

|O1M|＝＝.

所以M、G、N、H四点共圆，且圆心坐标为O1（，－），半径为.