完整版第十二讲简单的三角恒等变换经典难题复习巩固文档格式.docx
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［自主解答］原式=
（丄
tan2
丄aa
tan2）（1+tana・p）n
COS2
La—
sin2
aa
sinsin
2（1sina_2、
a•+cosaacos^coS^
.a
cosasinasin22cos%2cosasina
（1+-）=~;
•
aacosaaSinasinacosasin^cos^cos?
sin扌
COS"
2
2sin
2cosa2
'
十=
sinaa
cos2
2cosa
sina4
4sin；
sina
2a2a2a
2cos十4sin2q21—2sin22十4sin；
sina_sina
变式训练：
化简1+COs—sin
1—cos—sin
0.
—cos—sin0
1+cos9-sin0
解:
原式=
20C.002
2cos22—2sin2COS22sin2Q—2sin
c099
2cosqcos-—sin㊁
c•B99
2sinsin㊁—cos^
200020002sin2—2sin2COS22cos2—2sin$cos2
2sin0sin2—cos#
2cos^cos—sin㊁
20,.20
cos^sin^cos2q+sin2q
厂=—
singcos^singcosg
sin0
考点二
三角函数式的求值
（1）已知
（2）已知
a,
八n31
0<
3<
2<
a<
n且cos（—2）=—9,
1A
3=-，tan
3€（0,n,且tan（
a2
sin（-—3=石，求cos（汁3的值.
23
1
3=—7求2a—3的值.
［自主解答］
na
v_
42
n
（1）T0<
3<
<
a<
n
3
，4<
a—2<
n,
a'
a5
•••cosg-3=丫1—sin22—3=3,
.（3%23理5
sin（—2）=A/1—cos2a—-
a+33a
.・cos2=cos[（一（：
2）一Q—
）]
=cos（-a?
cos（-—3卅sin（
3a
—psin（2
2a+349x5239
——
2一7—
=>
0,d1/3，
14一X一
I十27
.•.cos（4a3=2cos~2~—1=2x729—1=—729,
tana—3+tan3
（2）Ttana=tan[（—343]=
1—tana—3tan3
2x3
•••0<
a<
.又•••tan2
2tana33
=厂=厂=4>
°
1一tana1—2
1—3
•••0<
2a|,
3—tan2—tan34十7
•'
•tan（2-a3==31=1.
1十tan2atan3—3X-
47
—-tan3一7<
0,
■'
■2<
3<
n—n<
2^3<
•••2a—3=—34n.
变式训练:
sin2d-cos2—1sin2—cos2a1
sin4a
3求角a的值.
sin2—cos2—1sin2（—cos2—1
已知a是锐角，且
sin22a—cos2—12sin空a—C0S?
2a+2cos2a—1—2cos22a+2cos2a1—cos2a
2sin2acos2a
2sin2a・cos2asin2a
2sin2a・cos2
2sin2asina
==tar
2sinacosacosa
由已知可得tan=v3,又Ta是锐角.
…a=3.
（1）求f（x）的最小正周期;
y=g（x）的最大值.
⑵若函数y=g（x）与y=f（x）的图象关于直线x=1对称，求当x€[0,
nnnnn■3n3n—nn
［自主解答］
（1）f（x）=si“4xcos6—cos&
xsin©
—cos&
x=三sin^x—qco^x=,3sim^x—§
）,
故f（x）的最小正周期为T=6=8.
4
⑵在y=g（x）的图象上任取一点（x,g（x））,它关于x=1的对称点为（2—x,g（x））.
由题设条件，点（2—x,g（x））在y=f（x）的图象上,
*-3）=3cos（n<
+p.
•g（x）=f（2—x）=,3si门［彳2—x）—扌］=,3sin（
当0<
xw-时，
n,nn,2n
34x十33.
•••当x=0时，即
g（x）max='
3COS§
：
思考:
将本例
（2）中“直线x=1对称”改为“坐标，原点对称”，如何求解？
解：
设x,y为y=gx图象上的任意一点，则x,y
关于原点的对称点为一x,—y,
即g（x）=,3sin（n<
+扌）
又•••0wxw—
unn2•••3w4x+3w3n
•••2w3sin（4X+n）w3,
•g（x）的最大值为.3.
已知集合P={x|x2-条汁专w0}，函数f（x）=4sin2（扌+x）—2p"
3cos2x+t（x€P）最小值为3.
（1）求t的值；
⑵若不等式2+m<
f（x）在x€P上恒成立，求实数m的取值范围.
（1）因为f（x）=2[1—cos（2+2x）]—2.3cos2x+1=2sin2x—2,3cos2x+2+1=4sin（2x-£
）+2+t,
32
由P={x|x2—4nx8w0}，可得4wxw2,
2n1
所以6w2x—3w才，则有wsin（2x—3）w1.
