最新数学文化及其应用.docx

最新数学文化及其应用.docx

《最新数学文化及其应用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新数学文化及其应用.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

最新数学文化及其应用

数学文化及其应用

北京大学数学科学院教授　张顺燕

　　数学既不严峻，也不遥远，它既和所有的人类活动有关，又对每一个真正感兴趣的人有益。

　　R．C．Buck

　　数学的传奇就是攀登智慧之山的传奇。

　　J．N．Kapur

　　诗人对宇宙人生，须入乎其内，又须出乎其外。

入乎其内，故能写之。

出乎其外，故能观之。

入乎其内，故有生气。

出乎其外，故有高致。

　　王国维

　　数学是研究现实世界中的数量关系与空间形式的一门科学。

由于实际的需要，数学在古代就产生了，现在已发展成一个分支众多的庞大系统。

数学与其他科学一样，反映了客观世界的规律，并成为理解自然、改造自然的有力武器。

　　对任何一门科学的理解，单有这门科学的具体知识是不够的，那怕你对这门科学的知识掌握得足够丰富，还需要对这门学科的整体有正确的观点，需要了解这门学科的本质。

我们的目的就是从历史的、哲学的和文化的高度给出关于数学本质的一般概念。

今从以下几个方面来谈这个问题。

一、数学与美

　　中国古代著名哲学家庄子说：

“判天地之美，析万物之理。

”日本物理学家，诺贝尔奖得主汤川秀树把这两句话印在他的书的扉页上，作为现代物理的指导思想及最高美学原则。

这两句话也是我们学习与研究数学的指导思想和最高美学原则。

通过本讲座，我们将展现数学精神的魅力，阐述数学推理之妙谛。

但数学之美的面纱是慢慢揭开的，数学推理的妙谛是逐渐展现的。

这涉及到科学与艺术的关系，而艺术与科学的联系是天然的。

实际上，一切科学、哲学、数学和艺术的研究对象不外乎，天──大宇宙；地，自然界及其中一切动植物──中宇宙；人──最精密、最完善的小宇宙。

既然科学和艺术的研究对象是相同的，所以它们必然是相辅相成的两个领域。

著名物理学家李政道说得好：

“科学和艺术是不可分割的，正像一枚硬币的两面。

它们共同的基础是人类的创造力，它们追求的目标都是真理的普遍性。

”

顺便指出，数学本身就是美学的四大构件之一。

这四大构件是，史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学。

因而数学教育是审美素质教育的一部分。

数学追求的目标是，从混沌中找出秩序，使经验升华为规律，将复杂还原为基本。

所有这些都是美的标志。

但长期以来，我们忽视对数学的美的教育。

讲述数学之美有利于培养鉴赏力。

值得注意的是，在历史上，重大课题的选择与结果的评价，美学价值是一个重要的标准。

例如，正电子的猜想便是狄拉克从数学对称美的角度大胆预言出来的。

他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。

几年之后，这个预言得到了物理学家的证实。

狄拉克后来说：

“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为，它没有什么使人非信不可的理由，但过去已经证明了这是有益的目标。

”

为什么把美看得这样重要？

因为人类的生存是按照美的原则来构建世界的。

发现美、认识美和运用美，这是人类生存的要求。

反过来，美又是人类进步的动力。

追求美的实质就是追求自然界的数学美。

人类一步一步地揭示自然界的数学规律，人类就越了解我们所处的宇宙的美。

希腊箴言说，美是真理的光辉。

因而追求美就是追求真。

英国诗人济慈写道：

　　美就是真，

　　真就是美—这就是

　　你所知道的，

　　和你应该知道的。

　　法国数学家阿达玛说：

“数学家的美感犹如一个筛子，没有它的人永远成不了数学家。

”可见，数学美感和审美能力是进行一切数学研究和创造的基础。

　　那么，什么是美呢？

美有两条标准：

一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系（培根），二、“美是各部分之间以及各部分与整体之间固有的和谐。

”（海森堡）。

这是科学和艺术共同追求的东西。

希尔伯特说：

“我们无比热爱的科学把我们团结在一起。

它像一座鲜花盛开的花园展现在我们眼前。

在这个花园熟悉的小道上，你可以悠闲地观赏，尽情地享受，不需费多大力气，与心领神会的伙伴一起更是如此。

但我们更喜欢寻找幽隐的小道，发现许多意想不到的令人愉快的美景；当其中一条小道向我们显示出这一美景时，我们会共同欣赏它，我们的欢乐也达到尽善尽美的境地。

”

对美的追求起源于古代。

毕达哥拉斯发现，在相同张力作用下的弦，当它们的长度成简单的整数比时，飨曳⒊龅纳籼鹄词呛托车摹Ｕ腔谡庵秩鲜叮洗锔缋寡啥ǔ隽艘袈伞Ｋ潮阒赋觯夜诠糯惨酝姆绞饺范艘袈伞Ｕ馐侨死嗟谝淮稳妨⒘丝衫斫獾亩饔朊乐涞哪谠诹担侨死嗬飞弦桓稣嬲卮蟮姆⑾帧Ｅ６俚耐蛴幸剑蛩固沟闹誓茏还剑仁敲溃质钦妗?

