小学奥数计算专题数列与数表.docx
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小学奥数计算专题数列与数表
2021年小学奥数计算专题——数列与数表
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、解答题
1.下面是两个具有一定的规律的数列,请你按规律补填出空缺的项:
(1)1,5,11,19,29,___,55;
(2)1,2,6,16,44,___,328.
2.有一列由三个数组成的数组,它们依次是(1,5,10);(2,10,20);(3,15,30);…….问第99个数组内三个数的和是多少?
3.0,1,2,3,6,7,14,15,30,___,___,___.
上面这个数列是小明按照一定的规律写下来的,他第一次先写出0,1,然后第二次写出2,3,第三次接着写6,7,第四次又接着写14,15,依此类推.那么这列数的最后3项的和应是多少?
4.仔细观察下面的数表,找出规律,然后补填出空缺的数字.
5.图中各个数之间存在着某种关系.请按照这一关系求出数a和b.
6.将8个数从左到右排成一行,从第三个数开始,每个数恰好等于它前面两个数之和.如果第7个数和第8个数分别是81,131,那么第一个数是多少?
7.1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,….
上面是一串按某种规律排列的自然数,问其中第101个数至第110个数之和是多少?
8.如果把1到999这些自然数按照从小到大的顺序排成一排,这样就组成了一个多位数:
12345678910111213…996997998999.
那么在这个多位数里,从左到右的第2000个数字是多少?
9.标有A,B,C,D,E,F,G记号的7盏灯顺次排成一行,每盏灯各安装着一个开关.现在A,C,D,G这4盏灯亮着,其余3盏灯是灭的.小方先拉一下A的开关,然后
拉B,C,……,直到G的开关各一次,接下去再按从A到G的顺序拉动开关,并依此循环下去.他这样拉动了1990次后,亮着的灯是哪几盏?
10.在l,2两数之间,第一次写上3;笫二次在1,3之间和3,2之间分别写上4,5,得到
l4352
以后每一次都在已写上的两个相邻数之间,再写上这两个相邻数之和.这样的过程共重复了8次,那么所有数的和是多少?
11.有一列数:
l,1989,l988,l,l987,….
从第三个数起,每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差.那么第1989个数是多少?
12.在l,9,8,9后面顺次写出一串数字,使得每个数字部等于它前面两个数字之和的个位数字,即得到
l,9,8,9,7,6,3,9,2,l,3,4,….
那么这个数串的前398个数字的和是多少?
13.有一列数:
2,3,6,8,8,….
从第三个数起,每个数都是前两个数乘积的个位数字,那么这一列数中的第80个数是多少?
14.1999名学生从前往后排成一列,按下面的规则报数:
如果某个同学报的数是一位数,后面的同学就要报出这个数与9的和;如果某个同学报的数是两位数,后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和.现在让第一个同学报l,那么最后一个同学报的数是多少?
15.将从l至60的60个自然数排成一行,成为1l1位自然数,即
12345678910111213…5960.
在这111个数字中划去100个数字,余下数字的排列顺序不变,那么剩下的11位数最小可能是多少?
16.填在图的三个正方形内的数具有相同的规律.请你依据这个规律,确定出A,B,C.
17.图是一个由整数组成的三角形.试研究它的组成规律,从而确定出x的数值.
18.如图所示的数阵中的数字是按一定规律排列的.那么这个数阵中第100行左起笫5个数字是多少?
19.如图所示,把自然数中的偶数2,4,6,8,…,依次排成5列,如果各列从左到右依次称为第1列、第2列、第3列、第4列和第5列,那么,数1986出现在第几列?
20.在图所示的数表中,第100行左边第一个数是多少?
21.在图所示的数表中第n行有一个数A,它的下面一行,即第n+1行有一个数B,并且A和B在同一竖列.如果A+B=391,那么n等于多少?
22.如图,自然数按某种方式排列起来,其中数3排在第二行第一列,13排在第三行第三列.问:
1993排在第几行第几列?
23.图按照一定规律组成的三角形数阵,其中第一排有1个数,第二排有2个数,第三排有3个数,…,最后一排有10个数.如果把这55个数相加,问:
所得到的和的十位数字是几?
24.如图,将自然数1,2,3,4,…,按箭头所指方向顺序排列,拐弯位置处的数依次是2,3,5,7,10,….
(1)如果认为2位于第一次拐弯处,那么第45次拐弯处的数是多少?
(2)从1978到2010的自然数中,恰在拐弯处的数是多少?
25.有一张写着自然数l至100的数表,可以在表中相邻两行内各取连续的3个数,然后用长方框围起来.例如,图17-10中所示长方框内的6个数之和是108.如果某个按上述方式形成的长方框所围出的6个数之和是480,那么其中最大的数应该是多少?