因为函数f（x）=4sin2（4+x）—2.3cos2x+t（x€P）的最小值为3，所以4Xj+2+t=3，解得t=—1.
⑵因为2+m<
f（x）在x€P上恒成立，则由已知可得2+m<
3，得m<
1，故m的取值范围是（一^,1）.
［咼考考题印证］
1+tan;
42
［考题印证］（2010全国新课标）若cosof—5，a是第三象限的角，则:
5a1—tan?
11
A.—1C.2D.—2
［规范解答］TCOSF—5，且a是第三象限的角，
•・sinf—厂，
cos^+sin^
aaaa
1+tan2cos?
cos^+sin?
aa2
COS2+sing
1+sina
卫aaaa
1—tan：
cos；
—sin：
cos：
22222
cos^
aaaaaa
coSc—sgcoSc+sgcos\—sin：
222222
1+sina1—5cosa4
—5
四、技法巧点：
1.三角函数式的化简
（1）三角函数式的化简原则一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
（2）三角函数式化简的要求
①能求出值的应求出值；
②尽量使三角函数种数最少；
③尽量使项数最少；
④尽量使分母不含三角函数；
⑤尽量使被开方数不含三角函数.
（3）三角函数化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幕或升幕.
2.三角函数式的求值
已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：
（1）先化简所求式子；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系（从三角函数名及角入手）;
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值.
五、巩固练习:
一、选择题（共6个小题，每小题5分，满分30分）
1.函数f（x）=2cos2x—3sin2x（x€R）的最小正周期和最大值分别为（）
A.2n3B.2n,1
C.n,3D.n,1
解析：
由题可知，f（x）=2cos2x—3sin2x=cos2x—.3sin2x+1=2sin（g—2x）+1,所以函数f（x）的最小
正周期为T=n,最大值为3.
•n、
2.已知cos（6—a=
则sin2（a—p—cos（5；
n+a的值是（
2+“3
代3
B.
2+
3-
D.
—2+,3
解析:
sin2（
n5n
a—6）—cos（_6+
2nn
a=1—cos>
（6—a+cos（6—a=
2+*3
3.右f（x）=2tanx
-
込2
x_s
o
c
X-2
A.—3.3
C.4.3
D.-4.3
2x
1—2sin2jo
22cosx
2tanx+下=2tanx+
^sinx
4.（2011烟台模拟）已知sin（4—x）=5,则sin2x的值为（）
7161419
A.25B.25C.25D.25
sin2x=cosq—2x）=cos2Q—x）=1—2sin2q—x）=1—25=25.
5.（2011东营模拟）若x是三角形的最小内角，则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的值域是（）
B.[—1,2]C.（0,.2]D.（1,.2+2】
令t=sinx+cosx=V2sin（x+寸），而:
x+詐$n得1<
twV2.又t2=1+2sinxcosx,
f（x）=
A.[—1,+^）
由o<
xwn，
t2—i
得sinxcosx=2，得
2__4
sinxsinxcosx—sin2x‘
n3
二叼==8.
sin^
6
t2—111一-1
y=t+—=yt+1）2—1,有1<
yw-（2+1）2—1=.2+，故选D.
a—Bz、a—严kn,k€Z），贝Ucos22=（）
6.已知acosa+bsina=c,acosB+bsinB=c（ab^0,
c2
A.a2+b2
a2
B.c2+b2
D.c2+b2
在平面直角坐标系中，设A（cosa,sina,B（cosB,sin3,点A（cosa,sina）
与点B（cos3,sin3是直线I:
ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点，如图，从而|AB|2=（cosa-cos3）2+（sina—sin®
2=2—2cos（a-3），又•••单位圆的圆心（0,0）到直线I
Id处1处处2—2cosa—3
的距离d=.，由平面几何知识知|OA|2—（2|AB|）2=d2,即卩1—4
2_c2
d=22，
a2+b2
2a—3c2
•••cos2”=一.
2a2+b2
二、填空题洪3小题，每小题5分，满分15分）
3n3
7.若sinCg—2x）=3，贝Vtan2x=.
丽（乎-2X）=3?
cos2x=-5,tan2x=黯
1—cos2x
1—cos2x
=4.
1+cos2x1+cos2x
&
设f（x）=1+cos2x+sinx+a2sin（x+n的最大值为2+3,则常数a=
n4
2sin2—x
1+2cosx—1n
f（x）=2cosx+sinx+a2sin（x+4）
2n—n2n
=cosx+sinx+asin（x+[）=32sin（x+?
+a
=（.2+a2）sin（x+4）.
依题意有,2+a2=2+3,—a=±
3.
9.已知a=（cos2a，sina），b=（1,2sina—1），
由a•=5，得cos2a+sina（2sin
n2n
a€（2，n,若ab=2贝ytan（a+-）的值为
2a—1）=5,
2223
即1—2sin2a+2sin2a—sina=，即sina=.
