完整版第十二讲简单的三角恒等变换经典难题复习巩固文档格式.docx

1、自主解答原式=（丄tan 2丄 a atan 2）（1 + tan a p）nCOS2Lasin 2a asin sin 2 （1 sin a_2、a + cos a a cos coS.acos a sin asin 2 2cos %2cos a sin a（1 + - ） = ; a a cos a a Sin a sin a cos a sin cos cos?sin扌COS22si n2cos a 2十 =sin a acos22cos asin a44si n；sin a2 a 2 a 2 a2cos 十 4sin2q 2 1 2sin22 十 4sin；sin a _ sin a变

2、式训练：化简1 + COs sin1 cos sin0.cos sin 01 + cos 9- sin 0解:原式=20 C . 0 0 22cos22 2sin 2COS2 2sin2Q 2sinc 0 9 92cosq cos- sin c B 9 92sin sin cos2 0 0 0 2 0 0 0 2sin 2 2sin 2COS2 2cos 2 2sin$cos22sin0 sin 2 cos#2cos cos sin 2 0 , . 2 0cos si n cos2q+ sin2q厂=sing cos sin gcosgsin 0考点二三角函数式的求值（1）已知（2）已知a,八

3、 n 3 1032a n且 cos（ 2）= 9,1 A3 = -，tan3 （0, n ,且 tan（a 2sin（- 3=石，求cos（汁3的值.2 313= 7求2a 3的值.自主解答n av_4 2n（1） T0 3 a n3，4a 20 , d 1/ 3 ，1 4 一 X 一I十2 7.cos（ 4a 3 = 2cos 2 1 = 2 x 729 1 = 729,tan a 3 + tan 3（2） Ttan a= tan （ 343 =1 tan a 3 tan 32 x 30 a1 一 tan a 1 21 3 02 a|,3 tan2 tan 3 4 十 7tan（2 -a 3

4、= = 3 1 = 1.1 十 tan2 a tan 3 3X -4 7 -tan 3 一 70,2 3 n n 23 2 a 3= 34n.变式训练:sin2 d- cos2 1 sin2 cos2 a 1sin4 a3求角a的值.sin2 cos2 1 sin2 （ cos2 1已知a是锐角，且sin22 a cos2 1 2 sin 空 a C0S?2a+ 2cos2 a 1 2cos22 a+ 2cos2 a 1 cos2 a2sin2 a cos2 a2sin2 a cos2 a sin2 a2sin2 a cos22sin2a sin a= =tar2sin a cos acos

5、a由已知可得tan = v3,又T a是锐角.a= 3.（1）求f（x）的最小正周期;,y = g（x）的最大值.若函数y= g（x）与y= f（x）的图象关于直线 x= 1对称，求当x 0 ,n n n n n 3 n 3 n n n自主解答（1）f（x） = si“4x cos6 cos&x sin cos&x =三 sinx qcox = , 3 simx ）,故f（x）的最小正周期为T = 6= 8.4在y = g（x）的图象上任取一点（x, g（x）, 它关于x= 1的对称点为（2 x, g（x）.由题设条件，点（2 x, g（x）在y= f（x）的图象上,*- 3） = 3 cos

6、（n + p. g（x） = f（2 x） = ,3 si门彳2 x）扌=,3 sin（当0 xw -时，n , n n , 2 n3 4x 十 3 3 .当x = 0时，即g（x） max = 3COS：思考 :将本例（2）中“直线x = 1对称”改为“坐标，原 点对称”，如何求解？解：设x, y为y = g x图象上的任意一点，则 x, y关于原点的对称点为 一x, y ,即 g（x） = ,3sin（n + 扌）又 0 w xw u n n 2 3w 4x+ 3w 3n 2 w 3si n（4X + n）w 3, g（x）的最大值为.3. 已知集合 P= x|x 2-条汁专w 0，函数

