新课标人教版高中数学必修5全套教案.docx

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新课标人教版高中数学必修5全套教案

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高中数学教案人教A版必修全套

必修5教案｜全套

第一章　解三角形1

com　正弦定理3

com　余弦定理11

com　解三角形的进一步讨论18

com　解决有关测量距离的问题24

com　解决有关测量高度的问题30

com　解决有关测量角度的问题40

com　解决有关三角形计算的问题45

13　实习作业50

第二章数列54

com　数列的概念与简单表示法一54

com　数列的概念与简单表示法二60

com　等差数列的概念等差数列的通项公式64

com　等差数列通项公式68

com　等差数列的前n项和一72

com　等差数列的前n项和二77

com　等比数列的概念及通项公式81

com　等比数列的基本性质及其应用87

com　等比数列前n项和公式的推导与应用91

com　求数列前n项和知识的运用96

第三章不等式103

com　不等关系与不等式一103

com　不等关系与不等式二108

com　一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法113

com　一元二次不等式的解法的应用一119

com　一元二次不等式的解法的应用二126

com　二元一次不等式组与平面区域134

com　简单线性规划问题144

com　基本不等式的证明157

com　基本不等式的应用一163

第一章　解三角形本章规划

《课程标准》和教科书把解三角形这部分内容安排在数学必修五的第一部分位置相对靠后在此内容之前学生已经学习了三角函数平面向量直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容使这部分内容的处理有了比较多的工具某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系注意复习和应用已学内容并为后续章节教学内容做好准备提高教学效益并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学并且在提出问题思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范引导．

1教学内容

全章有三大节内容

第一大节正弦定理和余弦定理这一节通过初中已学过的三角中的边角关系让学生从已有的几何知识出发提出探究性问题在任意三角形中有大边对大角小边对小角的边角关系我们是否能得到这个边角的关系准确量化的表示呢重点是正弦定理的概念和推导方法体现了从特殊到一般的思想并可以向学生提出用向量来证明正弦定理这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角根据三角形全等的判定方法这个三角形是大小形状完全确定的三角形我们仍然从量化的角度来研究这个问题也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．设置这些问题都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明常用的方法是借助于三角形的方法需要对三角形进行讨论方法不够简洁教科书则用了向量的方法发挥了向量方法在解决问题中的威力．

第二大节应用举例在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中一个问题也常常有多种不同的解决方案应该鼓励学生提出自己的解决办法并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题不能把所学的数学知识应用到实际问题中去对所学数学知识的实际背景了解不多虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强但当面临一种新的问题时却办法不多对于诸如观察分析归纳类比抽象概括猜想等发现问题解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况本章重视从实际问题出发引入数学课题最后把数学知识应用于实际问题．

第三大节实习作业适当安排一些实习作业目的是让学生进一步巩固所学的知识提高学生分析问题和解决实际问题的能力动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导包括对实际测量问题的选择及时纠正实际操作中的错误解决测量中出现的一些问题．

2作用与地位

本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学而如今比较突出的两个问题是学生应用数学的意识不强创造能力较弱．为解决此问题教学中要用联系的观点从新的角度看过去的问题使学生对于过去的知识有了新的认识同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上形成良好的知识结构．

3学习目标

本章的中心内容是如何解三角形正弦定理和余弦定理是解三角形的工具最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习学生应当达到以下学习目标

1通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握正弦定理余弦定理并能解决一些简单的三角形度量问题．

4重点和难点

通过对三角形中边角关系的探索证明正弦定理余弦定理及其推论并能应用它们解三角形．

5课时安排

11　正弦定理和余弦定理3课时

12　应用举例4课时

13　实习作业1课时

本章复习1课时11　正弦定理和余com　正弦定理从容说课

本章内容是处理三角形中的边角关系与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系与已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识也有着密切的联系．教科书在引入正弦定理内容时让学生从已有的几何知识出发提出探究性问题在任意三角形中有大边对大角小边对小角的边角关系我们是否能得到这个边角的关系准确量化的表示呢在引入余弦定理内容时提出探究性问题如果已知三角形的两条边及其所夹的角根据三角形全等的判定方法这个三角形是大小形状完全确定的三角形我们仍然从量化的角度来研究这个问题也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样用联系的观点从新的角度看过去的问题使学生对于过去的知识有了新的认识同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上形成良好的知识结构．

教学重点1正弦定理的概念

2正弦定理的证明及其基本应用．

教学难点1正弦定理的探索和证明

2已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数．

教具准备直角三角板一个

三维目标

一知识与技能

1通过对任意三角形边长和角度关系的探索掌握正弦定理的内容及其证明方法

2会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．

二过程与方法

1让学生从已有的几何知识出发共同探究在任意三角形中边与其对角的关系

2引导学生通过观察推导比较由特殊到一般归纳出正弦定理

3进行定理基本应用的实践操作．

三情感态度与价值观

1培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力

2培养学生探索数学规律的思维能力通过三角函数正弦定理向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一．

