导数中的零点问题.docx

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导数中的零点问题

导数中的零点问题

1.已知函数•

（I）若曲线在点处的切线与直线垂直，数的取值；

（n）求函数的单调区间；

（川）记•当时，函数在区间上有两个零点，数的取值围

2.已知函数

（I）若的图像与直线相切，求

（n）若且函数的零点为

设函数

（为自然常数）

3•已知函数•

（1）若时，讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间上恰有2个零点，数的取值围

4•已知函数（为自然对数的底数，）,在处的切线为.

（1）求函数的解析式；

（2）在轴上是否存在一点，使得过点可以作的三条切钱？

若存在，请求出横坐标为整

数的点坐标；若不存在，请说明理由

2

x

5.已知函数fx2lnxaR,a0

a

（1）讨论函数fx的单调性;

m有三

（2）若函数fx有最小值，记为ga，关于a的方程gaa1

9a

个不同的实数根，数m的取值围.

e为自然对数的底数）.

a

6.已知函数fxx2—（aR,e

（i）求函数fx的极值；

7.已知函数（为自然对数的底数）

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）当时，不等式恒成立，数的取值围；

（3）设，当函数有且只有一个零点时，数的取值围

8．已知函数.

（1）若函数有两个零点，数的取值围；

（2）若函数有两个极值点，试判断函数的零点个数

9．已知函数.

（I）讨论的单调性；

（n）是否存在实数，使得有三个相异零点？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由

10.已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记，当时，函数在区间上有两个零点，数的取值围

11.已知函数貿“弋词宀1）

（1）讨论的导函数零点的个数；

（2）若函数的最小值为，求的取值围

12.於）■世-lhgg）-（ax-lje^a€R.

（1）证明：

存在唯一实数，使得直线和曲线相切;

（2）若不等式有且只有两个整数解，求的围.

32

13.已知函数fxaxbx3xa,bR在点1,f1处的切线方程为y20.

（1）求函数fx的解析式；

（2）若经过点M2,m可以作出曲线yfx的三条切线，数m的取值围.

22

14.已知函数fxx—alnx,aR.

x

（1）

处的切线方程;

1.52.

1.946.

若fx在x2处取极值，求fx在点1,f1

（2）当a0时，若fx有唯一的零点x0，求xo.注x表示不超过x的最大整数，如0.60,2.12,

参考数据：

ln20.693,1n31.099,1n51.609,1n7

15.已知函数fxexmxlnxm1x；

（1）若m1,求证：

fx在0,上单调递增;

（2）若gx=f'x，试讨论gx零点的个数.

ax

16．已知函数fxeax?

sinx1，，其中a0．

（I）当a1时，求曲线yfx在点0，f0处的切线方程；

（n）证明：

fx在区间0,上恰有2个零点.

参考答案

1.（i）；（n）当时，减区间为；当时，增区间为，减区间为；（川）.

【解析】

【分析】

（1）先求出函数f（X）的定义域和导函数f'（X）,再由两直线垂直的条件可得f'

（1）=-3，求出a的值；

（2）求出f'（x）,对a讨论，由f'（x）>0和f'（x）v0进行求解，即判断出函数的单调区间；

（3）由

（1）和题意求出g（x）的解析式，求出g（x）,由g（x）>0和g'（x）v0进行求解,即判断出函数的单调区间,再由条件和函数零点的几何意义列出不等式组,求出b的围.

【详解】

（i）定义域，,,

（n）

当,,单减区间为

当时

令,单增区间为；令,单减区间为

当时,单减区间

•••当时，减区间为；

当时,增区间为,减区间为；

（川）

令,,

令,；令,

•是在上唯一的极小值点,也是唯一的最小值点

•••在上有两个零点

b>1

1

b£2e+--3e

•••只须

g（eja0

2

b5e+-*1

【点睛】

注意求出

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及几何意义、函数零点等基础知识,

函数的定义域，考查计算能力和分析问题的能力.

2.

（1）

（2）有两个不同的零点

【解析】分析：

（1）设切点坐标为，故可以关于的方程组，从该方程组解得.

（n）因，故为减函数，结合可得的零点•又是分段函数，故分别讨论在上的单调性，结

；利用零点存在定理得到有两个不同的零点.

详解：

（i）设切点，所以，故，从而

又切点在函数上，所以即，故，

解得，.

（n）若且函数的零点为，

因为，，为上的减函数，

故.

lnx-x-ta+1）h（x）

fiW=—-—=—

当时，，

因为，

当时，；

当时，，

则在上单调递增，上单调递减，则，

所以在上单调递减.

当时，，

所以在区间上单调递增.

alnxo叫

sW==—<0

，且;

a12a+2e2+2

g（e）=—1__>Org（e）=2>2>0

又ee『€,

所以函数在区间上存在一个零点，在区间上存在一个零点.

