全国市级联考黑龙江省齐齐哈尔市学年高一下学期期末考试数学试题.docx

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全国市级联考黑龙江省齐齐哈尔市学年高一下学期期末考试数学试题

【全国市级联考】黑龙江省齐齐哈尔市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合，，则（）

A．B．C．D．

2．《张丘建算经》中女子织布问题为：

某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（）尺布.

A．B．C．D．

3．若三点,,共线，则有（）

A．B．C．D．

4．已知角为第二象限角，且，则（）

A．B．C．D．

5．在中，若，则与的关系为（）

A．B．C．D．

6．在等比数列中，已知，，则（）

A．B．C．D．

7．已知，，若，则实数的值为（）

A．B．C．D．

8．设函数的部分图象如图所示，若，，且，则等于（）

A．1B．C．D．

9．若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

10．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）

A．B．C．D．

11．若等边的边长为3，为的中点，且上一点满足：

，则当取得最小值时，（）

A．B．6C．D．

12．已知函数若对任意的，都有，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．函数的最大值是__________．

14．设是定义在上的周期为的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则__________．

15．设，满足约束条件若目标函数的最大值为，则实数__________．

16．已知三棱锥中，顶点在底面的射影为.给出下列命题：

①若、、两两互相垂直，则为的垂心；

②若、、两两互相垂直，则有可能为钝角三角形；

③若，且与重合，则三棱锥的各个面都是直角三角形；

④若，且为边的中点，则.

其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题

17．已知直线及点.

（1）求经过点，且与直线平行的直线方程；

（2）求经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的倍的直线方程.

18．已知是公比为正数的等比数列，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

19．如图，三棱柱中，点为的中点.

（1）求证：

平面；

（2）若底面为正三角形，，，侧面底面，，求四棱锥的体积.

20．在中，角、、的对边分别是、、，若、、成等差数列.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

21．如图，四棱锥中，底面，，，.

（1）若，求证：

平面平面；

（2）若，且，，求直线和平面所成角的正切值.

22．平面内动点到两定点，距离之比为常数，则动点的轨迹叫做阿波罗尼斯圆.现已知定点、，圆心为，

（1）求满足上述定义的圆的方程，并指出圆心的坐标和半径；

（2）若，且经过点的直线交圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程.

参考答案

1．D

【解析】

分析：

化简集合A，然后求交集即可.

详解：

由题意可知：

，又

∴

故选：

D

点睛：

本题考查交集及其运算，以及一元二次不等式的解法，属于基础题．

2．B

【解析】

由题可知每天织的布的多少构成等差数列,其中第一天为首项,一月按30天计可得,从第2天起每天比前一天多织的即为公差.又,解得.故本题选B.

3．C

【解析】

因为三点,,共线，所以，

因此选C.

4．A

【解析】

分析：

由同角三角函数的基本关系可得tana，代入二倍角的正切公式可得．

详解：

∵a是第二象限角，且sina=，

∴cosa=﹣=，

∴tana==，

∴tan2a==2×=

故选：

A．

点睛：

本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，考查计算能力，属于基础题．

5．B

【解析】

分析：

利用正弦定理及大边对大角即可得到结果.

详解：

由正弦定理知，

∵sinA＞sinB，

∴a＞b，

∴A＞B．

故选：

B．

点睛：

本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题.

6．A

【解析】

分析：

利用等比数列的性质计算即可.

详解：

设公比为q，

∵，，

∴a3+a3q2+a3q4=21，

∴3+3q2+3q4=21，

解得q2=2

∴a5=a3q2=3×2=6，

故选：

A．

点睛：

比数列的基本量运算问题的常见类型及解题策略：

①化基本量求通项．求等比数列的两个基本元素和，通项便可求出，或利用知三求二，用方程求解．

②化基本量求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解．

③化基本量求公比．利用等比数列的定义和性质，建立方程组求解．

④化基本量求和．直接将基本量代入前项和公式求解或利用等比数列的性质求解

7．C

【解析】

分析：

由向量垂直的条件：

即数量积为0，结合向量的平方即为模的平方，计算即可得到t．

详解：

由（+）⊥（+t），

可得（+）•（+t）=0，

即有+t+（1+t）=0，

又，，

即4+4t﹣（1+t）=0，

解得t=﹣1．

故选：

C．

点睛：

本题考查向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查运算能力，属于基础题．

8．D

【分析】

根据函数图像，得到周期，求出，再由函数零点，求出，进而可得对称轴，再由题意，得出，即可得出结果.

【详解】

由图像知周期，即，解得，A=1，

则，

由图像可得：

，因此，又，所以，

即，由，解得，

即是的一条对称轴，∵，且，

∴、关于对称，

则，

则，

故选：

D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像和性质的应用，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.

