高中数学第一章三角函数122同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修408223166Word格式.docx

高中数学第一章三角函数122同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修408223166Word格式.docx

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C．D．－

解析　∵α为第三象限角，

∴cosα＝－＝－，

∴tanα＝＝．

答案　C

（2）已知sinα＋cosα＝，α∈（0，π），则tanα＝________．

解析　∵sinα＋cosα＝，∴（sinα＋cosα）2＝，

即2sinαcosα＝－<

0，

又α∈（0，π），则sinα>

0，cosα<

0，∴α∈（，π），

故sinα－cosα＝＝，

可得sinα＝，cosα＝－，tanα＝－．

答案　－

规律方法　求三角函数值的方法

（1）已知sinθ（或cosθ）求tanθ常用以下方式求解

（2）已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及（sinα±

cosα）2＝1±

2sinαcosα的等价转化，分析解决问题的突破口．

【训练1】　已知cosα＝－，求sinα，tanα的值．

解　∵cosα＝－<

0，且cosα≠－1，

∴α是第二或第三象限角，

（1）当α是第二象限角时，则

sinα＝＝＝，

tanα＝＝＝－．

（2）当α是第三象限角时，则

sinα＝－＝－，tanα＝.

互动

探究

　题型二　齐次式的求值问题

【探究1】　已知tanα＝2，求的值．

解　＝＝－．

【探究2】　已知tanα＝2，求．

【探究3】　已知tanα＝2，求的值．

解　＝＝＝．

【探究4】　已知tanα＝2，求2sin2α－sinαcosα＋cos2α的值．

解　2sin2α－sinαcosα＋cos2α＝

＝＝＝．

【探究5】　已知＝，求sinαcosα的值．

解　方法一　由＝得cosα＋2sinα＝15cosα－5sinα，即sinα＝2cosα，

∴sinαcosα＝＝＝．

方法二　由方法一中sinα＝2cosα可得tanα＝2，

规律方法　已知角α的正切求关于sinα，cosα的齐次式的方法

（1）关于sinα，cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα，cosα的式子且它们的次数之和相同，设为n次，将分子分母同除以cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，再代入求值．

（2）若无分母时，把分母看作1，并将1用sin2α＋cos2α来代换，将分子、分母同除以cos2α，可化为关于tanα的式子，再代入求值．

题型三　三角函数式的化简与证明

【例2】　

（1）化简：

sin2αtanα＋＋2sinαcosα；

解　原式＝sin2α·

＋cos2α·

＋2sinαcosα

＝

＝＝

（2）已知tan2α＝2tan2β＋1，求证：

sin2β＝2sin2α－1．

证明　因为tan2α＝2tan2β＋1，所以tan2α＋1＝2tan2β＋2

所以＋1＝2（＋1），

通分可得＝

即cos2β＝2cos2α，所以1－sin2β＝2（1－sin2α），

即sin2β＝2sin2α－1．

规律方法　1.三角函数式的化简技巧

（1）化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．

（2）对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．

（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

2．含有条件的三角恒等式证明的常用方法

（1）直推法：

从条件直推到结论；

（2）代入法：

将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明；

（3）换元法：

把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．

【训练2】　

（1）化简：

；

解　原式＝

＝＝＝1．

（2）求证：

＝．

证明　∵右边＝

＝＝＝左边，

∴原等式成立．

课堂达标

1．若cosα＝－，且α是第二象限角，则tanα的值等于（　　）

解析　由题意可得sinα＝＝，

∴tanα＝＝－．

答案　B

2．已知sinα＝，tanα＝－，则cosα＝（　　）

A．－B．

C．－D．

解析　由sinα＝>

0，tanα＝－<

0，可知α是第二象限角，

∴cosα＝－＝－．

答案　A

3．化简－的结果是________．

解析　原式＝＝

＝＝－．

4．已知cosα＝－，且tanα>

0，则＝________．

解析　由cosα<

0，tanα>

0知α是第三象限角，且sinα＝－，故原式＝＝

＝sinα（1＋sinα）＝（－）（1－）＝－．

5．已知＝2，计算下列各式的值：

（1）；

（2）sin2α－2sinαcosα＋1．

解　由＝2，化简，得sinα＝3cosα，所以tanα＝3．

（1）原式＝＝＝．

（2）原式＝＋1

＝＋1＝＋1＝．

课堂小结

1．同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”二字上，如sin22α＋cos22α＝1，＝tan8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”．