综上，有两个不同的零点.

点睛：

处理切线问题的核心是设出切点坐标，因为它的横坐标沟通了切线的斜率和函数在该

值处的导数•零点问题需要利用导数明确函数的单调性，再结合零点存在定理才能判断函数

零点的个数.

3.

（1）见解析；

（2）

【解析】分析：

（1）求出，分三种情况讨论的围，在定义域，分别令求得的围，可得函数增区间，求得的围，可得函数的减区间；

（2）分三种情况讨论的围，分别利用导数研究函数的

单调性，结合零点存在定理与函数图象，可筛选出函数在区间上恰有2个零点的实数的取值

围•详解：

（1）

当时，，此时在单调递增;

当时,

①当时，，恒成立，，此时在单调递增;

在和上单调递增；在上单调递减；

综上：

当时，在单调递增；

当时，在和上单调递增；

在上单调递减；

（2）当时，由

（1）知，在单调递增，，

此时在区间上有一个零点，不符；

当时，，在单调递增；，

此时在区间上有一个零点，不符；

当时，要使在恰有两个零点，必须满足

在区间上恰有两个零点时，

点睛：

导数及其应用通常围绕四个点进行命题•第一个点是围绕导数的几何意义展开，；第

二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值（最值）展开，设计求函数的单调区间、极值、

最值，已知单调区间求参数或者参数围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与

整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，；第四个点是围数性质并把函数

性质用来分析不等式和方程等问题的能力.

4.

（1）

（2）不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线

【解析】分析：

（1）求出f（x）的导数，由切线方程可得切线斜率和切点坐标，可得a=2,

备K1

卜¥=■X■JL）十£!

■—x_

即可得到f（x）的解析式；

（2）令，设图象上一点，，该处的切线°°2,

KK

又过点则2过作3条不同的切线，则方程有3个不同实根，进而

F（x）=（e*-x）（t*x）+『

构造2，图象与轴有3个不同交点

详解：

（1）,

由题意可知

，即

（2）,令，

设图象上一点，，

M-1,

l:

y=（e+e—xj

该处的切线2

又过点则2①

过作3条不同的切线，则方程①关于有3个不同实根

F（x）=（e'f+e--x2

令2，图象与轴有3个不同交点

（1）当，，是单调函数，不可能有3个零点

（2）当，或时，当时，

所以在单调递减，单调递增，单调递减

曲线与轴有个交点，应该满足

，当，又，所以无解

（3）当，或时，，当时，

在单调递减，单调递增，单调递减，应满足

，当，又，无解，

综上，不存在横坐标为整数的点，过该点可以作的三条切线

点睛：

（1）函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：

①结合零点存在性定理，禾U用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数.

（2）本题将方程实根个数的问题转化为两函数图象交点的问题解决

5.

（1）

当a0时,

fx在0,

上递减，当a

0时，

fx在0,-、a上递减，在

上递增；

1

（2）—In2In3

1

m-

In3

3

3

【解析】

试题分析：

（1）函数求导得f'

2x

x

2

分a

0和a0两种情况讨论即可；

2

（2）结合

（1）中的单调性可得最值ga1lna，即maIna（a0），令

9a

FaaIna—（a0），求导得单调性得值域即可.

9a

试题解析：

2x

2/c、

（1）

f'x

（x0）,

a

x

1a

0时，

f'x

0，知fx在0,

上是递减的；

2x.ax、a

1a

0时，

f'x

•，知fx在0,a上是递减的，在、、a,

ax

上递增的

（2）由

（1）知，a

0，fxmin

f\a1

Ina,即g

a1Ina,

方程

ga

a21

m，即

ma

2Ina（a

0）,

9a

9a

2

1

2

3a

13a2

令F

a

aIna

（a0）,

则F'

a1—

2

2,

9a

a

9a

9a

12

知Fa在o丄和土

是递增的，

12

3,3

是递减的，

3

3

Fa极大

F1

1

In3，Fa极小

F

21

In2In3,

3

3

33

1

依题意得1

In2

In3

1mIn3.

3

3

点睛：

已知函数有零点求参数常用的方法和思路：

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数围;

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成函数的值域问题解决；

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一个平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解•

6.

（1）见解析

（2）k的最大值为1.

【解析】试题分析：

（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导

当a0,fx在xIna处取得极小值Ina,无极大值

1

（n）当a1时，fxx2—.

e

直线l:

ykx2与曲线yfx没有公共点，

1

等价于关于x的方程kx2x2—在R上没有实数解，即关于x的方程:

e

1

k1x—*在R上没有实数解.

e

1

1当k1时，方程*可化为—0,在R上没有实数解.

e

2当k1时，方程*化为二x