一次函数方案选择问题.docx
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一次函数方案选择问题
一次函数方案选择问题
利用一次函数选择最佳方案
（1）根据自变量的取值范围选择最佳方案:
A、列出所有方案，写出每种方案的函数关系式；
B、画出函数的图象，求出交点坐标，利用图象来讨论自变量在哪个范围内取哪种方案最佳。
（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：
A、首先弄清最佳方案量与其他量之间的关系，设出最佳方案量和另外一个量，建立函数关系式。
B、根据条件列出不等式组，求出自变量的取值范围。
C、根据一次函数的增减性，确定最佳方案。
根据自变量的取值范围选择最佳方案:
例1、某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。
印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。
两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：
（1）填空：
甲种收费方式的函数关系式是___________。
乙种收费方式的函数关系式是___________。
（2）该校某年级每次需印制100∽450（含100和450）份
（3）
（4）
（2）根据一次函数的增减性来确定最佳方案：
例3、博雅书店准备购进甲、乙两种图书共100本，购书款不高于2224元，预计这100本图书全部售完的利润不低于1100元，两种图书的进价、售价如下表所示：
甲种图书
乙种图书
进价（元/本）
16
28
售价（元/本）
26
40
请解答下列问题：
（1）有哪几种进书方案？
（2）在这批图书全部售出的条件下，
（1）中的哪种方案利润最大？
最大利润是多少？
（3）博雅书店计划用
（2）中的最大利润购买单价分别为72元、96元的排球、篮球捐给贫困山区的学校，那么在钱恰好用尽的情况下，最多可以购买排球和篮球共多少个？
请你直接写出答案。
例4、某学校计划在总费用2300元的限额内，利用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。
现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表：
甲种客车
乙种客车
载客量（单位：
人/辆）
45
30
租金（单位：
元/辆）
400
280
（1）共需租多少辆汽车？
（2）给出最节省费用的租车方案。
例5、某市的A县和B县春季育苗，急需化肥分别为90吨和60吨，该市的C县和D县分别储存化肥100吨和50吨，全部调配给A县和B县，已知C、D两县运化肥到A、B两县的运费（元/吨）如下表所示：
（1）设C县运到A县的化肥为x吨，求总运费W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求最低总运费，并说明总运费最低时的运送方案。
一、生产方案的设计
例1（镇江市）在举国上下众志成城，共同抗击非典的非常时期，某医药器械厂接受了生产一批高质量医用口罩的任务．要求在８天之内（含８天）生产Ａ型和Ｂ型两种型号的口罩共５万只，其中Ａ型口罩不得少于1.8万只，该厂的生产能力是：
若生产Ａ型口罩每天能生产0.6万只，若生产Ｂ型口罩每天能生产0.8万只，已知生产一只Ａ型口罩可获利0.5元，生产一只Ｂ型口罩可获利0.3元．
（1）设该厂在这次任务中生产了Ａ型口罩万只．问：
（１）该厂生产Ａ型口罩可获利润_____万元，生产Ｂ型口罩可获利润_____万元；
（２）设该厂这次生产口罩的总利润是万元，试写出关于的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（３）如果你是该厂厂长：
①在完成任务的前提下，你如何安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数，使获得的总利润最大？
最大利润是多少？
②若要在最短时间内完成任务，你又如何来安排生产Ａ型和Ｂ型口罩的只数?
最短时间是多少？
分析：
（１）0.5，0.3（5－）；
（２）＝0.5＋0.3（5－）＝0.2＋1.5，
首先，1.8≤≤５，但由于生产能力的限制，不可能在８天之内全部生产Ａ型口罩，假设最多用天生产Ａ型，则（８－）天生产Ｂ型，依题意，得0.6＋0.8（８－）＝５，解得＝７，故最大值只能是0.6×7＝4.2，所以的取值范围是1.8（万只）≤≤4.2（万只）；
（３）要使取得最大值，由于＝0.2＋1.5是一次函数，且随增大而增大，故当取最大值4.2时，取最大值0.2×4.2＋1.5＝2.32（万元），即按排生产Ａ型4.2万只，Ｂ型0.8万只，获得的总利润最大，为2.32万元；
若要在最短时间完成任务，全部生产Ｂ型所用时间最短，但要求生产Ａ型1.8万只，因此，除了生产Ａ型1.8万只外，其余的3.2万只应全部改为生产Ｂ型．所需最短时间为1.8÷0.6＋3.2÷0.8＝７（天）．
1、（2011岳阳）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：
配件种类
甲
乙
丙
每人可加工配件的数量（个）
16
12
10
每个配件获利（元）
6
8
5
（1）设加工甲种配件的人数为x，加工乙种配件的人数为y，求y与x之间的函数关系式．
（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？
并写出每种安排方案．
（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用
（2）中哪种方案？
并求出最大利润值．
二、营销方案的设计
例２（湖北） 一报刊销售亭从报社订购某晚报的价格是每份0.7元，销售价是每份１元，卖不掉的报纸还可以0.20元的价格退回报社．在一个月内（以30天计算），有20天每天可卖出100份，其余10天每天只能卖出60份，但每天报亭从报社订购的份数必须相同．若以报亭每天从报社订购的份数为自变量，每月所获得的利润为函数．