26.有一列数,第一个数是105,第二个数是85,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的平均数,那么第19个数的整数部分是几?
27.自然数的平方按从小到大的顺序.排列成14916253649….问第612个位置上的数字是几?
28.把除1外的所有奇数依次按一项,二项,三项,四项循环的方式进行分组:
(3),(5,7),(9,11,13),(15,17,19,21),(23),(25,27),(29,3l,33),(35,37,39,41),(43),…….那么,第1994个括号内的各数之和是多少?
29.一堆球,如果球的总数是10的倍数,就平均分成10堆并拿走9堆;如果球的总数不是10的倍数,就添加不多于9个球,使球数成为10的倍数,再平均分成10堆并拿走9堆.这个过程称为一次“均分”.若球仅为一个,则不做“均分”.如果最初有球1234…19961997个,问经过多少次“均分”和添加多少个球后,这堆球便仅余下一个球?
二、其他计算
30.如图,有一系列图形:
当n=l时,长方形ABCD分为2个直角三角形,总计可数出5条边:
当n=2时,长方形ABCD分为8个直角三角形,总计可数出16条边;当n=3时,长方形ABCD分为18个直角三角形,总计可数出33条边.问:
当n=100时,长方形ABCD应分为多少个直角三角形?
总共可数出多少条边?
参考答案
1.
(1)41
(2)120
【解析】在数列
(1)中,相邻两项的差分别为4、6、8、10.容易看出相邻两项的差每次增加2,因此下一个差应该是10+2=12,补填的数应该是29+12=41.而41+14=55,亦满足此规律.
在数列
(2)中,从第二项开始,出现的项都是偶数,可以发现:
(1+2)×2=6,(2+6)×2=16,(6+16)×2=44.即从第三项开始,数列的每一项都是它前面两项和的2倍,应补填的数为(16+44)×2=120.而(44+120)×2=328,亦满足此规律.
2.1584
【解析】这些数组的第一个数等于项数,第二个数等于项数的5倍,第三个数等于项数的10倍.
显然这个数组的第99个数字的第一个数字为99,则第二个数字为99×5=495,第三个数字为99×10=990,所以这三个数字的和为99+495+990=1584.
3.156
【解析】(0,1),(2,3),(6,7),(14,15),(30,___),(___,___)
注意到从第二组数开始,每组数的第一个数是前一组最后一个数的2倍,而每组内的两个数字连续,所以30后面为31,下一组的第一个数为31×2=62,下一组的第二个数为62+1=63,所以这列数的最后3项为31+62+63=156.
4.79,19
【解析】
(1)第二行的数均比第一行对应的数大21,所以58下面第二行数为58+21=79,即空格内填79.
(2)每行的第一、二列数的和比第三列数大17,如14+9-17=5,21+8-13=17,所以第一行的第三列数为28+9-17=19.
即空格内填19.
5.a=24,b=28
【解析】考察相邻圆周及它们公共区域上所填入的数字后发现如下关系:
10+20=30=15×2,20+40=60=30×2,即两圆的公共部分上的数字是它旁边两个区域中数字的平均数,于是应该有a=20×2-16=24,b=(16+40)÷2=28,验证后发现此规律成立.
6.5
【解析】显然,我们可以倒推,每个数都是后面的第二个数与后面第一个数的差,有第6个数为131-81=50,第5个数为81-50=31,第4个数为50-31=19,第3个数为31-19=12,第2个数为19-12=7,第1个数为12-7=5.
7.365
【解析】我们注意到(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(4,5,6),…
每组数的第一个等于项数,而101÷3=33……2,即第101个数为第34组的第2个数,而第34组数为(34,35,36),所以第101个数至110个数为(__,35,36),(35,36,37),(36,37,38),(37,38,__),
所以这10个数的和为35+36+35+36+37+36+37+38+37+38=2×35+3×36+37×3+38×2=365.
即其中第101个数至第110个数之和是365.
8.0
【解析】
其中一位数字有9个,两位数从10~99有90个,占有90×2=180个数字,三位数为100~999有900个,占有900×3=2700个,
而2000-9-180=1811,所以第2000个数字是从100的1开始的第1811个数字,有1811÷3=603……2,即第100+603=703的第2个数字,为0.
9.BCDG
【解析】小方循环地从A到G拉动开关,一共拉了1990次.由于每一个循环拉动了7次开关,1990÷7=284……2,故一共循环了284次.然后又拉动A和B的开关一次.每次循环中A到G的开关各被拉动一次,因此A和B的开关被拉动248+1=285次,C到G的开关被拉动284次,A和B的状态会改变,而C到G的状态不变,而C到G的状态不变.