9．D

【解析】

分析：

函数有两个零点，构造函数h（x）=x+（x＞0）和g（x）=﹣t，相当于函数在x＞0时，图象有两个交点.

详解：

函数有两个零点，

∴h（x）=x+（x＞0）和g（x）=﹣t有两个交点，

∵h（x）=x+≥2=，

∴﹣t＞，

∴t＜﹣．

故选：

D．

点睛：

已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

（1）直接法：

直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：

先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：

先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

10．C

【解析】

如图所示，补成直四棱柱，

则所求角为，

易得，因此，故选C．

平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

①平移：

平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；

②认定：

证明作出的角就是所求异面直线所成的角；

③计算：

求该角的值，常利用解三角形；

④取舍：

由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．

11．C

【解析】

分析：

可画出图形，并由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+y=1，从而得到=，由基本不等式便可得出的最小值，以及对应的x，y值，从而用表示出，而，这样根据△ABC为等边三角形即可进行向量数量积的运算，从而求出的值．

详解：

如图，可知，x＞0，y＞0；

∵M，A，B三点共线，且；

∴x+y=1；

∴=

≥10+，当，即3y=x时取“=”，即取最小值；

此时x=，；

∵N是AB的中点；

∴

=

==．

故选C．

点睛：

考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件：

，且x+y=1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式．

12．D

【解析】

分析：

对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min，分别求出最值即可得出．

详解：

对任意的x1、x2∈R，都有f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min，

注意到，又g（x）=|a﹣2|sinx≥﹣|a﹣2|，

故．

故选：

D．

点睛：

本题考查了函数的单调性、等价转化方法、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

13．

【解析】

分析：

利用两角和正弦公式简化为y=，从而得到函数的最大值.

详解：

y=sinx+cosx==．

∴函数的最大值是

故答案为

点睛：

本题考查了两角和正弦公式，考查了正弦函数的图象与性质，属于基础题.

14．2

【解析】

分析：

由题意结合函数的周期性和函数的图象整理计算即可求得结果．

详解：

由题意可得：

f（2018）=f（2018﹣673×3）=f（﹣1）=2，

f（2019）=f（2019﹣673×3）=f（0）=0，

则．

故选D．

点睛：

本题考查了函数的周期性，函数的图象表示法等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．

15．1

【解析】

分析：

先作出不等式组的图象，利用目标函数的最大值为2，求出交点坐标，代入=0即可．

详解：

先作出不等式组的图象如图，

∵目标函数的最大值为2，

∴z==2，作出直线=2，

由图象知=2如平面区域相交A，

由得，即A（，），

同时A（，）也在直线=0上，

∴2﹣3=0，

则b=1，

故答案为：

1．

点睛：

本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及目标函数的意义是解决本题的关键．

16．①③④

【解析】

分析：

利用线面垂直的判定与性质定理逐一判断即可.

详解：

若PA，PB，PC两两互相垂直，容易推出AH⊥BC，同理BH⊥AC，可得H是△ABC的垂心，①正确；

若、、两两互相垂直，P在底面是射影H在△ABC的内部，是三角形ABC的垂心，所以不可能是钝角三角形，②不正确；

若与重合则PA⊥平面ABC，所以PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，

又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，

故四个面都是直角三角形，③正确；

当PH⊥平面ABC时，PA2=PH2+HA2，

PB2=PH2+BH2，PC2=PH2+CH2，

因为H是Rt△ABC斜边AB的中点，所以BH=AH=CH，

故PA=PB=PC，故④正确；

点睛：

垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.

17．

（1）

（2）

【解析】

分析：

（1）根据平行关系求出直线的斜率，利用点斜式求出方程即可；

（2）利用二倍角正切公式求出直线的斜率，利用点斜式求出方程即可.

详解：

（答案一）解：

（1）设直线的斜率为，则．

因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率，

又所求直线经过点，所以所求直线方程为．

（2）依题意，所求直线的斜率．

又所求直线经过点，所以所求直线方程为．

（答案二）解：

（1）设直线的斜率为，则．

因为所求直线与平行，所以所求直线的斜率，

又所求直线经过点，所以所求直线方程为，即．

（2）依题意，所求直线的斜率．

又所求直线经过点，所以所求直线方程为，

即．

点睛：

本题考查了求直线方程问题，考查直线的倾斜角问题，属于基础题．

18．

（1）

（2）

【解析】

分析：

（1）依题意，可求得等比数列{an}的公比q=2，又a1=2，于是可求数列{an}的通项公式；

（2），利用裂项相消法求和即可.

详解：

（1）设数列的公比为，

依题意，有整理得，解得（舍去），．

所以数列的通项公式为．