新教材人教B版数学必修第二册教师用书第5章 532 事件之间的关系与运算文档格式.docx
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而且事件B发生时,事件A也一定发生,则称“A与B相等”
A=B⇔
A⊆B且B⊆A
事件互斥
给定事件A,B,若事件A与B不能同时发生,则称A与B互斥
AB=∅
(或A∩B=∅)
事件对立
给定样本空间Ω与事件A,则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件.
(2)事件的和与积
事件的和(并)
给定事件A,B,由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)
A+B
或(A∪B)
事件的积(交)
给定事件A,B,由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)
AB(或A∩B)
(3)事件的混合运算
因为事件运算的结果仍是事件,因此可以进行事件的混合运算.
(A
)+(
B)表示的是A
与
B的和,实际意义是:
A发生且B不发生,或者A不发生且B发生,换句话说就是A与B中恰有一个发生.
同数的加、减、乘、除混合运算一样,事件的混合运算也有优先级,我们规定:
求积运算的优先级高于求和运算,因此(A
B)可简写为A
+
B.
2.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:
[0,1].
(2)必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0.
(3)概率加法公式为:
如果事件A与B为互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(4)若A与
为对立事件,则P(
)=1-P(A).
P(A∪
)=1,P(A∩
)=0.
1.同时掷两枚硬币,向上面都是正面为事件A,向上面至少有一枚是正面为事件B,则有( )
A.A⊆B B.A⊇B
C.A=BD.A<
B
A [由事件的包含关系知A⊆B.]
2.给出事件A与B的关系示意图,如图所示,则( )
A.A⊆B B.A⊇B
C.A与B互斥D.A与B互为对立事件
C [由互斥事件的定义知,A、B互斥.]
3.若A与B是互斥事件,则有( )
A.P(A)+P(B)<1
B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1
D.P(A)+P(B)≤1
D [A、B可能对立,因此P(A)+P(B)≤1.]
互斥事件与对立事件的判定
【例1】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报纸也不订”.判断下列每组事件是不是互斥事件;
如果是,再判断它们是不是对立事件:
(1)A与C;
(2)B与E;
(3)B与D;
(4)B与C;
(5)C与E.
[思路探究]
[解]
(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不是互斥事件.
(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;
由于事件B与事件E必有一个发生,故B与E是对立事件.
(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”,即有可能“不订甲报”,也就是说事件B和事件D有可能同时发生,故B与D不是互斥事件.
(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生,故B与C不是互斥事件.
(5)由(4)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况,所以事件C与事件E可能同时发生,故C与E不是互斥事件.
互斥事件和对立事件的判定方法
(1)利用基本概念,要判断两个事件是不是互斥事件,只需要找出各个事件所包含的所有结果,看它们之间能不能同时发生,在互斥的前提下,看两个事件中是否必有一个发生,可判断是否为对立事件.注意辨析“至少”“至多”等关键词语的含义,明晰它们对事件结果的影响.
(2)利用集合观点,设事件A与B所含的结果组成的集合分别为A,B.
①若事件A与B互斥,则集合A∩B=∅;
②若事件A与B对立,则集合A∩B=∅且A∪B=Ω.
1.一个射手进行一次射击,有下面四个事件:
事件A:
命中环数大于8;
事件B:
命中环数小于5;
事件C:
命中环数大于4;
事件D:
命中环数不大于6.则( )
A.A与D是互斥事件 B.C与D是对立事件
C.B与D是互斥事件D.以上都不对
A [由互斥、对立事件的定义可判断A选项正确.]
事件的关系及运算
【例2】 在掷骰子的试验中,可以定义许多事件.例如,事件C1={出现1点},事件C2={出现2点},事件C3={出现3点},事件C4={出现4点},事件C5={出现5点},事件C6={出现6点},事件D1={出现的点数不大于1},事件D2={出现的点数大于3},事件D3={出现的点数小于5},事件E={出现的点数小于7},事件F={出现的点数为偶数},事件G={出现的点数为奇数},请根据上述定义的事件,回答下列问题:
(1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件;
(2)利用和事件的定义,判断上述哪些事件是和事件.
[解]
(1)因为事件C1,C2,C3,C4发生,则事件D3必发生,所以C1⊆D3,C2⊆D3,C3⊆D3,C4⊆D3.
同理可得,事件E包含事件C1,C2,C3,C4,C5,C6;
事件D2包含事件C4,C5,C6;
事件F包含事件C2,C4,C6;
事件G包含事件C1,C3,C5.
且易知事件C1与事件D1相等,即C1=D1.
(2)因为事件D2={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或出现6点},所以D2=C4∪C5∪C6(或D2=C4+C5+C6).
同理可得,D3=C1+C2+C3+C4,E=C1+C2+C3+C4+C5+C6,F=C2+C4+C6,G=C1+C3+C5.
1.两个事件之间的关系有包含关系、相等关系、互为互斥事件、互为对立事件,判断两个事件的关系,只需要根据这些关系的定义进行判断即可.
2.进行事件的运算时,一是要紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析.也可类比集合的关系和运算用韦恩图分析事件.