（１）写出与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；
（２）报亭应该每天从报社订购多少份报纸，才能使每月获得的利润最大？
最大利润是多少？
分析：
（１）由已知，得应满足60≤≤100，因此，报亭每月向报社订购报纸30份，销售（20＋60×10）份，可得利润0.3（20＋60×10）＝6＋180（元）；退回报社10（－60）份，亏本0.5×10（－60）＝5－300（元），故所获利润为＝（6＋180）－（5－300）＝＋480，即＝＋480．
自变量的取值范围是60≤≤100，且为整数．
（２）因为是的一次函数，且随增大而增大，故当取最大值100时，最大值为100＋480＝580（元）．
2、（2011营口）某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共15台，三种家电的进价和售价如下表所示：
价格
种类
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
2000
2100
冰箱
2400
2500
洗衣机
1600
1700
其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半．国家规定：
农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴．设购进电视机的台数为x台，三种家电国家财政共需补贴农民y元．
（1）求出y与x之间的函数关系；
（2）在不超出现有资金的前提下，商场有哪几种进货方案？
（3）在
（2）的条件下，如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？
运输
单位
运输速度（千米／时）
运输费用（元／千米）
包装与装卸时间（小时）
包装与装卸费用（元）
甲公司
60
６
４
1500
乙公司
50
８
２
1000
丙公司
100
10
3
700
三、优惠方案的设计
例３（南通市） 某果品公司急需将一批不易存放的水果从Ａ市运到Ｂ市销售．现有三家运输公司可供选择，这三家运输公司提供的信息如下：
解答下列问题:
（１）若乙、丙两家公司的包装与装卸及运输的费用总和恰好是甲公司的２倍，求Ａ，Ｂ两市的距离（精确到个位）；
（２）如果Ａ，Ｂ两市的距离为千米，且这批水果在包装与装卸以及运输过程中的损耗为300元／小时，那么要使果品公司支付的总费用（包装与装卸费用、运输费用及损耗三项之和）最小，应选择哪家运输公司？
分析：
（１）设Ａ，Ｂ两市的距离为千米，则三家运输公司包装与装卸及运输的费用分别是：
甲公司为（6＋1500）元，乙公司为（8＋1000）元，丙公司为（10＋700）元，依题意，得
（8＋1000）＋（10＋700）＝２×（6＋1500），
解得＝216≈217（千米）；
（２）设选择甲、乙、丙三家公司的总费用分别为，，（单位：
元），则三家运输公司包装及运输所需的时间分别为：
甲（＋４）小时；乙（＋２）小时；丙（＋３）小时．从而
＝6＋1500＋（＋４）×300＝11＋2700，
＝8＋1000＋（＋２）×300＝14＋1600，
＝10ｓ＋700＋（＋３）×300＝13ｓ＋1600，
现在要选择费用最少的公司，关键是比较，，的大小．
∵＞０，∴＞总是成立的，也就是说在乙、丙两家公司中只能选择丙公司；在甲和丙两家中，究竟应选哪一家，关键在于比较和的大小，而与的大小与Ａ，Ｂ两市的距离的大小有关，要一一进行比较．
当＞时，11＋2700＞13＋1600，解得＜550，此时表明：
当两市距离小于550千米时，选择丙公司较好；
当＝时，＝550，此时表明：
当两市距离等于550千米时，选择甲或丙公司都一样；
当＜时，＞550，此时表明：
当两市的距离大于550千米时，选择甲公司较好．
3、实验学校计划组织共青团员372人到某爱国主义基地接受教育，并安排8们老师同行，经学校与汽车出租公
司协商，有两种型号客车可供选择，它们的载客量和租金如下表，为保证每人都有座位,学校决定租8辆车。
甲种客车
乙种客车
载客量（人/辆）
50
30
租金（元/辆）
400
200
（1）写出符合要求的租车方案，并说明理由。
（2）设租甲种客车x辆人，总租金共y（元），写出y与x之间的函数关系式。
（3）在
（1）方案中,求出租金最少租车方案。
四．调运方案的设计
例４ Ａ城有化肥200吨，Ｂ城有化肥300吨，现要把化肥运往Ｃ，Ｄ两农村，如果从Ａ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是20元／吨与25元／吨，从Ｂ城运往Ｃ，Ｄ两地运费分别是15元／吨与22元／吨，现已知Ｃ地需要220吨，Ｄ地需要280吨，如果个体户承包了这项运输任务，请你帮他算一算，怎样调运花钱最小?
分析：
根据需求，库存在Ａ，Ｂ两城的化肥需全部运出，运输的方案决定于从某城运往某地的吨数．也就是说．如果设从Ａ城运往Ｃ地吨，则余下的运输方案便就随之确定，此时所需的运费（元）也只与（吨）的值有关．因此问题求解的关键在于建立与之间的函数关系．
解：
设从Ａ城运往吨到Ｃ地，所需总运费为元，则Ａ城余下的（200－）吨应运往Ｄ地，其次，Ｃ地尚欠的（220－）吨应从Ｂ城运往，即从Ｂ城运往Ｃ地（220－）吨，Ｂ城余下的300－（220－）＝15（220－）＋22（80＋），
即＝２＋10060，
因为随增大而增大，故当取最小值时，的值最小．而０≤≤200，
故当＝０时，最小值＝10060（元）．
因此，运费最小的调运方案是将Ａ城的200吨全部运往Ｄ地，Ｂ城220吨运往Ｃ地，余下的80吨运往Ｄ地．
4、某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：
空调机
电冰箱
甲连锁店
200
170
乙连锁店
160
150
设集团调配给甲连锁店x台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围；
（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利a元销售
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