2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sinα或cosα时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．

3．在三角函数的变换求值中，已知sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．

4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．

5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用的技巧有：

（1）“1”的代换；

（2）减少三角函数的个数（化切为弦、化弦为切等）；

（3）多项式运算技巧的应用（如因式分解、整体思想等）；

（4）对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．

基础过关

1．化简的结果是（　　）

A．cos160°

B．±

|cos160°

|

C．±

cos160°

D．－cos160°

解析　＝＝|cos160°

＝－cos160°

．

答案　D

2．已知sinα－cosα＝－，则sinα·

cosα等于（　　）

解析　因为sinα－cosα＝－，平方可得1－2sinαcosα＝，所以2sinαcosα＝－，即sinαcosα＝－．

3．已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ等于（　　）

解析　sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ

＝＝，

又tanθ＝2，故原式＝＝．

4．在△ABC中，若tanA＝，则sinA＝________．

解析　由tanA＝>

0且角A是△ABC的内角可得

0<

A<

，又

解得sinA＝．

答案　

5．已知A为锐角，lg（1＋cosA）＝m，lg＝n，则lgsinA的值为________．

解析　由lg（1＋cosA）＝m，得1＋cosA＝10m，

由lg＝n，得1－cosA＝10－n，

故（1＋cosA）（1－cosA）＝10m－n，

即1－cos2A＝10m－n，即sin2A＝10m－n，

sinA＝10（m－n），所以lgsinA＝（m－n）．

答案　（m－n）

6．已知tanα＝2，求下列代数式的值：

（2）sin2α＋sinαcosα＋cos2α．

解　

（1）原式＝＝．

（2）原式＝

7．求证：

证明　方法一　∵左边＝

＝＝＝右边．

方法二　∵右边＝＝；

左边＝＝

＝＝．

∴左边＝右边，原等式成立．

能力提升

8．已知＝－，那么的值是（　　）

C．2D．－2

解析　因·

＝＝－1，

故＝．

9．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是（　　）

A．B．

C．1D．

解析　原式＝sin2α＋cos2α（cos2α＋sin2α）＝sin2α＋cos2α＝1．

10．已知sinθ＝，cosθ＝，则tanθ＝________．

解析　由sin2θ＋cos2θ＝（）2＋（）2＝1，解得m＝0或m＝8．

当m＝0时，sinθ＝－，cosθ＝，故tanθ＝－；

当m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－，

故tanθ＝－．

答案　－或－

11．已知关于x的方程4x2－2（m＋1）x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m的值为________．

解析　由题意知Δ＝4（m＋1）2－16m≥0，

解得m∈R．

不妨设sinA＝x1，cosA＝x2，

则x1＋x2＝（m＋1），x1·

x2＝m，

即sinA＋cosA＝（m＋1），sinAcosA＝m，

所以1＋2×

m＝（m＋1）2，

解得m＝或m＝－．

当m＝－时，sinAcosA＝－<

0，不合题意，舍去，故m＝．

12．已知sinθ，cosθ是关于x的方程x2－ax＋a＝0的两个根．求：

（1）sin3θ＋cos3θ；

（2）tanθ＋．

解　根据题意，方程判别式Δ≥0，

即（－a）2－4a≥0，所以a≤0或a≥4，

且

因为（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ，

即a2－2a－1＝0，

所以a＝1－（1＋舍去）．

所以sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－．

（1）sin3θ＋cos3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ）＝（1－）[1－（1－）]＝－2．

（2）因为tanθ＋＝＋＝＝＝－－1．

13．（选做题）化简下列各式：

（2）．

解　

（1）原式＝

＝－1．

（2）方法一　原式＝

方法二　原式＝

方法三　原式＝

精美句子

1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；

读太阳，读出了它普照万物的无私；

读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；

幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 

幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；

幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；

幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：

从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；

从归雁的行列中，我读出了集体的力量；

从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；

从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；

从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！

当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！

当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！

当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！

当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！

你燃烧自己后，贡献就大了

6、朋友是什么？

朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；

朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；

朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；

青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；

青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；

青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。