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的所有不同的等价类的个数是O

2・18在数域F上的所有n阶方阵的集合M”（F）中，规定等价关系〜:

A〜BO秩（A）二秩

（B）,则这个等价关系决定的等价类有个。

2.19设M血（F）是数域F上的所有100阶方阵的集合，在Mioo（F）中规定等价关系~如下:

A〜BO秩（A）二秩（B）,则这个等价关系所决定的等价类共有个。

2.20若扫｛有理数域上的所有3级方阵｝,A,BgM,定义秩（A）二秩（B）,则由”确定的等价类有个O

3证明题：

3.1设°

是集合A至IJB的一个映射，对于⑦处人，规定关系“~”：

a~bo0（。

）=姙）.证明：

“〜”是A的一个等价关系.

3.2在复数集C中规定关系Q~〃o|d|=l"

l.证明：

是c的一个等价关系.

3.3在n阶矩阵的集合M“（F）中规定关系"

冃B|.证明：

是

M"

）的-个等价关系.

3.4设是集合A的一个关系，且满足：

（1）对任意处人，有G〜。

；

（2）对任意ayb,ceAf若a〜b,a〜c,就有b〜c•证明：

“~”是A的一个等价关系.

3.5设G是一个群，在G中规定关系心”：

a〜2存在于SeG，使得h=S~^g•证明：

“〜”是G的一个等价关系.

第二章群论

2.1群的定义.

1・1设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:

（A）G对于这个乘法运算都是封闭的；

（B）Va,b,cG,都有（ab）c=a（be）成立；

（C）存在G,使得X/aG,都有e沪a成立；

（D）VaG，都存在aG,使得aa二e成立。

则G关于这个乘法运算构成一个群。

1.2设非空集合G关于一个乘法运算满足以下四条:

A）G对于这个乘法运算是封闭的；

B）Va>

CGG,都有（ab）c=a（bc）成立；

C）存在e^G,使得VaeG,都有aer=a成立；

D）Vaec,都存在a_，^G,使得「a二成立。

1.3设G是一个非空集合，在G屮定义了一个代数运算，称为乘法，如果

（1）G对乘法运算是封闭的

（2）G对乘法适合结合律（3）G对乘法适合消去律，则G构成群。

1.4设G是一个有限非空集合,G中定义了一个代数运算称为乘法，如果

（1）.G对乘法运算是封闭的；

（2）.乘法适合结合律与消去律，则G对所给的乘法构成一个群。

1.5实数集R关于数的乘法成群。

1.6若G是一个n阶群,a.G,|a|表示a的阶，则|a|。

1.7若|a|=2,|b|=7,ab=ba,则|ab|=14。

1.8设Q为有理数集,在Q上定义二元运算“。

”，aobF+b+8b（V%WQ,则（Q,。

））构成一个群。

2.2变换群、置换群、循环群

1.9一个集合上的全体一一变换作成一个变换群。

1.10一个集合A的所有变换作成一个变换群G.（）

1.11集合A的所有的一一变换作成一个变换群。

1.12素数阶群都是交换群。

1.13p（p为质数）阶群G是循环群.（）

1.14素数阶的群G—定是循环群.（）

1.153次对称群»

是循环群。

1.16任意群都同构于一个变换群.（）

1.17有限群都同构于一个置换群。

1.18任何一个有限群都与一个循环群同构。

1.19在5次对称群乂中，（15）（234）的阶是6.（）

1.20在4次对称群0中，（12）（324）的阶为6。

1.21

在比中,（12）（345）的阶是3。

（

）

1.22

任意有限群都与一个交换群同构。

（

1.23

因为2'

阶群是交换群,

所以6邛介群也为交换群。

1.24

6阶群是交换群。

）。

1.25

4阶群一定是交换群。

1.26

4阶群一定是循环群。

1.27

循环群一泄是交换群。

1.28

设G是群，a,bGG,

|a|=2,|b|=3,

贝!

