考研数学二真题及答案文档格式.docx
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xf（?
），则x?
2
x2
（）
（Ａ）1（Ｂ）
121
（Ｃ）（Ｄ）
332
2u
6．设u（x,y）在平面有界闭区域d上连续，在d的内部具有二阶连续偏导数，且满足?
0及
2u?
．?
2?
0，则（）2
y
（a）u（x,y）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上；
（b）u（x,y）的最大值点和最小值点必定都在区域d的内部；
（c）u（x,y）的最大值点在区域d的内部，最小值点在区域d的边界上；
（d）u（x,y）的最小值点在区域d的内部，最大值点在区域d的边界上．
7．行列式
0a
a0b00b
0cd0c00d
等于
22
（a）（ad?
bc）（b）?
（ad?
bc）（c）a2d2?
b2c2（d）?
a2d2?
b2c2
8．设?
1,?
2,?
3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?
1?
k?
3，?
l?
3线性无关是向量
3线性无关的
（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
9．
1?
dx?
．
x2?
2x?
5
10．设f（x）为周期为4的可导奇函数，且f（x）?
2（x?
1）,x?
0,2，则f（7）?
．11．设z?
z（x,y）是由方程e
2yz
y2?
z?
7
确定的函数，则dz|?
11?
?
4?
22?
12．曲线l的极坐标方程为r?
，则l在点（r,?
）?
?
处的切线方程为．22?
13．一根长为1的细棒位于x轴的区间0,1上，若其线密度?
1，则该细棒的质心坐标x?
14．设二次型f（x1,x2,x3）?
x1?
2ax1x3?
4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围是．
三、解答题
15．（本题满分10分）
t
求极限lim
x1
（t2（e?
1）?
t）dt1
x2ln（1?
）
x
．
16．（本题满分10分）
已知函数y?
y（x）满足微分方程x?
yy?
y，且y
（2）?
0，求y（x）的极大值和极小值．17．（本题满分10分）
xsin（?
y2）
dxdy设平面区域d?
（x,y）|1?
4,x?
0.y?
0．计算?
yd
18．（本题满分10分）
2z?
2zx2x
设函数f（u）具有二阶连续导数，z?
f（ecosy）满足．若?
（4z?
ecosy）e
y2
f（0）?
0,f（0）?
0，求f（u）的表达式．
19．（本题满分10分）
设函数f（x）,g（x）在区间a.b上连续，且f（x）单调增加，0?
g（x）?
1，证明：
（1）0?
（2）
b
a
g（t）dt?
a,x?
a,b?
；
f（x）dx?
f（x）g（x）dx．
ab
a?
ag（t）dt
20．（本题满分11分）
设函数f（x）?
x?
0,1?
，定义函数列1?
f1（x）?
f（x），f2（x）?
f（f1（x）），?
fn（x）?
f（fn?
1（x））,?
设sn是曲线y?
fn（x），直线x?
1,y?
0所围图形的面积．求极限limnsn．
n?
21．（本题满分11分）已知函数f（x,y）满足
f
2（y?
1），且f（y,y）?
（y?
1）2?
（2?
y）lny，求曲线f（x,y）?
0所?
成的图形绕直线y?
1旋转所成的旋转体的体积．22．（本题满分11分）
23?
设a?
01?
，e为三阶单位矩阵．
1203?
（1）求方程组ax?
0的一个基础解系；
（2）求满足ab?
e的所有矩阵．
23．（本题满分11分）
证明n阶矩阵?
0?
02?
与?
相似．?
0n?
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学
（二）试题
一、选择题:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求
的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．
（1）下列反常积分收敛的是（）
（a）
（b）?
lnx（c）?
dxdx（d）?
2xxlnx
sint?
xdxxe
（2）函数f?
lim（1?
t?
在（?
）内（）
（a）连续（b）有可去间断点（c）有跳跃间断点（d）有无穷间断点
xcos,x?
x（?
0,?
0）,若f?
在x?
0处连续则:
（）（3）设函数f?
0,x?
（a）?
0（b）0?
1（c）?
2（d）0?
（4）设函数f（x）在?
内连续，其中二阶导数f?
（x）的图形如图所示，则曲线y?
f（x）的拐
点的个数为（）
（a）0（b）1（c）2（d）3
（5）设函数f?
u,v?
满足f?
y,?
y2，则
u?
1与v?
1v?
依次是（）
1111,0（b）0,（c）?
0（d）0,?
2222
4xy?
1与直线y?
x，y?
围成的平面区域，（6）设d是第一象限由曲线2xy?
1，函数f?
x,y?
在d上连续，则
f?
dxdy?
d
（a）
d?
34
sin212sin2?
f?
rcos?
rsin?
rdr
（b）
3
4
d?
1sin2?
12sin2?
rcos?
rdrf?
dr
（c）
34
（d）
【篇二：
2016年考研数学二真题与解析】
txt>
的可能取值范围是（）
）（b）（1,2）（c）（,1）（d）（0,）
1212
【详解】ln?
（1?
2x）~2?
，是?
阶无穷小，（1?
~1x?
是阶无穷小，由题意可知?
所以?
的可能取值范围是（1,2），应该选（b）．2．下列曲线有渐近线的是
sinx（b）y?
1x
1xy1
limsin?
f
（1）x，则在[0,1]上（）
g（x）（b）当f（x）?
g（x）（d）当f?
g（x）【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然
g（x）?
f
（1）x就是联接（0,f（0））,（1,f
（1））两点的直线方程．故当f?