7、f（x） = 4sin2（扌+ x） 2p3cos2x+ t（x P）最小值为 3.（1）求t的值；若不等式2+ mf（x）在x P上恒成立，求实数 m的取值范围.（1）因为 f（x） = 21 cos（2 + 2x） 2 . 3cos2x+1 = 2sin2x 2 ,3cos2x+ 2+1 = 4sin（2x -）+ 2+ t,3 2由 P = x|x2 4 n x 8w 0，可得 4w xw2,2 n 1所以 6w 2x 3w才，则有 w sin（2x 3） w 1.因为函数 f（x） = 4sin2（4+ x） 2.3cos2x+ t（x P）的最小值为 3，所以 4 X j + 2+

8、t = 3，解得 t = 1.因为2+ mf（x）在x P上恒成立，则由已知可得 2+ m3，得m （6 a+cos（6 a=2+ *33 .右 f（x） = 2tanx-込2x_socX- 2A . 3 .3C. 4 .3D . - 4.32x1 2sin2j o2 2cosx2ta nx + 下 =2ta nx +s inx4.（2011烟台模拟）已知sin（4 x） = 5,则sin2x的值为（ ）7 16 14 19A.25 B.25 C.25 D.25si n2x = cosq 2x） = cos2Q x） = 1 2s in 2q x） = 1 25 = 25.5. （2011东营

9、模拟）若x是三角形的最小内角，则函数 y= sinx + cosx+ sinxcosx的值域是（ ）B . 1, 2 C. （0, .2 D. （1, .2+ 2】令 t = sinx+ cosx=V2sin（x+寸），而:x + 詐$ n 得 1twV2.又 t2= 1 + 2sinxcosx,f（x） =A . 1,+ ）由oxw n，t2i得 sin xcosx= 2，得2_ 4sin x si nxcosx sin2xn 3二叼=8.si n6t2 1 1 1 一 - 1y= t+ = yt+ 1）2 1,有 1yw-（ 2+ 1）2 1 = .2 + ，故选 D.a B z 、 a严

10、 k n, k Z），贝U cos2 2 =（ ）6.已知 acos a+ bsin a= c, acos B+ bsin B= c（ab 0,c2A.a2 + b2a2B.c2+ b2D.c2+ b2在平面直角坐标系中， 设A （cos a, sin a, B（cosB, sin 3,点A（cosa, sin a）与点B（cos 3, sin 3是直线I: ax + by= c与单位圆x2+ y2= 1的两个交点，如图，从而 |AB|2= （cosa-cos3）2+ （sin a sin 2= 2 2cos（ a- 3），又单位圆的圆心（0,0）到直线 IId 处 1 处 处 2 2cos

11、a 3的距离d =. ，由平面几何知识知|OA|2（2|AB|）2 = d2, 即卩1 4 2_ c2d = 2 2，a2 + b22 a 3 c2cos2” = 一.2 a2+ b2二、填空题 洪3小题，每小题5分，满分15分）3 n 37 .若 sinCg 2x） = 3，贝V tan2x = .丽（乎-2X）= 3? cos2x = -5, tan2x=黯1 cos2x1cos2x=4.1+ cos2x 1+cos2x&设 f（x）= 1 + cos2x + sinx+ a2sin（x+n的最大值为 2 + 3,则常数 a =n 42sin 2 x1 + 2cos x 1 nf（x）=

12、2cosx + si nx + a2s in（x+ 4）2 n n 2 n=cosx + sinx + a sin（x + ）= 3 2sin（x + ?+ a=（.2+ a2）sin（x + 4）.依题意有,2+ a2= 2 + 3,a= 3.9.已知 a = （cos2a， sin a）， b = （1,2sin a 1），由 a = 5，得 cos2a+ sin a（2sinn 2 na（2，n,若 a b =2 贝y tan（ a+ -）的值为2 a 1） = 5,2 2 2 3即 1 2sin2a+ 2sin2 a sin a=，即 sin a=.5 5又 a（2，力,cos a=

