九年级数学下册专题一实验操作型问题导学案新版新人教文档格式.docx
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第一步：
先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：
再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1－1①；
第三步：
再沿EA′所在的直线折叠，使点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图②.
（1）求证：
∠ABE＝30°
；
（2）求证：
四边形BFB′E为菱形．
【例题分层探究】
（1）由第一步折叠可得到哪三条线段平行？
哪些线段相等？
（2）由第二步折叠可得△ABE与△A′BE有哪些相等的角？
（3）由第三步折叠可得点B，A′，B′有什么位置关系？
【解题方法点析】
解答折叠问题的关键是根据折叠前后的图形全等且关于折痕所在的直线轴对称，得到有关线段、角的位置和数量关系，从这些条件出发，经过推理论证，获得问题的答案．
证明：
（1）由
第一步折叠的过程可得AD∥MN∥BC，AM＝B
M，∴EA′＝A′F（平行线分线段成比例定理）．由第二步折叠的过程可得△ABE≌△A′BE，∴∠ABE＝∠A′BE，∠A＝∠EA′B＝90°
，∴∠BA′F＝∠EA′B＝90°
.在△A′BE与△A′BF中，
∴△A′BE≌△A′BF（SAS），∴∠A′BE＝∠A′BF.
（2）由第三步折叠知BA′＝B′A′，点B，A′，B′在同一直线上，∴B′B⊥EF.在四边形BFB′E中，EA′＝A′F，BA′＝B′A′，∴四边形BFB′E是平行四边形．∵B′B⊥EF，∴四边形BFB′E是菱形．探究二平移和旋转型操作题
例2如图1－2①所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为α.
（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；
（2）如图1－2②，G为BC的中点，且0°
＜α＜90°
，求证：
GD′＝E′D；
（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？
若能，直接写出旋转角α的值；
若不能，说明理由．
（1）图形的旋转有哪些特征？
（2）在图1－2①中，当点D′恰好落在EF边上时，如何求旋转角α的值？
（3）在图1－2②中，G为BC的中点，如何证明△GCD′≌△E′CD?
（4）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△
CBD′在什么情况下可以全等？
此时的旋转角α的值是多少？
【解题方法点析】旋转有三个要素：
（1）旋转中心；
（2）旋转方向；
（3）旋转角．画旋转图形的关键是确定各顶点旋转后的位置，旋转前后各顶点相互之间的位置关系保持不变．利用这种不变性，可快速确定某些顶点旋转后的位置．
（2）证明：
∵G为BC的中点，∴GC＝CE＝CE′＝1.∵∠D′CG＝∠DCG＋∠DCD′＝90°
＋α，∠DCE′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°
＋α，∴∠D′CG＝∠DCE′.又∵CD′＝CD,∴△GCD′≌△E′CD,∴GD′＝E′D.（3）能．α＝135°
或α＝315°
.探究三图形分割剪拼操作题
例3
（1）如图1－3①，在△ABC中，∠C＝90°
，请用直尺和圆规作一条直线，把△ABC分割成两个等腰三角形（不写作法，但须保留作图痕迹）；
（2）已知内角度数的两个三角形如图②，③所示．请你判断，能否分别画一条直线把它们分割成两个等腰三角形？
若能，请写出分割成的两个等腰三角形顶角的度数．
（1）等腰三角形有哪些性质？
（2）在图1－3①中，若过点C作一条直线，交AB于点M，使∠ACM＝24°
，则△BCM的三个内角分别是多少度？
它是等腰三角形吗？
用类似的方法，过点B和点A可以吗？
（3）在图②和图③中，类似
（1），探究△ABC可能分为两个等腰三角形吗？
若能，请指出如何作．【解题方法点析】
剪拼问题通常先给出图形（这个图形可能是规则的，也可能是不规则的），然后将图形剪、拼成面积相同或形状相同或具有某一特点的图
形．解决这类问题时可以借助对称的性质、面积公式等．解：
（1）如图，直线CM即为所求．
（2）图②能画一条直线分割成两个等腰三角形，分割成的两个等腰三角形的顶角分别是
132°
和84°
，图③不能分割成两个等腰三角形．考题实战演练
1.如图1－4，从边长为（a＋4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a＋
1）cm的小正方形（a>
0），剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ D ）A．（2a2＋5a）cm2B．（3a＋15）cm2C．（6a＋9）cm2D．（6a＋15）cm2
2．将一张正方形纸片，按如图1－5①②所示，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是（ B ）
3．如图1－7，在矩形ABCD中，AB＝
，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是__________．
图1－7
4．对正方形ABCD进行分割，如图1－8①，其中E，F分别是BC，CD的中点，M，N，G分别是OB，OD，EF的中点，沿分割线可以剪出一副“七巧板”，用这些部件可以拼出很多图案，图②就是用其中6块拼出的“飞机”．若△GOM的面积为1，则“飞机”的面积为____14____．
5．已知四边形ABCD，请使用无刻度直尺画图．
（1）在图1－9①中画一个与四边形ABCD面积相等，且以CD为边的三角形；
（2）在图1－9②中画一个与四边形ABCD面积相等，且以AB为边的平行四边形．
6．如图1－10所示，正方形网格中，△ABC为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
（1）把△ABC沿BA方向平移后，点A移到点A1，在网格中画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）把△A1B1C1绕点A1按逆时针旋转90°
，在网格中画出旋转后的△A1B2C2；
（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点B经过
（1）
（2）变换的路径总长
．
解：
（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△A1B2C2如图所示．
7．课本的作业题中有这样一道题：
把一张顶角为36°
的等腰三角形纸片剪两刀，如图1－11①，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？
请画示意图说明剪法．我们有多种剪法，图1－11①是其中的一种方法．定义：
如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
（1）请你在图②中用两种不同的方法画出顶角为45°
的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；
（2）在△ABC中，∠B＝30°
，AD和D
E是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°
，试画出示意图，并求出x的所有可能值；
（3）如图③，在△AB
C中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
（1）如图所示．
（2）如图．当AD＝AE时，2x＋x＝30＋30，∴x＝20；
当AD＝DE时，30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40；
当AE＝DE时，不存在．∴∠C＝20°
或40°
.
（3）如图，CD，AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，
8．如图1－12①，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上（不与点A，B重合），点F在BC边上（不与点B，C重合）．第一次操作：
将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；
第二次操作：
将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；
依此操作下去……
（1）图②中的△EFD是经过两次操作后得到的，其形状为________，求此时线段EF的长；
（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH的形状为________，
此时A
E与BF的数量关系是________；
②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH
的面
积为y，求y与x之间的函数解析式及面积y的取值范围．
（1）等边三角形∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°
.∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF，∴AE＝CF，∴BE＝BF，∴△BEF是等腰直角三角形．
（2）①正方形 AE＝BF
②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴y＝（4－x）2＋x2＝2x2－8x＋16（0＜x＜4）．∵y＝2x2－8x＋16＝2（x－2）2＋8，∴当x＝2时，y取得最小值8，当x＝0时，y＝16.∴y的取值范围是8≤y＜16.
四.
课堂小结
本节课你有什么收获？
实验操作性问题主要是图形操作题，可分为折叠操作题、平移旋转变换题和图形分割操作题三种类型，解决这类问题需要通过观察、操作、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等实践活动和思维过程，灵活运用所学知识和生活经验，探索和发现结论，从而解决问题．
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