弹性力学基本概念和考点文档格式.docx

1、CT ptp2! + cP P1、 平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是 平衡的。2、 平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。二、 几何方程；（1）平面问题的几何方程；ux:（2）平面问题的几何方程（极坐标）门：门v ；u v1、几何方程反映了位移和应变之间的关系 2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确 定。（刚体位移）三、 物理方程；（1）平面应力的物理方程；1xy2 1E（2）平面应变的物理方程;1 一 “（J （Jx 1y21- E xy（3）极坐标的物理方程（平面应力）（4）极坐标的物理方程（平面应变）；2（

2、1）四、 边界条件；（1）几何边界条件;（2）应力边界条件;平面问题：匚7応（记）1 xy my 广 fy（3）接触条件；光滑接触：6=6 n为接触面的法线方向非光滑接触： 6二6 n为接触面的法线方向（Un ）=（4 ）（4）位移单值条件；U 厂 U2“（5）对称性条件：在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。一、概念1弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支 。2固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材 料力学。3基本任务：研究

3、由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、 形变和位移及其分布情况等。 4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围 更为广泛5弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；7弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。8几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。9物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。10平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。11当物体的位移

4、分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界 条件、应力边界条件和混合边界条件。13. 圣维南原理主要内容： 如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系， 变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同） ，那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计 。14.圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这

5、是因 为主失量和主矩都等于零的面力， 与无面力状态是静力等效的， 只能在近处产生显著的应力。15求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理、解的叠加原理、圣维南原理。会推导两种平衡微分方程17逆解法步骤：（1）先假设一满足相容方程（2-25）的应力函数（2）由式（2-24），根据应力函数求得应力分量（3） 在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体， 根据主要边界上的面力边界条件 （2-15）或次要边界上的积分边界条件 ，分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力， 从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数

6、或应力分量表 达式中的待定系数18半逆解法步骤:（1）对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形 的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部 分或全部应力分量的函数形式（2）按式（2-24），由应力推出应力函数 f的一般形式（含待定函数项）；（3）将应力函数f代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f的具体表达 形式；（4）将应力函数f代入式（2-24），由应力函数求得应力分量 （5）根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全（二 xl xym）s = fx（S）（J =fy（S）h/2才/2C xhdyFn计算一、单项选择题（按题意将正确答

7、案的编号填在括弧中， 每小题2分，共10分）1、 弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。A 相容方程 B 近似方法 C 边界条件 D 附加假定2、 根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ） 的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。A.几何上等效 B.静力上等效 C.平衡 D .任意3、 弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）0A.平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B.平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C.平衡方

8、程、物理方程相同，几何方程不同D.平衡方程相同，物理方程、几何方程不同在研究方法方面：材力考虑有限体 V的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV的平，结果比较精确。4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为 手 2丄2 写=0，x x ;y ;2 f 3 、 2 / 3 、6、设有函数=业码+ 3丫-1 +塑每，6设有函数 4 1 h3 h丿5 I h3 h丿（1） 判断该函数可否作为应力函数？ （ 3分）（2） 选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系 （见题九图）中能解决什么问题（lh）。（15分）解： 4 4 4（1）将代入相容方程二 2 冬 半=0，显然满足。因此

9、，该函数可以作为4 2-2 - 4x ;y :应力函数。/ （2）应力分量的表达式:=0Z 2 x2 h/2 6ql h 2 .仏！-Gyg-y 厂-ql对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发 生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力； 而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力 偶和铅直面力。所以，能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载 q的问题。2009 2010 学年第二学期期末考试试卷 （A ）卷一.名词解释（共10分，每小题5分）1.弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生

10、的应力、应变和位移。2.圣维南原理：（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同） ，那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。4.弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面。1.（8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有哪些特征？答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量

11、 二X，二y, xy存在，且仅为X,y的函数。平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平 行于xy平面，外力沿z轴无变化，只有平面应变分量 ；x , ；y, xy存在，且仅为x,y的函数。2.（8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数 求解，应力函数门必须满足哪些条件？（1）相容方程：N4=0（2 ）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。二.问答题（36）1.（12分）试列出图5-1的全部边界条件， 在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚 1）图5-1在主要边界 y二h 2

