函数最值问题教案.docx

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函数最值问题教案

适用学科

L.—..——一一—.

高中数学

11

适用年级:

高一

11

适用区域

苏教版区域

课时时长（分钟）丨2课时

1

知识点

单调性的概念、单调性的判断（证明）方法、单调性的应用、最值问题

1

教学目标

1

■

1使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用

1

1

1通过渗透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法]

教学重点

函数最大（小）值的定义和求法!

教学难点

如何求一个具体函数的最值

【知识导图】

教学过程

'、导入

（1）由于某种原因，2019年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，

请查阅资料说明做出这个决定的主要原因•

⑵通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.

课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平

均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事.下图

是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.

问题：

观察图形，能得到什么信息？

预案：

（1）当天最高温度、最低温度以及何时达到；

（2）在某时刻的温度；

⑶某些时段温度升高，某些时段温度降低.

在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是

很有帮助的.

问题：

还能举出生活中其他的数据变化情况吗？

预案：

水位高低、燃油价格、股票价格等.

归纳：

用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小.

二、知识讲解

函考点象上任函数的p最大坐标（x,y）的意义：

横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.

（3）图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.

⑷由于点C是函数y=f（x）图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意

x,都有yWyo,即f（x）wf（x°），也就是对函数y=f（x）的定义域内任意x,均有f（x）wf（xo）成立.

（5）—般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

1对于任意的x€I，都有f（x）WM;

2存在Xo€I，使得f（xo）=M.

那么，称M是函数y=f（x）的最大值..

（6）f（x）WM反映了函数y=f（x）的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最

高点，并且最高点的纵坐标是M.

⑺函数图象上最高点的纵坐标.

（8）函数y=—2x+1,x€（-1,+s）没有最大值，因为函数y=—2x+1,x€（—1,+

a）的图象没有最高点.

（9）不是，因为该函数的定义域中没有一1.

（10）讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数

才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.

考点2函数的最小值

（1）函数最小值的定义是：

一般地，设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：

1对于任意的x€I，都有f（x）>M;

2存在xo€I，使得f（xo）=M.

那么，称M是函数y=f（x）的最小值。

函数最小值的几何意义：

函数图象上最低点的纵坐标.

（2）讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.

的求法

例题12

画出函数y=—x2+2|x|+3的图象，指出函数的单调区间和最大值.

【解析】：

函数图象如图所示.

由图象得，函数的图象在区间（一8,—1）和［0,1］上是上升的，在［一1,0］和（1,）上是下

降的，最高点是（土1,4）,

故函数在（—a,—1）,［0,1］上是增函数；函数在［—1,0］,（1,+^）上是减函数，最大值是

4.

【总结与反思】本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法•求函数的最值时，

先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种

方法适用于做解答题.

类型二单调法求函数最值

例题1

2求函数y=x—1在区间［2,6］上的最大值和最小值.

【解析】设2

22_2\Xrix2-12x2

为-1x2-1x1Tx2Tx1-1x2T

2wX1vX2W6,—X2—X［>0,（X1—1）（x2—1）>0.

2

f（X1）>f（x2），即函数y=在区间［2,6］上是减函数.

xT

2

•••当x=2时，函数y=在区间［2,6］上取得最大值f

（2）=2;

x-1

22

当x=6时，函数y=在区间［2,6］上取得最小值f（6）=5.

x—1

【总结与反思】

单调法求函数最值：

先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：

①

如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递增，在区间［b,c）上单调递减，则函数y=f（x）在x=b处有最大值f（b）;②如果函数y=f（x）在区间（a,b］上单调递减，在区间［b,c）上单调递增，则函数y=f（x）在x=b处有最小值f（b）.

类型三函数最值的应用

例题1

“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距

地面的高度hm与时间ts之间的关系为h（t）=—4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？

这时距地面的高度是多少？

（精确到1m）

【解析】：

作出函数h（t）=—4.9t2+14.7t+18的图象，如图所示，

显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵

坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识，对于函数h（t）=—4.9t2+14.7t+18,我们有：

14.74.9：

18-14.72

当t=_=15时，函数有最大值h=&29.

-4.9-4.9

即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29m.

【总结与反思】

本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力.解应用题的步

骤是：

①审清题意读懂题；②将实际问题转化为数学问题来解决；③归纳结论.

