弹性力学基本概念和考点文档格式.docx
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1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。
2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。
二、几何方程；
（1）平面问题的几何方程；
u
x
■:
（2）平面问题的几何方程（极坐标）
'
门：
’门
v；
uv
1、几何方程反映了位移和应变之间的关系2、当位移完全确定时，应变也确定；
反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。
（刚体位移）
三、物理方程；
（1）平面应力的物理方程；
1
xy
21」
E
（2）平面应变的物理方程;
1一“
□
（J—（J
x1」y
21」
-Exy
（3）极坐标的物理方程
（平面应力）
（4）极坐标的物理方程（平面应变）；
2（1」）
四、边界条件；
（1）几何边界条件;
（2）应力边界条件;
平面问题：
匚7応（记）
1xymy广fy
（3）接触条件；
光滑接触：
6=6n为接触面的法线方向
非光滑接触：
6二6n为接触面的法线方向
（Un）=（4）
（4）位移单值条件；
U厂U2“
（5）对称性条件：
在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，
都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和
位移也就对称于这一轴。
一、概念
1弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。
2•固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。
3基本任务：
研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。
•
4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛
5•弹性力学基本方法：
差分法、变分法、有限元法、实验法
6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，在边界
上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；
7•弹性力学中的基本假定：
连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。
8•几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。
9•物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。
10•平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。
11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。
反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。
12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。
它可以分为位移边界
条件、应力边界条件和混合边界条件。
13.圣维南原理主要内容：
如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不
同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应
力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。
14.圣维南原理的推广：
如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都
等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。
这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。
15•求解平面问题的两种基本方法：
位移法、应力法。
16.弹性力学的基本原理：
解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。
会推导两种平衡微分方程
17•逆解法步骤：
（1）先假设一满足相容方程（2-25）的应力函数
（2）由式（2-24），根据应力函数求得应力分量
（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主
要边界上的面力边界条件（2-15）或次要边界上的积分边界条件，分析这
些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可
以解决什么样的问题。
（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数
18•半逆解法步骤:
（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式
（2）按式（2-24），由应力推出应力函数f的一般形式（含待定函数项）；
（3）将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达形式；
（4）将应力函数f代入式（2-24），由应力函数求得应力分量
（5）根据边界条件确定未知函数中的待定系数；
考察应力分量是否满足全
（二xlxym）s=fx（S）
（J=fy（S）
h/2
才/2Cxhdy「Fn
计算
一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）
1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（C）求
解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A•相容方程B•近似方法C•边界条件D•附加假定
2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（B）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不
计。
A.几何上等效B.静力上等效C.平衡D.任意
3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本
方程不完全相同，其比较关系为（B）0
A.平衡方程、几何方程、物理方程完全相同
B.平衡方程、几何方程相同，物理方程不同
C.平衡方程、物理方程相同，几何方程不同
D.平衡方程相同，物理方程、几何方程不同
在研究方法方面：
材力考虑有限体△V的平衡，结果是近似的；
弹力考虑微
分体dV的平，结果比较精确。
4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为手2丄2•写=0，
xx;
y;
2f3、2/3、
6、设有函数①=业〔码+3丫-1+塑・每」，
6设有函数41h3h丿5Ih3h丿'
（1）判断该函数可否作为应力函数？
（3分）
（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见
题九图）中能解决什么问题（l>
>
h）。
（15分）
解：
■444
（1）将©
代入相容方程二•2冬半=0，显然满足。
因此，该函数可以作为
42-2-4
x;
y:
应力函数。
/
（2）应力分量的表达式:
=0
Z2x
『2h/26qlh2.