12、上，应精确满足下列边界条件：6 y2 =qX 1， yx y2 = ； 二 y y， 5 y = h2 =1在次要边界X = 0上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件， 当板厚：=1时，h 2 h 2 :h 22 二X xMy 一 Fn ,2 二X xydy = -M，上 2 xyx/y 一 Fs在次要边界X =1上，有位移边界条件： ux士 = 0, vX=1=0。这两个位移边界条2二x xyd-M -Fsl -牛晋2 6 2件可以改用三个积分的应力边界条件代替：上2 J x/y =Fn ql xy x/y Fs -畧32.（ 10分）试考察应力函数 cxy，c ，能满足相容方程，并求

13、出应力分量（不计体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢 和主矩。（1）相容条件：将 汙心 严： 口 z卄口j - cxy代入相容方程 4 2 2 2 * 4 - ，显然满足。ex 戲点y cy（2）应力分量表达式： 2 -X 2 =6cxy，- y = 0，xy-3cy（3）边界条件：在主要边界y = 3上，即上下边，面力为Q yy=3ch2=h24 C在次要边界x = 0, x =丨上，面力的主失和主矩为 九2打dy=0_|h -2* Lx Zydy=o+ .-2h 2 -h 2Jxjy 二26clydy =0h 2 h 2 2 clh3h2 SxMy

14、 二26c|y d- 人 02Q 2 人 C 3x卫dy=-23cy dy4hx =0,x =丨上面力的主失量和主矩如解图所示。3.（ 14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为 t ,在一边侧面上受均布剪力 q,如图5-3所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假 设材料符合简单的胡克定律， 故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压， 即可设应力分量；X - 0 ）采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量 二x =0，（1）假设应力分量的函数形式。 二x =0（2）推求应力函数的

15、形式。此时，体力分量为fx =0, fy = g。将二x = 0代入应0对x积分，得 -.:y y=yf x fi x。其中f X， f1 x都是x的待定函数。由相容方程求解应力函数。将式（b）代入相容方程ydfA =0dx4 dx4这是y的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的 y值都应该满f x = Ax3 Bx2 Cx， f1 x = Dx3 Ex2 （c）f x中的常数项，f1 x中的一次和常数项已被略去，因为这三项在 冲的表达式中成为y的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数-y Ax3 Bx2 Cx i亠Dx3 Ex2 （d）（4）由应力函数求应力分量。-xfx（f）

16、-yfy =6Axy 2By 6Dx 2E -gy，;2：.xy（5）考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边 x二b 2的主要边界条件:CTb=-X）x将应力分量式（e）和9）代入，这些边界条件要求:由（ h） （i） 得2b件为考察次要边界y=0的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条 3Ax 3x C dx Ab 丿 4由（h）（ j）（ k）得将所得A、B、C、D、E代入式（e）（ f）（ g）得应力分量为:qx_qb 4匚 x=0,匚 y = _6段 xy _ q y _，gy，岑=3段2b b b填空题（每个1分，共10X仁10分）。1.弹性力学的研究方法是

17、在弹性区域内部， 考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上， 还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。2 弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、假定和 假定。B.位移分量。C.面力分量。D.应力分量。5 下列关于圣维南原理的正确叙述是 D。A.B.边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。 等效力系替换将不影响弹性体的变形。圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意 平移。等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应 力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响 比较小。二、计算题（共15分）如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为 的液体，右侧

18、为自由表面。试写出以应力分量表示的边界 条件。C.D.在平面应力边界条件下，应力须满足xl yxm = fxxyl 二 fy（1） : （5）在x = ytg :表面处，丨=cos 1 ,m = -sin :；fx =0 ,fy = 0代入公式（1）,得ScosP -Eyxsin B = 0JxyCosP sin P = 0 在 x = -ytga 处，| = _cosotm = -sin ：fx h- ycos：fy = ysin :二 ycos：=ysin：jcosa MyxSi naJ .yCOS； -；yS n四、计算题（共10分） 试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需

19、满足什么条件?x =Axy, y =By3, xy=C-Dy2 ；应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即/ xyx：将各分量分别代入，得厶=0，x2=0,x _:无论A、B、C、D取何值,都满足形变协调条件。基本概念解释（24分，6小题）弹性力学的基本假定（2）平面应变冋题（3）平面应力冋题（4）圣维南原理（5）逆解法1、简单题（40分，4题）（1）列出图示全部边界条件。h（2）求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程F 4 2 2 2A: 3 x y （3h 4y ）示 qx y（4 34 h3-3汁）光（2卡 根据圣维南原理，比较图示中 0A边的面力是否等效， hb。q|./22、综合题（36分）（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用 （如图），体力不计，丨 h，试用应力函数：G = Axy By Cy Dxy3求解应力分量。（J二