开始时亮着的灯为A、C、D、G,故最后A变灭而B变亮,C到G的状态不变,亮着的灯为B、C、D、G.
10.9843
【解析】第一次写上3后,和增加了3=3;第二次再写上4,5后,和增加了4+5=9;第三次再写上5,7,8,7,和增加了5+7+8+7=27;…
和依次增大了3,9,27,…
不难看出,接下来应该增大81,243,729,2187,6561,
所以重复8次后,比开始的1+2=3,和增大了3+9+27+81+243+729+2187+6561=9840,所以现在这些数的和为3+9840=9843.
11.664
【解析】
根据题目中给出的数列的形成办法,我们不难写出数列的前几项为:
1,1989,1988,1,1987,1986,1,1985,1984,1,1983,1982,…,
通过观察发现,每隔3个数就出现1个1,而划去全部的1之后,数列变为:
1989,1988,1987,1986,1985,…,
它是一个递减的数列,每次减少1,由于有1989÷3=663,即原数列一共划去了663个“1”,相当于求划去1之后的原数列的第1989-663=1326项.
应该为:
1989-(1326-1)=664.原数列的第1989项为664.
12.1990
【解析】
我们不妨再写出几项:
l,9,8,9,7,6,3,9,2,l,3,4,7,1,8,9,7,6,3,9,2,1,3,4,7,1,8,…
不难看出,从第3个数开始存在8,9,7,6,3,9,2,l,3,4,7,1这样的每12个数的循环,有(398-2)÷12=33,所以存在33组8,9,7,6,3,9,2,l,3,4,7,1这样的数.
于是,前398个数字的和为(8+9+7+6+3+9+2+l+3+4+7+1)×33+1+9=60×33+1+9=1990.
13.8
【解析】
我们可以接着写出数列的后几项为:
2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6…
不难看出数列从第4项开始出现周期循环,重复出现8,8,4,2,8,6这6个数.
而(80-3)÷6=12……5,即数列的第80项出现在第13次循环中的第5个数,故第80项为8.
14.17
【解析】
我们先写出几项,有1,10,6,17,13,9,18,14,10,6,17,…
不难看出从第2个数开始,每7个数存在10,6,17,13,9,18,14这样的循环.
而(1999-1)÷7=285……3,所以最后一个同学报的是第285组数的第3个数,即17.
15.10000012340
【解析】
剩下的11位数首位最小为1,后面的几位尽量为0,而12345678910111213…5960中只含有6个0,但是最后一个0出现在个位,不可能出现在高位上.
故我们考虑再选其余5个0放在高位上,而剩下的5个数字就只能从51525354……60这20个数字中选取.仍然是要使高位尽量小,故接下来应该依次选1、2、3、4、0.最后剩下的这位11位数应该是10000012340.
16.B=4,C=5,A=(3+B)×C=35.
【解析】
各方框中右上、左下、右下的数分别为1,2,3;2,3,4;3,4,5;所以B=4,C=5,A=(3+B)×C=35.
17.178
【解析】
第二行起,每行都包含一个数字0,而且一行在左边,一行在右边.确切地说,偶数行的第一个数字为0,奇数行(第一行除外)地最后一个数字为0.
偶数行,每一个数等于它左边地数加上它左上方地数.奇数行,每一个数等于它右边的数加上它右上方的数.这样第8行应当是0,61,122,178,…
所以x为178.
18.6
【解析】
100行左起第5个数,是第99×7+5=698号,
在1~9占有9个位置,10~99占有90×2=180个位置,100~999占有900×3=2700个位置;
698-180-9=509,509÷3=169……2,即为第170个三位数的第2个数字,即269的十位,即6.
19.2
【解析】
相差为16的两个数在同一列.
1996=16×124+2,所以1986出现在第2行.
20.301
【解析】
每行3个数,所以第100行左边的第一个数就是从2起的第300个自然数,即301.
21.13
【解析】
相邻两行,同一列的两个数的和都等于第一列的两个数的和,而从第1行开始,相邻两行第一列的两个数的和依次是31,61,91,121,…
每项比前一项多30,因此391是上一列数中的第(391-31)÷30+1=13个数,即n为13.
22.第63斜行第40位
【解析】
奇数斜行中的数由下向上递增,偶数斜行中的数由上向下递增.第n斜行中最大的数是:
Sn=[n(n+1)]÷2.
第62斜行中最大的数是[62×63]÷2=1953.第63斜行中最大的数是1953+63=2016.所以1993位于第63斜行.
第63斜行中数是由下向上递增,左边第一位数字是1954.因此,1993位于第63斜行由上向下数第1993-1954+1=40位.
即1993排在原阵列的第63-40+1=24行,第40列.