教学过程

导入新课

师如右图固定△ABC的边CB及∠B使边AC绕着顶点C转动．

师思考∠C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系

生显然边AB的长度随着其对角∠C的大小的增大而增大．

师能否用一个等式把这种关系精确地表示出来

师在初中我们已学过如何解直角三角形下面就首先来探讨直角三角形中角与边的等式关系．如右图在Rt△ABC中设BCAACBABC根据锐角三角函数中正弦函数的定义有sinAsinB又sinC1则从而在直角三角形ABC中

推进新课

[合作探究]

师那么对于任意的三角形以上关系式是否仍然成立由学生讨论分析

生可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况

如右图当△ABC是锐角三角形时设边AB上的高是CD根据任意角三角函数的定义有CDAsinBBsinA则同理可得从而

当△ABC是钝角三角形时解法类似锐角三角形的情况由学生自己完成

正弦定理在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等即

师是否可以用其他方法证明这一等式

生可以作△ABC的外接圆在△ABC中令BCAACBABC根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等来证明这一关系．

师很好这位同学能充分利用我们以前学过的知识来解决此问题我们一起来看下面的证法

在△ABC中已知BCAACBABC作△ABC的外接圆O为圆心连结BO并延长交圆于B′设BB′2R则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到

∠BAB′90°∠C∠B′

∴sinCsinB′

∴

同理可得

∴

这就是说对于任意的三角形上述关系式均成立因此我们得到等式

点评上述证法采用了初中所学的平面几何知识将任意三角形通过外接圆性质转化为直角三角形进而求证此证法在巩固平面几何知识的同时易于被学生理解和接受并且消除了学生所持的向量方法证明正弦定理是唯一途径这一误解既拓宽了学生的解题思路又为下一步用向量方法证明正弦定理作了铺垫

[知识拓展]

师接下来我们可以考虑用前面所学的向量知识来证明正弦定理从定理内容可以看出定理反映的是三角形的边角关系而在向量知识中哪一知识点体现边角关系呢

生向量的数量积的定义式A·BABCosθ其中θ为两向量的夹角

师回答得很好但是向量数量积涉及的是余弦关系而非正弦关系这两者之间能否转化呢

生可以通过三角函数的诱导公式sinθCos90°-θ进行转化

师这一转化产生了新角90°-θ这就为辅助向量j的添加提供了线索为方便进一步的运算辅助向量选取了单位向量j而j垂直于三角形一边且与一边夹角出现了90°-θ这一形式这是作辅助向量j垂直于三角形一边的原因

师在向量方法证明过程中构造向量是基础并由向量的加法原则可得

而添加垂直于的单位向量j是关键为了产生j与的数量积而在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算也就在情理之中了

师下面大家再结合课本进一步体会向量法证明正弦定理的过程并注意总结在证明过程中所用到的向量知识点

点评1在给予学生适当自学时间后应强调学生注意两向量的夹角是以同起点为前提以及两向量垂直的充要条件的运用

2要求学生在巩固向量知识的同时进一步体会向量知识的工具性作用

向量法证明过程

1△ABC为锐角三角形过点A作单位向量j垂直于则j与的夹角为90°-Aj与的夹角为90°-C

由向量的加法原则可得

为了与图中有关角的三角函数建立联系我们在上面向量等式的两边同取与向量j的数量积运算得到

由分配律可得

∴jCos90°jCos90°-CjCos90°-A

∴AsinCCsinA

∴

另外过点C作与垂直的单位向量j则j与的夹角为90°Cj与的夹角为90°B可得

此处应强调学生注意两向量夹角是以同起点为前提防止误解为j与的夹角为90°-Cj与的夹角为90°-B

∴

2△ABC为钝角三角形不妨设A＞90°过点A作与垂直的单位向量j则j与的夹角为A-90°j与的夹角为90°-C

由得j·j·j·

即A·Cos90°-CC·CosA-90°

∴AsinCCsinA

∴

另外过点C作与垂直的单位向量j则j与的夹角为90°Cj与夹角为90°B

同理可得

∴形式1

综上所述正弦定理对于锐角三角形直角三角形钝角三角形均成立

师在证明了正弦定理之后我们来进一步学习正弦定理的应用

[教师精讲]

1正弦定理说明同一三角形中边与其对角的正弦成正比且比例系数为同一正数即存在正数k使AksinABksinBCksinC

2

等价于形式2

我们通过观察正弦定理的形式2不难得到利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形问题

①已知三角形的任意两角及其中一边可以求其他边如这类问题由于两角已知故第三角确定三角形唯一解唯一相对容易课本P4的例1就属于此类问