.仏！
』—-Gyg-y厂-ql
对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；
而上边界上受有向下的均布压力；
右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。
所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q的问题。
2009~2010学年第二学期期末考试试卷（A）卷
一.名词解释（共10分，每小题5分）
1.弹性力学：
研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。
2.圣维南原理：
（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远
处所受的影响可以不计。
应力符号的规定为：
正面正向、负面负向为正，反之为负。
4.弹性力学中，正面
是指外法向方向沿坐标轴正向的面，负面是指外法向方向沿坐标轴负向的
面。
1.（8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？
分别对应哪类弹性体？
两类平面问题各有
哪些特征？
答：
弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的
弹性体和特征分别为：
平面应力问题：
所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：
面力、体力的作用面平行
于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量二X，二y,xy存在，且仅为X,y的函数。
平面应变问题：
所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：
面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量；
x,；
y,xy存在，且仅为x,y的函数。
2.（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数「求解，应力
函数门必须满足哪些条件？
（1）相容方程：
N4①=0
（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，
（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。
二.问答题（36）
1.（12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积
分的应力边界条件。
（板厚1）
图5-1
在主要边界y二h2上，应精确满足下列边界条件：
6y"
2=「qX1，yxy»
2=°
；
二yy"
，5y=h2=^1
在次要边界X=0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚：
=1
时，
h2h2:
h2
」2二XxMy一Fn,」2二Xx^ydy=-M，上2xyx/y一Fs
在次要边界X=1上，有位移边界条件：
ux士=0,vX=1=0。
这两个位移边界条
2
二xx^yd^-M-Fsl-牛晋
262
件可以改用三个积分的应力边界条件代替：
上2Jx/y=「Fnqlxyx/y—Fs-畧
3
2.（10分）试考察应力函数cxy，c°
，能满足相容方程，并求出应力分量（不计
体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。
（1）相容条件：
将
⑰汙心严：
」口z卄口
j-cxy代入相容方程4222*4-°
，显然满足。
ex戲点ycy
（2）应力分量表达式：
①2-X2=6cxy，-y=0，xy「-3cy
（3）边界条件：
在主要边界y=±
3上，即上下边，面力为Qyy
=—3ch2
=h2「4C
在次要边界x=0,x=丨上，面力的主失和主矩为［九2
打dy=0
_|h-2
*L>
xZydy=o
+.-2
h2-h2
Jxjy二」26clydy=0
h2h22clh3
h2SxMy二」26c|yd"
-^-
\人0'
2Q2人C3
x卫dy=-」23cydy」4h
x=0,x=丨上面力的主失量和主矩如解图所示。
3.（14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为t,在一边侧面上受均布剪力q,如图5-3
所示，试求应力分量。
（提示：
采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力
分量；
「X-0）
采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定
律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量二x=0，
（1）假设应力分量的函数形式。
二x=0
（2）推求应力函数的形式。
此时，体力分量为
fx=0,fy='
g。
将二x=0代入应
0对x积分，得-
.:
yy
=yfxfix。
其中fX，f1x都是x的待定函数。
⑶由相容方程求解应力函数。
将式（
b）代入相容方程
ydfA=0
dx4dx4
这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y值都应该满
fx=Ax3Bx2Cx，f1x=Dx3Ex2（c）
fx中的常数项，f1x中的一次和常数项已被略去，因为这三项在冲的表达式
中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。
得应力函数
」-yAx3Bx2Cxi亠〔Dx3Ex2（d）
（4）由应力函数求应力分量。
-xfx
（f）
-yfy=6Axy2By6Dx2E-「gy，
;
2：
.xy
（5）考察边界条件。
利用边界条件确定待定系数先来考虑左右两边x二b2的主要边界条件:
CT
b
=-
X
）x
将应力分量式（e）和9）代入，这些边界条件要求:
由（h）（i）得
2b
件为
考察次要边界y=0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条
—3Ax3x—Cdx—A^
b丿4
由（h）（j）（k）得
将所得A、B、C、D、E代入式（e）（f）（g）得应力分量为:
qx_q
b4
匚x=0,匚y=_6段xy_qy_，gy，岑=3段％2
bbb
填空题（每个1分，共10X仁10分）。
1.弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套
方程，即方程、方程以及方程；
在弹性体的边界上，还
要建立边界条件，即边界条件和边界条件。
2•弹性力学基本假定包括假定、假定、假定、
假定和假定。
B.位移分量。
C.面力分量。
D.应力分量。
5•下列关于圣维南原理的正确叙述是D。
A.
B.
边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。
等效力系替换将不影响弹性体的变形。
圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意平移。
等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。
二、计算题（共15分）
如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为的液体，右侧为自由表面。
试写出以应力分量表示的边界条件。
C.
D.
在平面应力边界条件下，应力须满足
xl■•yxm=fx
xyl二fy
（1）
:
（5）
在x=ytg:
表面处，丨=cos1,
m=-sin:
；
fx=0,
fy=0
代入公式
（1）,得
ScosP-EyxsinB=0
JxyCosPsinP=0在x=-ytga处，|=_cosot
m=-sin：
fxh-ycos：
fy=■ysin:
二ycos：
=ysin：
[—jcosa—MyxSina
J.yCOS；
-；
「ySn
四、计算题（共10分）试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件?
x=Axy,y=By3,xy=C-Dy2；
应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即
/xy
x：
将各分量分别代入，得
厶=0，
x2
=0,
x_:
无论A、B、C、
⑷
⑵
D取何值,
都满足形变协调条件。
基本概念解释（24分，6小题）
弹性力学的基本假定
（2）
平面应变冋题
（3）
平面应力冋题
（4）
圣维南原理
（5）
逆解法
1、简单题（40分，4题）
（1）列出图示全部边界条件。
»
h
（2）求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程
F4222
A:
3xy（3h4y）
示qxy
（43
4h3
-3汁）光（2卡
⑶根据圣维南原理，比较图示中0A边的面力是否等效，h…b。
^q|./2
2、综合题（36分）
（1）设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，丨••h，试
用应力函数：
G=AxyByCyDxy3求解应力分量。
（J
■
二］
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