55
又a€（2，力,—cosa=—5,
3n1+tana
•tana=—a，—tan（a+彳）=
441—tana
1—4_13=7.
1+3
三、解答题洪3小题，满分35分）
八3
10.已知4nVaVn，
1tana+?
tana
5sin2：
+8sin-cosr+Ucos2-—8
10「2222
.求的值.
3n
丫2sina—2
Ttana+
130,—3tan2a+10tana+3=0,
解得tana=—3或tan
a=-3.
匸3n丄
又-4VaVn，--tana=—
2aaa2a
5sin2+8sin2cosg+llcosq—8
2sina—2
1—cosa
1+cosa
+4sina+11
5,2
5—5cosa+8sina+11+11cosa—168sina+6cosa8tana+6
—2\；
2cosa—2"
』2cosa—2\2
11.（2010天津高考）在厶ABC中,
AC_cosBABcosC.
（1）证明B=C;
1n
⑵若cosA=—3,求sin（4B+3）的值.
（1）证明：
在厶ABC中，由正弦定理及已知得
sinB_cosBsinCcosC
于是sinBcosC—cosBsinC=0,即卩sin（B—C）=0，因为一nVB—Cvn,从而B—C=0.所以B=C.
⑵由A+B+C=n和
（1）得2B=n—A,1
故cos2B=cos（n-A）=—cosA=3.
又0v2Bvn于是
sin2B=
1—cog2B=
2.2
从而sin4B=2sin2Bcos2B=,cos4B=cog2B—sin22B=—9
nnn4,2—7_3
所以sin（4B+3）=sin4Bcos§
+cos4Bsm3=花—
nn
4<
a2,
2sina+sin2a
12.函数y=sina+cosa—4sinacosa+1，且=k,
1+tana
（1）把y表示成k的函数f（k）；
⑵求f（k）的最大值.
2sina+sin2a2sina+2sin久cosa2sinasina+cosa
（1）'
-k====2sinacosa,
1+tana1+cosa+sina
+cosa
cosa
/•（sina+cosa）2=1+2sinacosa=1+k.
/•sina+cosa>
•'
•Sina+cosa=
1+k./.y=
1+k—2k+1.
由于k=2sinacosa=sin2a,4<
aW2,
•••0Wk<
1..-.f（k）=1+k—2k+1（0wk<
1）.⑵设J+k=t,贝Vk=t2—1,1wt<
2.
•••y=t—（2t2—2）+1,
即y=—2t2+t+3（1<
t<
.2）.
•••关于t的二次函数在区间［1,.2）内是减函数,•'
•t=1时，y取最大值为2.
六、反思总结:
当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功!
1.已知sin10°
=a,贝Usin70°
等于
A.1—2a2
由题意可知,
B.1—2a2C.1—a2D.a2—1
=1—2a2.
2.（2011海淀模拟
）定义运算a®
b=a12—ab—b2,则
A—丄—亚
.24
.nn
sin®
cos-=
66
sinn®
cosn=sin
.2n.nn
口6—sin6cos6
:
2n
—cos2=
sin70°
=cos20°
=1—2sin210
1+.2cos2a—
3.已知角a在第一象限且cos
等于（
sina—n
代5
b.5
C.
14
5
1+cos2
原式=
a（sj+sin2
n45i1+cos2—sin2
2cos2a—2sinacosa
►Hu
贝
4一
/_k
=2x（cos-asin=2x（+£
）=乎.
4.（2010全国卷n）已知a是第二象限的角,
由题设得tan（n-2a）tan2a=—3,
由二倍角公式得
2tana
tan2=~
1—tana
3,
整理得2tana—3tan—2=0，解得tana2，或tan=—2，
记相应的三个圆的圆心分别是01,02,03,半径为r.依题知，可考虑特殊情形，从而求得相应的
值，当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知此时有
2n4n
a1=a2=a3=2n—~~,
a1a+a3a1a+aa1+a2+a
此时cosgcos~~3~—sin§
sin~3~=cos
4nnn1
3=cos~3=cos（+13）=—cos3=—^.
6.已知向量a=（cosasina,b=（cos,sin
（1）求cos（—B的值;
B,|a—b|=
nn5
⑵右—2<
B<
a^且sin=—13，求sin
a的值.
（1）•••|a|=1,|b|=1,
•••|a—b|2=a2—2ab+b2=|a|2+|b|2—2（cos
acOssir（3asinB）
=1+1—2cos（—aB）
•••|a—b|2=（響）2=4,
、4
•・2—2cos（-aB=5，
解得cos（—B）?
（2）I—2<
a矛
•・0<
a—
由cos（
B<
n.
34
—B）5,得sin（—a
5心12
由sin书一13，得cos书13.
4123533
「•sinasin[（—3沪B]sin（—B）cos+cos（—B）sin=
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