J|ab|=6。

1.29

14阶交换群一定是循环群。

1.30如果循环群G=@）中生成元d的阶是无限的，则G与整数加群同构。

1.31有理数加群Q是循环群。

1.32若一个循环群G的生成元的个数为2,则G为无限循环群。

（）

2.3子群、不变子群。

1.33若II是群G的一个非空子集，且Va,beH都有aben成立，则H是G的一个子群。

1.34若H是群G的一个非空有限子集，且Va,beH都有ab^H成立，则H是G的一

个子群。

1.35循坏群的子群也是循环群。

1.36如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。

1.37一个阶是11的群只有两个子群。

1.38有限群&

中每个元素Q的阶都整除群G的阶。

1.39设G是一个n阶群，则G屮一定有m阶子群存在。

1.40若G是60阶群，则G有14阶子群。

1.41设G是60阶群，则G有40阶子群。

1.42阶为100的群一定含25阶元。

1.43阶为100的群一定含25阶子群。

1.44阶为81的群G中，一定含有3阶元。

1.45设H是群G的一个非空子集，则HSGoHH"

=H。

1.46设II是群G的一个非空子集，则HSGoHH—'

。

1.47群G的子群H是不变子群的充要条件为P?

GH;

g-'

Hg匸H。

1.48群G的一个子群H元素个数与H的每一个左陪集的个数相等.（）

1.49指数为2的子群不是不变子群。

1.50若NAH,HAG,则N^G。

1.51若N是群G的不变子群,N是群N的不变子群，则N是G的不变子群。

1.52设HWG,KWG,则HKWG。

1.53若N<

N,H<

G那么NH<

G。

2.4商群、群的同态定理。

1.54群之间的同态关系是等价关系。

1.55循环群的商群是循环群。

1.56设f：

Gt石是群G到群T的同态满射，aeC,则a与f（a）的阶相同。

1.57设G是有限群，HWG,贝】J|%匸回。

/H\H\

1.58若°

是群G到G的同态满射，n是G的一个不变子群，则。

（N）是G的不变子群，且%三%（“）。

1.59设f是群G到群&

的同态映射，H°

G,贝ljf（H）^Go（）

1・60设f是群G到群G的同态映射，HWG贝ljf（H）wG。

1.61若是群G到的一个同态满射,N是G的一个不变子群，贝0（7）是的不变子群，且二

1.62若是群G到的同态满射，是的一个不变子群，（）表示“的原象，则（）是G不变子群,且=o（）

1.63设G和G都是群，GmG,N\GN二0（N）,贝IJN^G,且G//V三G//V。

2.1在群G中，a,bWG,a2=e,aJba=b2,则|b|=。

2.2在交换群G中，a,bEG,|a|=8,|b|=3,则b|=。

2.3设a是群G的元"

的阶为6,则『的阶为。

2.4设a是群G中的一个8阶元，则a的阶为。

2.5设G是交换群，b^G,|a|=5,|b|=7,则|sb|二。

2.6群AG中有个1阶元。

2.7在S5中，4阶元的个数为

2.8在S.i中，3阶元的个数为

2.9设G为群，aeGf若乂

'

"

2,则

240设群G二（e,an购…

an-1},运算为乘法，e为G的单位元，则二

2.11若a,b是交换群G中的5阶元和/阶元，则sb的阶为。

2.12在整数加群Z中，<

4>

0<

6>

=o

2.1310阶交换群G的所有子群的个数是。

2.14阶数最小的非交换群的阶数是。

一个有限非可换群至少含有

个元素.

2.15任意群G一定同构于G的一个c

2.16n次对称群Sn的阶是。

（123456789）

2.179-置换，分解为互不相交的循环之积是。

（543961827丿

2.18n阶有限群G—定置换群。

2.19每一个有限群都与一个群同构。

（12345）

（J=

2.20已知（3125"

丿为S5上的元素，则1=。

2.21给出一个5-循环置换龙=（31425）,那么龙

2.22在4次对称群S（屮，（134）2（312）、

2.23在4次对称群，中，（24）（231）=,（4321）_1=,

（132）的阶为c

2.24在6次对称群S中，（1235）（36）=。

2.25（2431）"

二o

2.26设群G的元a的阶是n,则扌的阶是.