13、5,3n 1 + tan atan a= a， tan（ a+ 彳）=44 1 tan a1 4 _ 1 3= 7.1 + 3三、解答题洪3小题，满分35分）八310 .已知 4 nV aV n，1 tan a+ ?tan a5si n2：+ 8sin -cosr+ Ucos2- 810 2 2 2 2.求 的值.3 n丫2sin a 2 Tta n a+130,3tan2a+ 10tan a+ 3= 0,解得 tan a= 3 或 tana=- 3.匸3n 丄又-4 V aV n， - -tan a= 2 a a a 2 a5sin 2 + 8sin2cosg+ llcosq 8,2sin

14、a 21 cos a1 + cos a+ 4sin a+ 115,25 5cosa+ 8sin a+ 11+ 11cosa16 8sin a+ 6cos a 8tan a+ 62；2cos a 22cos a 2 211. （2010天津高考）在厶ABC中,AC _ cosB AB cosC.（1）证明 B = C;1 n若 cosA = 3,求 sin（4B + 3）的值.（1）证明：在厶ABC中，由正弦定理及已知得sinB _ cosB sinC cosC于是 sinBcosC cosBsinC= 0, 即卩 sin（B C） = 0，因为一nVB Cv n, 从而B C = 0.所以B

15、= C.由 A + B+ C= n 和（1）得 2B = n A, 1故 cos2B= cos（ n- A）= cosA = 3.又0v2Bv n于 是sin2B =1 cog2B =2.2从而 sin4B= 2sin2Bcos2B = , cos4B = cog2B sin22B= 9n n n 4 ,2 7 _ 3所以 sin（4B + 3） = sin4Bcos + cos4Bsm3 = 花 n n4 Sin a+ cos a=1 + k./.y=1 + k 2k+ 1.由于 k= 2sin acosa= sin2 a, 4 aW 2,0W k1. .-.f（k）= 1 + k 2k +

16、 1（0w k1）. 设 J + k = t,贝V k = t2 1,1 w t 2.y= t （2t2 2） + 1,即 y = 2t2+ t+ 3（1 t .2）.关于t的二次函数在区间1 , .2）内是减函数, t= 1时，y取最大值为2.六、反思总结:当堂过手训练（快练五分钟，稳准建奇功!1 .已知 sin10 = a,贝U sin70 等于A. 1 2a2由题意可知,B. 1 2a2 C. 1 a2 D. a2 1=1 2a2.2. （2011海淀模拟）定义运算a b = a1 2 ab b2,则A 丄亚.2 4.n nsin cos-=6 6sinn cosn= sin.2 n .

17、 n n口 6 sin 6cos6: 2 ncos2 =sin70 = cos20= 1 2sin2101 + . 2cos 2 a3.已知角 a在第一象限且cos等于（sin a n代5b.5C.1451 + cos2原式= a（sj+ sin2n45i 1 + cos2 sin22cos2 a 2sin a cos aHu贝4 一/_k=2 x （cos -asin =2 x （ + ）=乎.4. （2010全国卷n ）已知a是第二象限的角,由题设得 tan（ n- 2a） tan2 a= 3,由二倍角公式得2tan ata n2 = 1 tan a3,整理得 2tan a 3tan 2=

18、 0，解得 tan a 2，或 tan = 2，记相应的三个圆的圆心分别是 01, 02, 03,半径为r.依题知，可考虑特殊情形，从而求得相应的值，当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知此时有2n 4na1 = a2= a3= 2 n ,a1 a + a3 a1 a + a a1 + a2 + a此时 cosgcos3 sinsin 3 = cos4 n n n 13 = cos3 = cos（ +13） = cos3 = .6.已知向量 a= （cos a sin a, b = （cos , sin（1）求 cos（ B 的值;B, |a b| =n n 5右2 B a 且 sin = 13，求 sina的值.（1） |a|= 1, |b| = 1,|a b|2= a2 2a b + b2= |a|2+ |b|2 2（cosa cOssir（3 a sin B）=1 + 1 2cos（ a B ）|a b|2=（響）2= 4,、42 2cos（ -a B = 5，解得 cos（ B） ?（2） I2 a矛0 a由 cos（B n.3 4B ）5,得 sin（ a5 心 12由 sin 书一13，得 cos 书 13.4 12 3 5 33sin a sin （ 3沪 Bsin（ B ）cos+cos（ B ）sin=