0时，曲线是凹
的，也就是f（x）?
g（x），应该选（d）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
f（x）?
f（x）?
f
（1）x，则f（0）?
f
（1）?
0，且f（x）?
f（x），故当f?
0时，曲线是凹的，从而f（x）?
f（0）?
0，即f（x）?
0，也就是
上对应于t?
1的点处的曲率半径是（）2
y（1?
y2）3
【详解】曲线在点（x,f（x））处的曲率公式k?
，曲率半径r?
．k
22dxdydy2t?
42dy1?
2t,?
2t?
4，所以?
，2?
本题中?
3，
dtdtdx2tt2tdxt
对应于t?
1的点处y?
3,y?
1，所以k?
应该选（c）
110，曲率半径r?
10．k
（）
211（Ｃ）（Ｄ）323
【详解】注意
（1）f（x）?
1133
0时,arctanx?
o（x）．，
（2）2
31?
由于f（x）?
）．所以可知f（?
1f（x）arctanxx?
arctanx2，，?
xx1?
2（arctanx）2
13
x）?
o（x3）
．3x3
arxtanx
x（arctanx）2x?
（x?
【详解】u（x,y）在平面有界闭区域d上连续，所以u（x,y）在d内必然有最大值和最小值．并且如果在
u?
u
内部存在驻点（x0,y0），也就是，由?
0，在这个点处a?
2,c?
2,b?
条件，显然ac?
b?
0，显然u（x,y）不是极值点，当然也不是最值点，所以u（x,y）的最大值点和最小值点必定都在区域d的边界上．
所以应该选（a）．
0cab000b
cd000d
bc）2（b）?
bc）2（c）ad?
bc（d）?
ad?
bc【详解】
0a0cab0
a0ba0b
00babab
a0d0?
b0c0?
bc?
bc）2
cd0cdcd
c0dc0d
00d
应该选（b）．
3是三维向量，则对任意的常数k,l，向量?
3线性无关是向量?
（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件【详解】若向量?
3线性无关，则
10?
（?
3）?
（?
3）k，对任意的常数k,l，矩阵k的秩都等
kl?
于2，所以向量?
3一定线性无关．
而当?
3?
时，对任意的常数k,l，向量?
3线性无关，但
3线性相关；
故选择（a）
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
11dx1x?
11
|?
5?
4221
【详解】
2?
42?
8
0,2?
，则f（7）?
．【详解】当x?
时，f（x）?
2（x?
1）dx?
c，由f（0）?
0可知c?
0，即
2x；
f（x）为周期为4奇函数，故f（7）?
f（?
1．
11．设z?
【详解】设f（x,y,z）?
e
71
，fx?
1,fy?
2ze2yz?
2y,fz?
2ye2yz?
1，当x?
42
时，z?
0，
fyf11?
z1?
z1
，?
，所以dz|?
dx?
dy．
xfz2?
yfz2?
处的切线方程为22?
2．曲线l的极坐标方程为r?
【详解】先把曲线方程化为参数方程?
r（?
）cos?
cos?
，于是在?
处，x?
0,y?
，
22?
）sin?
sin?
2dysin?
|?
处的切线方程为y?
0），即
dx2cos?
y?
2x?
.
13．一根长为1的细棒位于x轴的区间?
上，若其线密度?
1，则该细棒的质心坐标
11
x）dx?
00
【详解】质心坐标x?
1．?
25
（x）dx?
0（?
1）dx320
（x）dx
32
4x2x3的负惯性指数是1，则a的取值范围
是．【详解】由配方法可知
f（x1,x2,x3）?
x12?
4x2x3
（x1?
ax3）2?
（x2?
2x3）2?
（4?
a2）x3
由于负惯性指数为1，故必须要求4?
a?
0，所以a的取值范围是?
2,2?
（t（e?
1t
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】
lim
t）dtx2ln（1?
）x
t）dt
lim（x2（e?
x）
111?
x2（?
o（）?
22x?
x2xx?
y（x）满足微分方程x2?
y2y?
0，求y（x）的极大值和极小值．【详解】
解：
把方程化为标准形式得到（1?
y）
dy
x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分dx
可得方程通解为：
1312y?
x3?
c，由y
（2）?
0得c?
，333
即
1312
．333
dy1?
x2d2y?
2x（1?
y2）2?
2y（1?
x2）2令；
0，得x?
1，且可知2?
dx1?
y2dx（1?
当x?
1时，可解得y?
1，y?
0，函数取得极大值y?
1；
0，y?
0，函数取得极小值y?
0．17．（本题满分10分）
【篇三：
考研数二历年真题（2016-2003）】
0时，若ln?
的可能取值范围
是（）
）（b）（1,2）（c）（,1）（d）（0,）2．下列曲线有渐近线的是
（d）y?
2u及．?
0aa0b00b
bc）（c）ad?
bc
22222222
（a）必要而非充分条件（b）充分而非必要条件（c）充分必要条件（d）非充分非必要条件
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）9．
，则
f（7）?
12．曲线l的极坐标方程为r?
处的切线方程为．
22
是．三、解答题15．（本题满分10分）
y）22
2z
f（ecosy）满足?
excosy）e2x．若2
设函数f（x）,g（x）在区间?
a.b?
上连续，且f（x）单调增加，0?
20．（本题满分11分）设函数f（x）?
21．（本题满分11分）
已知函数f（x,y）满足
且f（y,y）?
1），
所成的图形绕直线y?
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