2.27设群G屮元素。

的阶为加，如果an=ef那么加与"

存在整除关系为。

4

2.28已知群G中的元素Q的阶等于50,则°

的阶等于o

2.29设G=（d）为循环群，那么

（1）若°

的阶为无限，则G同构于,

（2）

若Q的阶为n,则&

同构于。

2.30若群G是一个6阶循环群，则G与（模6剩余类同构）同构。

2.31设G二@）是循环群，则G与模刃的剩余类加群同构的充要条件是

2.32整数加群（Z,+）的两个生成元是—+1和-1。

2.33整数加群Z有个生成元.

2.34整数加群（Z,+）的生成元是。

2.35无限循环群G=（a）的生成元为/的逆o

2.36无限循环群G中能作为G的生成元的元素共有个。

2.37若G二（a）是一个无限循环的乘法群，则G的另一个生成元是a的逆元—。

2.38剩余类加群Z共有_4个元可作为它的生成元。

2.3916阶循环群G屮能作为G的生成元的元素的个数为—8。

2・40模10＜1379＞剩余类加群（Z,+）中能作为Z的生成元的元素有。

2.41设G二⑷是12阶循环群，则G的生成元是。

2.42设G是一个阶群，其中"

是一个素数，加是一个正整数，则G的真子群的

一切可能的阶数是O

2.43设G是p阶群，（p是素数），则G的生成元有个.

2.44剩余类加群Z|2有个生成元.

2.45设H是群G的非空子集，则H是G的子群的充要条件是。

2.46设6=（a）是6阶循环群，则G的子群有。

2.47设群G是24阶群，G中元素a的阶是6,则元素J的阶为,子

群H=＜『＞的在G中的指数是。

2.48设为群G的子群，则£

企是群&

的子群的充分必要条件为o

2.49设丹是群G的子群，a,bwG,则Ha=Hbo。

2.50在3次对称群S冲，H={

（1）,（12）}是S3的一个子群,贝IJH（23）=.

在3次对称群S3屮，H={

（1）,（23）},则S3对H的右陪集分解式是

的子群H={

（1）,（123）,（132）}的一切右陪集

G二（a）是21阶群，11=（/）.贝o

凯莱定理说：

任一个子群都同一个同构。

凯莱定理的内容是：

设G是群，N是G的非空子集，则NAG的充要条件是

6阶循环群有个子群.

设G是由a生成的30阶循坏群，H=<

a_5>

则G/II=。

3%

设G=（a）是10阶群，H=（a）,则/H=。

设化ATN,^匸刁，则处旷⑶上.

16阶循坏群G中能作为G的生成元的元素的个数为o

设°

A,则0®

⑷）=。

模10的剩余类加群乙0的生成元为o

设a是群G中的一个6阶元，则°

的阶为o

一个6阶的非交换群G中的非单位元的阶一定是o

剩余类加群（乙2，+）中能作为它的生成元的元素有。

设G是群，a,beG,|a|=12,贝!

j|baI0b11=。

设G是一个20阶的交换群，aeG,|a|=2,则G/<

a>

竺

在整数加群Z中，H<

Zf\H\^\则丹三。

在整数加群Z中，H=<

-4>

则上：

H]=在12阶循环群G中，G=<

H=<

a2>

则

在4次对称群h中，S={（123）},则<

S>

二

在S冲,*235）（13）（24），则”二

21阶群G屮，7阶子群的个数为o

设nM,商群%中的单位元是

在整数加群Z屮，H二〈3〉SZ,/h=?

则&

设G,&

分别为m,n阶循环群，则G】〜G?