23.9
【解析】
我们将每个数除以1991有:
有第1行和为1,第2行和为2,第三行和为4,第4行和为8,…
则10行数的和为(1+2+4+8+…+512)=1023,所以原三角阵的数字和为1023×1991=2036793,其十位数字为9.
24.
(1)530
(2)88
【解析】
(1)我们看拐弯处的数字2,3,5,7,10,13,17,21,26,…
相邻两项的差为1,2,2,3,3,4,4,5,…
于是第45次拐弯,相当于第45项,与第2项存在累计的差有44个,44÷2=22,即与2相差2×(1+2+3+4+…+22)-1+23=2×23×11+22=528,于是第45次拐弯处的数为2+528=530.
(2)对于一般项有:
第2n个拐弯数为:
2×(1+2+…+n)+2-1=n×(n+1)+1;
第2n+1拐弯数为2×(1+2+…+n)+(n+1)+2-1=(n+1)2+1(上面两个式子中n均为可取0的自然数).
而在1978到2010之间,只有1981=44×45+1,所以1981是拐弯数,是第2×44=88个拐弯数.
25.85
【解析】
设方框内第一行左起第一个数为A,则方框内和为A+(A+1)+(A+2)+(A+8)+(A+9)+(A+10)=6A+30.
现在有6A+30=480,A=75,则最大的数为75+10=85.
26.91
【解析】
依次写出前几项,为105,85,95,90,92.5,91.25,91.875,91.5625,…
第九数在第七、第八个数之间,第七、八个数的整数部分均是81,所以第九个数的整数部分也为91.
也就是说以后的两个数足够接近,它们的整数部分将都是91,所以第19个数的整数部分为91.
27.0
【解析】
1~3的平方是一位数,占去3个位置;
4~9的平方是两位数,占去6×2=12个位置;
10~31的平方是三位数,占去22×3=66个位置;
32~99的平方是四位数,占去68×4=272个位置;
将1到99的平方排成一行,共占去3+12+66+272=353个位置,从612减去353,还有259个位置.
259=51×5+4,从100起到150,共51个数,它们的平方都是五位数,要占去259位置中的255个.151×151=22801,从左到右的第4个位置上是0,这就本题的答案,即第612个位置上的数0.
28.19932
【解析】
我们把每4个括号组成一个周期,1994÷4=498……2,在前498个周期内有奇数(1+2+3+4)×498=4980个,而第1993个括号内有2个奇数,即第4980+1+1=4982个奇数,第4982+1=4983个奇数.
而4982×2+1=9965,4983×2+1=9967,9965+9967=19932.
即第1994个括号内的各数之和是19932.
29.33985
【解析】
设最初有N个球,
N=ak-110k-1+ak-210k-2+…+a110+a0,a0≠0,ak-1≠0.
第一次添加(10-a0)个,分成10堆,拿走9堆后留下的球数是:
ak-110k-2+ak-210k-3+…+a210+a1+1.
若a1=9,不必添加,就可以分成10堆.若a1<9,则添加10-(a1+1)个,再分成10堆.
无论a1=9还是a1<9,两次“均分”,共需要添加(10-a0)+(9-a1)个球,余下小堆的球数是:
ak-110k-3+ak-210k-4+…+a310+a2+1.
同样道理,第三次“均分”,需添加10-(a2+1)个球,连同第一、二次“均分”时添加的球共添加了(10-a0)+(9-a9)+(9-a2)个球.
并且,“均分”一次,k位数N就少一位.经过k-1次均分,余下ak-1+1>1个球.所以,经过k次“均分”后,就余下1个球.
总共添加的球数是:
10+9(k-1)-(a0+a1+…+ak-2+ak-1)个.
当N=1234…19961997时,N的位数k=1×9+2×90+3×900+4×(1997-999)=9+180+2700+4000-8=6881.
N的数字和也就是1,2,3,…,1996,1997中所有数字的和.
如果在后面再添加上1998,1999,那么1在千位出现1000次;0,1,2,…,9在百位,十位,个位都各出现200次,所以N的数字和为:
1×1000+3×200×(1+2+3+…+9)-(1+9+9+8+1+9+9+9)=27945.
因此所加的球数时10+9×6880-27945=33985个.
所以“均分”6881次,添加了33985个球.
30.30200
【解析】
n=1时,直角三角形2×1×1个,边数为2×1×(1+1)+12=5;
n=2时,直角三角形2×22个,边数=2×2×(2+1)+22=16;
n=3时,直角三角形2×32个,边数=2×3×(3+1)+32=33;
对于一般的n,共分为2×n2个直角三角形,总计数出2n(n+1)+n2条边.
所以,n=100时,共分为2×1002=20000个直角三角形,总计数出2×100×(100+1)+1002=30200条边.