函数最值问题教案.docx

1、函数最值问题教案适用学科L . 一一 .高中数学1 1适用年级 : 高一1 1适用区域苏教版区域课时时长（分钟） 丨 2课时 1 知识点单调性的概念、单调性的判断（证明）方法、单调性的应用、最值问题1教学目标11 使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用111 通过渗透数形结合的数学思想，掌握求函数最值的方法 教学重点函数最大（小）值的定义和求法 !教学难点如何求一个具体函数的最值【知识导图】教学过程、导入（1） 由于某种原因，2019年北京奥运会开幕式时间由原定的 7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因 通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当

2、天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因， 北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降， 比较适宜举办大型国际体育赛事. 下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.问题：观察图形，能得到什么信息？预案：（1）当天最高温度、最低温度以及何时达到；（2） 在某时刻的温度；某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律， 了解这些数据的变化规律， 对我们的生活是很有帮助的.问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等.归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值

3、是变大还是变小.二、知识讲解函考点象上任函数的p最大坐标(x, y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标 y是自变量为 x时对应的函数值的大小.(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值.由于点C是函数y= f(x)图象上的最高点，则点 A在点C的下方，即对定义域内任意x,都有yWyo,即f(x)wf(x)，也就是对函数y= f(x)的定义域内任意x,均有f(x)wf(xo)成立.(5)般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足：1对于任意的x I，都有f(x) WM;2存在Xo I，使得f(xo)= M.那么，称M是函数y= f(x)的最大值.(6)

4、f(x)WM反映了函数y= f(x)的所有函数值不大于实数 M;这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐 标是M.函数图象上最高点的纵坐标.(8)函数 y= 2x+ 1, x (- 1,+s)没有最大值，因为函数 y= 2x + 1, x ( 1,+a)的图象没有最高点.(9)不是，因为该函数的定义域中没有一 1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点.考点2函数的最小值(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数y= f(x)的定义域为I，如果存在实数 M满足：1对于任意的x I，都有f(x) M ;2存在x

5、o I，使得f(xo) = M.那么，称M是函数y = f(x)的最小值。函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标.(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才 存在最小值，最低点必须是函数图象上的点.的求法例题1 2画出函数y= x2+ 2|x|+ 3的图象，指出函数的单调区间和最大值.【解析】：函数图象如图所示.由图象得，函数的图象在区间 (一8, 1)和0,1上是上升的，在一 1,0和(1, )上是下降的，最高点是(土 1,4),故函数在( a, 1), 0,1上是增函数；函数在1,0, (1 ,+ )上是减函数，最大值是4.【总结与反思】本题

6、主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间， 再用定义法证明，最后借助单调性写出最值， 这种方法适用于做解答题.类型二单调法求函数最值例题12 求函数y = x 1在区间2,6上的最大值和最小值.【解析】设2 X10,(X1 1)(x2 1) 0.2f(X1) f(x2)，即函数y = 在区间2,6上是减函数.x T2当x= 2时，函数y= 在区间2,6上取得最大值f(2) = 2;x -12 2当x= 6时，函数y= 在区间2,6上取得最小值f(6) = 5.x1【总结与反思】单调法求函数最值： 先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用

7、到下面的结论：如果函数y = f(x)在区间(a, b上单调递增，在区间b, c)上单调递减，则函数 y= f(x)在 x= b 处有最大值f(b);如果函数y= f(x)在区间(a, b上单调递减，在区间b, c)上单调递增，则 函数y= f(x)在x= b处有最小值f(b).类型三函数最值的应用例题1“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t) = 4.9t2+ 14.7t + 18,那么烟花冲出后什么时候 是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？ (精确到1m)【解析】：作出函数 h(t) = 4.9t

8、2+ 14.7t + 18的图象，如图所示，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识，对于函数 h(t)= 4.9t2+ 14.7t + 18,我们有：14.7 4.9： 18-14.72当t = _ =1 5时，函数有最大值 h= &29 .-4.9 -4.9即烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是 29m.【总结与反思】本题主要考查二次函数的最值问题， 以及应用二次函数解决实际问题的能力. 解应用题的步骤是：审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论.注意：要坚持定义域优

9、先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合.四、课堂运用a的取值范围是1 .若基础数 f(x) = x2 + 2(a 1)x+ 2在区间(一a, 4)上是减函数，则实数2已知函数y= x+(2x T，下列说法正确的是 .(填序号)1有最小值丄，无最大值；22有最大值，无最小值；23有最小值1，最大值2;24无最大值，也无最小值.3.已知函数y= x2 2x+ 3在区间0,m上有最大值3，最小值2,则m的取值范围是 .答案与解析1【答案】( 3 3【解析】 由二次函数的性质，可知 4W (a 1),解得aw 3.2【答案】1【解析】t y = x，、2x-1在定义域-,；)上是增函数，21

10、 1 1y _ f () ，即函数最小值为 ，无最大值.3【答案】1,2【解析】 由 y= x2 2x+ 3= (x 1)2 + 2 知，当x = 1时，y的最小值为2,当 y = 3 时，x2 2x+ 3= 3,解得 x = 0 或 x= 2.由y= x2 2x+ 3的图象知，当m 1,2时，能保证y的最大值为3，最小值为2.1. 巩固y卜丄x2十1的值域是 .2.函数y= x2+ 6x + 9在区间a, b(ab0，当|x|取最小值时，y有最大值， 所以当x= 0时，y的最大值为2，即Oyw 2, 故函数y的值域为(0,2.2.【答案】2 0【解析】y= (x 3)2+ 18, / ab2

11、x+ m恒成立，求实数 m的取值范围. 答案与解析1.【答案】同解析【解析】(1)T f(x) = x2 2x+ 2= (x 1)2+ 1，x -,3，2 f(x)的最小值是f(1) = 1,又 f(2)弓 f(3) = 5,所以，f(x)的最大值是f(3) = 5,1即f(x)在区间丄,3上的最大值是5，最小值是1.22(2) / g(x) = f(x) mx= x (m + 2)x+ 2, m2 _2 或 m_ 亠4，即 mW 2 或 m6.2 2故m的取值范围是(一a, 2 U6 ,+s ).2.【答案】同解析 c= 1,【解析】(1)设 f(x)= ax2 + bx+ c(a 丰 0)

12、，由 f(0) = 1,f(x) = ax2 + bx+ 1./ f(x+ 1) f(x) = 2x,2ax+ a+ b = 2x,2a =2 a=1 a b =0 b - -1 f(x)= x2 x+ 1.由题意：x2 x+ 12x+ m在1,1上恒成立,即x2 3x+ 1 m0在1,1上恒成立.2 3 2 5令 g(x) = x - 3x 1 - m = (x ) - m,3 其对称轴为x =,2g(x)在区间1,1上是减函数，g(x)min = g(1) = 1 3+ 1 m0,m 1.利用五调性求函数的最大(小)值：(1)定义最大值：设函数 的定义域为I，如果存在实数 M满足：对于任意的 x I，都有：X； WM ;存在x I，使得 1 = M. 那么，称M是函数 y=妙 的最大值(MaximumValue ).仿照最大值定义，可以给岀最小值( MinimumValue )的定义 (2 )配方法：研究二次函数| - 的最大(小)值，先配方成(3)单调法：一些函数的单调性，比较容易观察岀来，或者可以先证明岀函数的单调性，再利 用函数的单调性求函数的最大值或最小值(4 )图象法：先作岀其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值 .六、课后作业基础1 如果函数 f(x)= x2 + bx+ c对任意的实数 x，都有 f(1 + x) = f(