的充要条件是

Z彳到Z2的所有同态映射是。

2.80在整数加群Z中，<

12>

+<

18>

10>

二o

2.81在同构的意义下，6阶群有种。

2.82设G是模4的剩余类加群，那么Aut（G）=。

2.83设G是正有理数作成的乘法群，qWG,沪2”£

（p,q为奇数，n为整数），令°

：

q

仏°

是G到（Z,+）的同态映射，贝ijKer^=。

2.84设G,H是两个阶互素的有限群，则G到II的同态映射f为o

2.85在环R二4Z二｛4k|kGZ）中，（8）=。

2.86在整数加群Z屮，S二｛22,32｝则〈S>

2.87设群G中元素a的阶为加，如果出=e,那么m与n存在整除关系为。

2.88设&

是一个〃阶交换群，。

是G的一个加（m<

n）阶元，则商群G/（a）的阶等于O

2.89

7、一个非正方形的长方形S的对称群是｛｝。

13、平而上的正方形的对称群是o

72.设a,b是群G的两个元素，满足aba=ba2b,a3=l,b-1,贝Ub二。

3.1令G=｛A\A为n阶正交矩阵｝.证明，G对于矩阵的普通乘法作在一个群.

3.2设G是整数集，规定运算：

g㊉b=a+b+4,PagG•证明：

G对运算㊉作成一个群.

3.3方程x3-l=0在复数范围内的三个根关于数的乘法构成群.

3.4｛（□1）*（V-1）*（71）*I0-1:

Q关于矩阵

的乘法构成群.

3.5全体可逆的也阶方阵的集合<

7£

»

（R）（n>

1）关于矩阵的乘法构成一个非交换群.这个群的单位元是单位矩阵，每个元素（即可逆矩阵）▲的逆元是▲的逆矩阵.

3.6设R为实数集，gbwR,ar0,令仏：

Rt,将尺的

所有这样的变换构成-个集合°

二也爲也恥恥工°

｝,试证明：

对于变换普通的乘法,G作成一个群。

3.7证明：

若群G的每个元素都满足方程兀2=丘，则G是一个Abel群（交换群）.

3.8设G是一个群，证明：

G是交换群的充分必要条件是，对任意agG,都有（ab）2=a2b2

3.9证明：

在群G中，。

一'

与。

有相冋的阶.

3.10证明：

与加犷有相同的阶.

3.11证明：

在n阶群G中每个元都满足xn=e.

3.12设0为群.Jbg证明：

心-、与b有相同的阶.

3.13证明：

在群G中,ab与ba有相同的阶.

3.14设。

为群.吗证明：

aba、ka,aat有相同的阶.

3.15设厂为。

到G的同构映射，ae<

3证明：

诚”与&

有相同的阶.

3.16设。

为群，a€G,a的阶为级&

=（♦>

）.证明：

<

>

lar=rf.

3.17设awG,J的阶为®

证明"

的阶是巨，其中S。

3.18证明：

循环群是交换群.

3.19证明：

有限群中阶数大于2的元的个数必是偶数.

3.20证明：

任意偶数阶群必含有阶为2的元素.

3.21设"

为素数.证明：

绻中每一个非零元都是生成元.

3.22设G是一个群，ZG.若a的阶是正整数n.证明：

对〃丘乙、2=e<

=>

〃|加.

3.23设G是一个交换群，m是固定的正整数.令H={aEG\a,n=e].证明：

“是g的一个子群.

3・24假定么和$是一个群G的两个元并且必・加，又假定么的阶是»

*的阶是®

（»

.川・1,证明：

妙的阶是押。

3.25设治，比是群G的子群.证明：

HfH?

也是G的一个子群.

3.28若群G的阶是素数p,则G是一个循环群，试证之.

3.29证明：

循环群的子群也是循环群.

3.30若群G与群G同态，且G是循环群，证明：

G也是循环群.

3・31证明：

阶为"

的群（p是素数）一定包含有一个阶为p的子群.

3.32设H,K是群G的不变子群，证明：

HK也是G的不变子群。

3.33设H,K是群G的不变子群，且H^K={e].证明：

V/?

gHykeK,都有hk=kh

3.34设H,K是群G的不变子群，证明：

HCK也是G的不变子群。

3.35设H是群G的子群，N是G的不变子群。

证明：

HN是G的子群.

3.36设G是一个n阶有限群.证明：

G的每一个元素都满足方程・

3.37设G是一个群，C=处VxwG}是g的中心，证明：

C是G

的一个不变子群.