2.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球、2个白球},事件B={3个球中有2个红球、1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
(1)事件D与A,B是什么样的运算关系?
(2)事件C与A的交事件是什么事件?
[解]
(1)对于事件D,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,故D=A∪B.
(2)对于事件C,可能的结果为1个红球、2个白球,或2个红球、1个白球,或3个红球,故C∩A=A.
互斥事件与对立事件的概率公式及应用
[探究问题]
1.在同一试验中,对任意两个事件A、B,P(A∪B)=P(A)+P(B)一定成立吗?
[提示] 不一定,只有A与B互斥时,P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立.
2.若P(A)+P(B)=1,则事件A与事件B是否一定对立?
试举例说明.
[提示] A与B不一定对立.例如:
掷一枚均匀的骰子,记事件A为出现偶数点,事件B为出现1点或2点或3点,则P(A)+P(B)=1,但A、B不对立.
【例3】 在数学考试中,小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18,在80分~89分(包括89分,下同)的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算:
(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率;
(2)小明数学考试及格的概率(60分及60分以上为及格).
[思路探究] 小明的成绩在80分以上可以看作是互斥事件“80分~89分”“90分以上”的并事件,小明数学考试及格可看作是“60分~69分”“70分~79分”“80分~89分”“90分以上”这几个彼此互斥事件的并事件,又可看作是“不及格”这一事件的对立事件.
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”在“60分~69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥.
(1)小明的成绩在80分以上的概率是
P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69.
(2)法一:
小明数学考试及格的概率是
P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.
法二:
小明数学考试不及格的概率是0.07,所以小明数学考试及格的概率是1-0.07=0.93.
1.(变结论)本例条件不变,求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率.
[解] 分别记小明的成绩“在90分以上”,“在80~89分”“在70~79分”“在60~69分”在“60分以下”为事件A、B、C、D、E,则这五个事件彼此互斥.
∴小明成绩在80分以下的概率是:
P(C∪D∪E)=0.15+0.09+0.07=0.31.
2.(变条件)一盒中装有各种色球12个,其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率.
[解] 法一:
(利用互斥事件求概率)
记事件A1={任取1球为红球},
A2={任取1球为黑球},
A3={任取1球为白球},
A4={任取1球为绿球},
则P(A1)=
,P(A2)=
,
P(A3)=
,P(A4)=
.
根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件概率公式,得
(1)取出1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=
=
(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
(利用对立事件求概率)
(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1∪A2的对立事件为A3∪A4,所以取得1球为红球或黑球的概率为
P(A1∪A2)=1-P(A3∪A4)=1-P(A3)-P(A4)
=1-
-
(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.
所以P(A1∪A2∪A3)=1-P(A4)=1-
1.只有当A、B互斥时,公式P(A∪B)=P(A)+P(B)才成立;
只有当A、B互为对立事件时,公式P(A)=1-P(B)才成立.
2.复杂的互斥事件概率的求法有两种:
一是直接求解,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的概率加法公式计算;
二是间接求解,先找出所求事件的对立事件,再用公式P(A)=1-P(
)求解.
(教师独具)
1.本节课的重点是了解事件间的包含关系和相等关系.理解互斥事件和对立事件的概念及关系,难点是了解并利用两个互斥事件的概率加法公式解题.
2.本节课要掌握以下几方面的规律方法
(1)判断两事件互斥、对立的两个步骤.
(2)事件间运算的方法.
(3)用概率加法公式解题的步骤及求复杂事件概率的两种方法.
3.本节课的易错点
(1)混淆互斥、对立事件概念致错.
(2)分不清事件间的关系而错用公式导致解题失误.
1.思考辨析
(1)互斥事件一定是对立事件.( )
(2)事件A与B的并事件的概率一定大于事件A的概率.( )
(3)若P(A)+P(B)=1,则事件A与B一定是对立事件.( )
[答案]
(1)×
(2)×
(3)×
2.P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于( )
A.0.3 B.0.2
C.0.1D.不确定
D [因为A与B的关系不确定,故P(A∪B)的值不能确定.]
3.一箱灯泡有50个,合格率为90%,从中任意拿一个,它是次品的概率是( )
A.10%B.90%
C.20%D.100%
A [从中任意拿一个,不是合格品就是次品,两者必有一个发生,而且也只能有一个发生,符合对立事件的定义,因此运用对立事件的概率加法公式得P(次品)=1-P(合格)=1-90%=10%.]
4.从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1~10各10张)中任抽取1张,判断下列给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事件,并说明理由.
(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”;
(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”;
(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”.
[解]
(1)是互斥事件,不是对立事件.理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的,所以是互斥事件.同时,不能保证其中必有一个发生,这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”,因此二者不是对立事件.
(2)既是互斥事件,又是对立事件.理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生,且其中必有一个发生,因此它们既是互斥事件,又是对立事件.
(3)不是互斥事件,当然不可能是对立事件.理由是:
从40张扑克牌中任意抽取1张,“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生,如抽出牌的点数为10,因此,二者不是互斥事件,当然不可能是对立事件.