/P>

数学的美表现在什么地方呢？

表现在简单、对称、完备、统一和谐和奇异。

为什么我们这样重视美？

并把它作为数学发展的动力与价值标准的一个重要因素呢？

因为人们常常忽视它。

人们只重视实用方面、科学方面，而对于审美情趣、智力挑战、心灵的愉悦诸方面，要么不予承认，即使承认，也认为只不过是次要的因素。

但事实上，实用的、科学的、美学的和哲学的因素共同促进了数学的形成。

把这些作出贡献、产生影响的因素除去任何一个，或抬高一个而贬低另一个都是违反数学发展史的。

二、数学是什么

　　给数学下定义是一个困难的问题。

对任何事物下定义都遇到同样的困难。

因为很难在一个定义中把事物的一切重要属性都概括进去。

考虑全面性与历史发展，我们给数学下两个定义。

　　数学是数和形的学问。

数学是一棵参天大树。

它的根深深地扎在我们的现实世界。

它有两个主干，一曰形─几何，一曰数─代数。

　　这棵树是如此之古老，它已有上万年的历史；

　　这棵树是如此之长新，它年年都在发新枝；

　　这棵树是如此之繁茂，它已深入到自然科学与社会科学的一切领域；

　　这棵树是如此之奇特，它同根异干，同干异枝，同枝异叶，同叶异花，同花异果。

如果我们一辈子只停留在一个枝上，或只见一朵花，我们将永远见不到数学的多采和多姿。

见不到数学整体的宏伟和谐调。

　　我们先看数学大树的两大主干：

几何与代数。

　　几何：

空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；

　　代数：

数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。

　　记住，认不清几何与代数的基本特征，就是基本上没有学懂它们。

特别要注意到，这两者相辅相成。

没有直觉就没有发明，没有逻辑就没有证明。

借助直觉发明的命题，要借助逻辑加以证明。

庞加莱说：

“逻辑可以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它不能告诉我们哪一条路能引导我们达到目的地。

为此必须从远处了望目标，而数学教导我们，了望的本领是直觉。

”英国数学家阿蒂亚说：

“几何直觉乃是增进数学理解力的很有效的途径，而且它可以使人增加勇气，提高修养。

”遗憾的是，在通常的数学教学中只讲逻辑而很少讲直觉。

　　如果只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围。

所以只研究数与形是不够的，必须研究大小与形状是如何改变的。

这就产生了微积分。

它的延伸是，无穷级数，微分方程，微分几何等。

　　那么，什么是数学呢？

19世纪恩格斯给数学下了这样的定义：

　　“数学是关于空间形式和数量关系的科学。

”

　　恩格斯关于数学的定义是经典的，概括了当时数学的发展，即使在目前也概括了数学的绝大部分。

但是在19世纪末，数理逻辑诞生了。

在数理逻辑中既没有数也没有形，很难归入恩格斯的定义。

于是人们又考虑数学的新定义

　　数学是关于模式和秩序的科学。

我们生活在一个由诸多模式组成的世界中：

春有花开，夏有惊雷，秋收冬藏，一年四季往复循环；球形的雨从云中飘落；繁星夜夜周而复始地从天空中划过；世界上没有两片完全相同的雪花，但所有的雪花都是六角形的。

人类的心智和文化为模式的识别、分类和利用建立了一套规范化的思想体系，它就是数学。

通过数学建立模式可以使知识条理化，并揭示自然界的奥秘。

　　模式和秩序的科学都是数学吗？

物理学，力学似乎也符合这个定义，所以需要作出某些界定。

　　物理学的基本元素：

基本粒子。

　　生物学的基本元素：

细胞。

　　数学呢？

数，形，机会，算法与变化。

　　数学的处理对象分成三组：

数据，测量，观察资料；推断，演绎，证明：

自然现象，人类行为，社会系统的各种模式。

　　数学提供了有特色的思考方式：

　　抽象化：

选出为许多不同的现象所共有的性质来进行专门研究：

　　符号化：

把自然语言扩充，深化，而变为紧凑，简明的符号语言。

这是自然科学公有的思考方式，以数学为最。

　　公理化：

从前提，从数据，从图形，从不完全和不一致的原始资料进行推理。

归纳与演绎并用。

　　最优化：

考察所有的可能性，从中寻求最优解。

　　建立模型：

对现实现象进行分析。

从中找出数量关系，并化为数学问题。

　　应用这些思考方式的经验构成数学能力。

这是当今信息时代越来越重要的一种智力。

它使人们能批判地阅读，辨别谬误，摆脱偏见，估计风险。

数学能使我们更好地了解我们生活于其中的充满信息的世界。

三、数学的内容

　　大致说来，数学分为初等数学与高等数学两大部分。

　　初等数学中主要包含两部分：

几何学与代数学。

几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。

　　初等数学基本上是常量的数学。

　　高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：

　　解析几何：

用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。

　　线性代数：

研究如何解线性方法组及有关的问题。

　　高等代数：

研究方程式的求根问题。

　　微积分：

研究变速运动及曲边形的求积问题。

作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。

　　概率论与数理统计：

研究随机现象，依据数据进行推理。

　　所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。

　　四、数学的特点

　　数学区分于其它学科的明显特点有三个：

第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。

　　从中学数学的学习过程中读者已经体会到数学的抽象性了。

数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。

整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。

在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。

但是需要指出，所有这些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。

不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。

因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。

数学抽象的特点在于：

第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。

如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。

这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。

　　数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑与无可争辩性。

这点读者从中学数学就已很好的懂得了。

当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。

　　数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。

正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现”量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。

数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性，或减弱了科学预见的精确度。

　　五、关于中等教育

　　为了为二十一世纪为我国培养一大批杰出的科学家，中学数学教育起着关键的作用。

以下几点应当受到注意：

　　1．将应试教育转为素养教育。

要培养学生善于思考，有独创精神，而不只是常于记忆，巧于应考。

这对我们民族的长远利益是极关重要的。

　　2．中学数学教育的中心应实现三个转变：

从具体数学到概念化数学的转变，发展符号意