3.38设C是群G的中心，即C={aeG\ax=xa,VxgG}.且商群％是循环

群.证明：

G交换群.

3.39若G是循环群，H是G的一个子群.证明：

％也是循环群.

3.40设G是一个群，令.证明：

是g到G的同构映射的充分必

要条件是：

G是一个交换群.

3・41设H是群G的子群，令Nc（H）={x|xgG,xH=Hx},证明Ng（H）是G的子群.

3.42设G是群，令C={x|xgG,VyeG,xy二yx},证明C是G的正规子群。

3.43设G二（a）是一无限循环群，证明G的生成元只有两个。

除单位元之外不含有限阶元素。

3.45取定群G的元u,在G屮定义新的"

o"

:

aob=aub.Fa.G.证明（G,o）是群.

3.46证明循环群的子群也是循环群。

3.47设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N。

3.48若G是一个群是G的单位元,G中任何元都是方程厂二丘的解，证明G是一个交换群。

3.49若G是一个循环群,N是G的一个子群，证明也是一个循环群.

3.50证明阶是素数的群一定是循坏群。

3.51设G是一个43阶的有限群，证明G的子群只有单位元群及G本身。

3.52证明：

群G为交换群为G到G的一个同构映射。

3.54设G是群，f：

G-G,（QWG）证明f是群G的自同态°

G是交换群。

3・55设G二{（a,b）|a,bGR,GH°

},在G上定义“。

（《b）°

（°

〃）=仏皿+"

）证明（G,。

）构成一个群。

3.56设G是有限交换群,f：

G->

G,f（g）=gk（Vg€G）证明代Aut（G）O（k,|G|）二1。

3.57设G是100阶的有限交换群,f:

G,f（g）=g49（VgGG）,证明fGAut（G）o

3.58设aSg,B§

G如果存在a,G,使得Aa二Bb,则A二B。

3.59设G是交换群，m是固定的整数，令11={ala^G,a,u=e）,证明1曲。

3.60设皿,令Cg（H）=（glg^G,VheH,gh=hg},证明Cc（H）^Go

3.61设G是非空有限集合，“。

”是G的一个二元运算，“。

”适合结合律及左、右消去律，证明：

（G,。

）构成一个群，当G是无限集时呢？

3.62设G是2000阶的交换群，H<

G,|H|二200,证明：

%是一个循环群。

3.63证明：

无限循环群的生成元的个数只有两个。

反之，一个循环群G的生成元只有两个，则G是否一定同构于Z?

3.64设G是一个循坏群，|G|#3,4,G的生成元的个数为2,证明G三Z。

3.65设G是有限群，H<

G,aWG,证明存在最小正整数叫使aeH,且血^。

3.66设G是奇阶群，则对任意geG,存在唯一元x^G,使萨

3.67证明：

整数加群Z与偶数加群2Z同构。

3.68设H<

G,g是G的一个固定元素，gHg_1={ghg】|hGI}

（1）证明：

gHg^Go

（2）证明：

h三

3.69设+={:

"

|a,be,G对复数的加法构成群，H

对矩阵的加法也构成群，证明：

G=H0

3.70设II是群G的非空子集，且H中元的阶都有限，证明：

HSGoH'

uH。

3.71设N<

G,|G/N|=10,gGG,|g|=12,证明：

g唱No

3.72设G是群，a,bWG,ab=ba,|a|=m,|b|=n,<

b>

={e}.证明：

|ab|=[m,n]（[m,n]是m,n的最小公倍数）。

3.73设b是一个n次置换，集合X={1,2,3,…，n},在X中，规定关系为k〜1O%WZ,使<

7r（k）=l.证明：

”是X上的一个等价关系。

3.74设K={

（1）,（12）（34）,（13）（24）,（14）（23）}证明:

K%。

3.75设G是群，H<

G,规定关系“证明：

~是@的一个等价关系，且8所在的等价类[a]=Ha0

3.76证明：

15阶群至多含有一个5阶子群。

3.77设H^G,若II的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集