动点问题含答案范本模板.docx

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动点问题含答案范本模板

动点问题

1.如图,在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm,AB=8cm，BC=26cm，动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts．

（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形?

（2）当t为何值时,四边形PQCD为等腰梯形？

（3）当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？

点评：

此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中．

2.如图，△ABC中，点O为AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的外角平分线CF于点F，交∠ACB内角平分线CE于E．

（1）试说明EO=FO；

（2）当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形并证明你的结论;

（3）若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形,猜想△ABC的形状并证明你的结论．

点评：

本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论

（1），再利用结论

（1）和矩形的判定证明结论

（2），再对（3）进行判断．解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用．

3.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发,沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

（1）求NC,MC的长（用t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；

（3）是否存在某一时刻,使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？

若存在,求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）探究:

t为何值时，△PMC为等腰三角形．

点评:

此题繁杂,难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质．考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．

4.如图,在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q,M，N分别从A,B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P，Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？

如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

点评:

本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点．

5.

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°,AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点M从点A开始,沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒．

（1）当t为何值时,四边形MNCD是平行四边形？

（2）当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形?

点评：

考查了等腰梯形和平行四边形的性质,动点问题是中考的重点内容．

6.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠C=90°,BC=16,DC=12,AD=21，动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t（s）．

（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系；

（2）当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

点评：

本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题

（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．

7.直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发,同时到达A点,运动停止．点Q沿线段OA运动,速度为每秒1个单位长度，点P沿路线O⇒B⇒A运动．

（1）直接写出A、B两点的坐标；

（2）设点Q的运动时间为t（秒），△OPQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式；

（3）当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标．

点评:

本题主要考查梯形的性质及勾股定理．在解题

（2）时，应注意分情况进行讨论,防止在解题过程中出现漏解现象．

1.分析：

（1）四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ．

（2）四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE．

（3）四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC．

所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可．

解答：

解：

（1）∵四边形PQCD平行为四边形

∴PD=CQ

∴24—t=3t

解得：

t=6

即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形．

（2）过D作DE⊥BC于E

则四边形ABED为矩形

∴BE=AD=24cm

∴EC=BC-BE=2cm

∵四边形PQCD为等腰梯形

∴QC—PD=2CE

即3t—（24-t）=4

解得:

t=7（s）

即当t=7（s）时，四边形PQCD为等腰梯形．

（3）由题意知：

QC—PD=EC时，

四边形PQCD为直角梯形即3t—（24-t）=2

解得：

t=6.5（s）

即当t=6.5（s）时，四边形PQCD为直角梯形．

2．分析:

（1）根据CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根据等边对等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答,即有一个内角是直角的平行四边形是矩形．

（3）利用已知条件及正方形的性质解答．

解答：

解：

（1）∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵MN∥BC，

∴∠OEC=∠ECB，

∴∠OEC=∠OCE，

∴OE=OC，

同理，OC=OF，

∴OE=OF．

（2）当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形．

如图AO=CO，EO=FO，

∴四边形AECF为平行四边形，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠ACB,

同理,∠ACF=∠ACG，

∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）=×180°=90°，

∴四边形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形

∵四边形AECF是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA=∠AOM，

∴∠BCA=90°,

∴△ABC是直角三角形．

3。

分析:

（1）依据题意易知四边形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC—AQ=BC—AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t,即解；∵AB∥QN,∴△CMN∽△CAB，∴CM：

CA=CN：

CB,

（2）CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5，即可表示CM;

四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解;

（3）可先根据QN平分△ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出t的值．然后根据得出的t的值，求出△MNC的面积，即可判断出△MNC的面积是否为△ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值．

（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：

①当MP=MC时，那么PC=2NC，据此可求出t的值．

②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值．

③当MP=PC时,在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长,然后根据勾股定理即可得出t的值．

综上所述可得出符合条件的t的值．

解答:

解：

（1）∵AQ=3—t

∴CN=4-（3-t）=1+t

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42

∴AC=5

在Rt△MNC中，cos∠NCM==，CM=．

（2）由于四边形PCDQ构成平行四边形

∴PC=QD，即4-t=t

解得t=2．

（3）如果射线QN将△ABC的周长平分，则有：

MN+NC=AM+BN+AB

即:

（1+t）+1+t=（3+4+5）

解得：

t=（5分）

而MN=NC=（1+t）

∴S△MNC=（1+t）2=（1+t）2

当t=时，S△MNC=（1+t）2=≠×4×3

∴不存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分．

（4）①当MP=MC时（如图1）

则有：

NP=NC

即PC=2NC∴4—t=2（1+t）

解得：

t=

②当CM=CP时（如图2）

则有:

（1+t）=4—t

解得:

t=

③当PM=PC时（如图3）

则有：

在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2

而MN=NC=（1+t）

PN=NC—PC=（1+t）—（4—t）=2t-3

∴［（1+t）］2+（2t-3）2=（4-t）2

解得：

t1=,t2=-1（舍去）

∴当t=,t=,t=时,△PMC为等腰三角形

4.分析：

以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm;或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．

以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．

如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形,则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．

解答：

解：

（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ,MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．

①当点P与点N重合时,由x2+2x=20，得x1=-1，x2=—-1（舍去）．

因为BQ+CM=x+3x=4（—1）＜20，此时点Q与点M不重合．

所以x=-1符合题意．

②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．

此时DN=x2=25＞20，不符合题意．

故点Q与点M不能重合．

所以所求x的值为-1．

（2）由

（1）知，点Q只能在点M的左侧，

①当点P在点N的左侧时，

由20-（x+3x）=20-（2x+x2），

解得x1=0（舍去），x2=2．

当x=2时四边形PQMN是平行四边形．

②当点P在点N的右侧时，

由20—（x+3x）=（2x+x2）-20，

解得x1=—10（舍去），x2=4．

当x=4时四边形NQMP是平行四边形．

所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．

（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．

由于2x＞x，

所以点E一定在点P的左侧．

若以P，Q,M，N为顶点的四边形是等腰梯形，

则点F一定在点N的右侧，且PE=NF,

即2x-x=x2-3x．

解得x1=0（舍去）,x