注意：

要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.

四、课堂运用

a的取值范围是

1.若基础数f（x）=x2+2（a—1）x+2在区间（一a,4）上是减函数，则实数

2•已知函数y=x+（2xT，下列说法正确的是.（填序号）

1有最小值丄，无最大值；

2

2有最大值—，无最小值；

2

3有最小值1，最大值2;

2

4无最大值，也无最小值.

3.已知函数y=x2—2x+3在区间［0,m］上有最大值3，最小值2,则m的取值范围是.

答案与解析

1•【答案】（—3—3］

【解析】由二次函数的性质，可知4W—（a—1）,

解得aw—3.

2•【答案】①

1

【解析】ty=x，、、2x-1在定义域［-,；）上是增函数，

2

111

y_f（），即函数最小值为，无最大值.

3•【答案】［1,2］

【解析】由y=x2—2x+3=（x—1）2+2知，

当x=1时，y的最小值为2,

当y=3时，x2—2x+3=3,解得x=0或x=2.

由y=x2—2x+3的图象知，当m€［1,2］时，能保证y的最大值为3，最小值为2.

1.巩固y卜丄x2十1的值域是.

2.函数y=—x2+6x+9在区间［a,b］（a

2

3•若y=——,x^［-4,_1］，则函数y的最大值为.

x

答案与解析

1.【答案】（0,2］

【解析】观察可知y>0，当|x|取最小值时，y有最大值，所以当x=0时，y的最大值为2，即O

2.【答案】—20

【解析】y=—（x—3）2+18,•/a

•函数y在区间［a,b］上单调递增，即—b2+6b+9=9,得b=0（b=6不合题意，舍去）

—a+6a+9=—7,得a=—2（a=8不合题意，舍去）.

3.【答案】2

2

【解析】函数y在［-4,-1］上是单调递增函数，

x

2

故『max訂2.

拔高.2

1.已知函数f（x）=x2—2x+2.

（1）求f（x）在区间上的最大值和最小值；

12

⑵若g（x）=f（x）—mx在［2,4］上是单调函数，求m的取值范围.

2.若二次函数满足f（x+1）—f（x）=2x且f（0）=1.

⑴求f（x）的解析式；

⑵若在区间［—1,1］上不等式f（x）>2x+m恒成立，求实数m的取值范围.答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】

（1）Tf（x）=x2—2x+2=（x—1）2+1，x［-,3］，

2

•••f（x）的最小值是f

（1）=1,

又f

（2）弓f（3）=5,

所以，f（x）的最大值是f（3）=5,

1

即f（x）在区间［丄,3］上的最大值是5，最小值是1.

2

2

（2）■/g（x）=f（x）—mx=x—（m+2）x+2,

•m―2_2或m_亠4，即mW2或m>6.

22

故m的取值范围是（一a,2］U［6,+s）.

2.【答案】同解析

•c=1,

【解析】

（1）设f（x）=ax2+bx+c（a丰0），由f（0）=1,

•f（x）=ax2+bx+1.

•/f（x+1）—f（x）=2x,

•2ax+a+b=2x,

2a=2a=1ab=0b--1

•f（x）=x2—x+1.

⑵由题意：

x2—x+1>2x+m在［—1,1］上恒成立,

即x2—3x+1—m>0在［—1,1］上恒成立.

2325

令g（x）=x-3x1-m=（x）-m,

3其对称轴为x=—,

2

•g（x）在区间［—1,1］上是减函数，

•g（x）min=g

（1）=1—3+1—m>0,

•m<—1.

利用五调性求函数的最大（小）值：

（1）定义最大值：

设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：

对于任意的x€I，都

有：

X；WM;存在x°€I，使得■1=M.那么，称M是函数y=妙的最大值（MaximumValue）.

仿照最大值定义，可以给岀最小值（MinimumValue）的定义

（2）配方法：

研究二次函数|「-的最大（小）值，先配方成

（3）单调法：

一些函数的单调性，比较容易观察岀来，或者可以先证明岀函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值

（4）图象法：

先作岀其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.

六、课后作业

基础

1如果函数f（x）=x2+bx+c对任意的实数x，都有f（1+x）=f（—