大梦杯福建省初中数学竞赛试题以及参考答案.docx
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大梦杯福建省初中数学竞赛试题以及参考答案
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间2016年3月13日9∶00－11∶00满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。
将沿直线折叠得，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
2．若实数，满足，，且，则（）
A．18B．12C．9D．6
3．若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点。
记的面积为，的面积为，则（）
A．B．C．D．
5．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为。
7．如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。
若，，则。
8．设，，，…，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是。
9．如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则。
10．若正整数，，满足方程组，则的最大值为。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。
12．如图，为的垂心，圆为的外接圆。
点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。
求证：
（1）垂直平分线段；
（2）。
13．对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。
求满足条件的所有正整数。
14．在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：
（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，这个数出现且仅出现1次）
（2）每一行个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。
2016年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案
考试时间2016年3月13日9∶00－11∶00满分150分
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。
每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）
1．在平面直角坐标系中，已知点，点在轴正半轴上且。
将沿直线折叠得，则点的坐标为（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】如图，设轴于点。
依题意，，。
所以，，，。
因此，点的坐标为。
2．若实数，满足，，且，则（）
A．18B．12C．9D．6
【答案】A
【解答】依题意，，为方程的两个不同实根。
因此，由韦达定理得，，。
。
或解：
。
3．若关于的方程只有一个实数根，则符合条件的所有实数的值的总和为（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】方程化为………………①
若方程①有两个相等实根，则，。
时，方程①的根，符合要求。
若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。
若是方程①的根，则，，此时，方程①的另一个根为，符合要求。
所以，符合条件的有，，，其总和为。
4．如图，在中，，，，为的内心，连接并延长交于点。
记的面积为，的面积为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
（第4题）
【解答】依题意，。
由为的内心知，。
所以，由等比定理知，。
5．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】由，得，。
∵，当且仅当，即，，或，时等号成立。
∴的最小值为，的最小值为，即。
∵，当且仅当，即，或，时等号成立。
∴的最大值为，的最大值为，即。
∴。
或解：
由，得，。
设，若，则；时，，将代入，
得，即，………………①
由，解得。
将代入方程①，解得，；代入方程①，解得，。
∴的最大值为，最小值为。
因此，，，。
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．在平面直角坐标系内有两点，，若一次函数的图像与线段有公共点，则的取值范围为。
【答案】（个人觉得还要补充，因为是一次函数）
【解答】易得直线对应的一次函数的解析式为。
由，得………………①
依题意，方程①有的解。
∴，且，解得。
故的取值范围为。
或通过作图求解。
7．如图，在中，为边上一点，为线段上一点，延长交于点。
若，，则。
【答案】
（第7题）
【解答】如图，过点作交的延长线于点，则。
又由，知。
∴。
∴。
∴。
8．设，，，…，是个互不相同的正整数，且，则的最大值是。
【答案】63
【解答】依题意，，，，…，。
∴。
于是，，。
又当，，，…，，时，
。
∴所求的最大值为63。
9．如图，是的直径，是的切线，交于点，若，则。
【答案】
【解答】由为的直径知，。
设，则，。
（第9题）
由条件易得，
∴，，即。
结合，得。
（或由射影定理得，即）
∴，解得或（舍去）。
∴，。
10．若正整数，，满足方程组，则的最大值为。
【答案】84
【解答】由，得
。
结合，，为正整数得，，于是。
∴，，。
∴当，，或，，时，有最大值84。
三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）
11．若关于的方程有两个不相等的整数根，求的值。
【解答】设，是方程两个不相等的整数根，则，。
∴，均为整数。
因此，为整数。
……………………5分
∴为完全平方数。
设（为整数，且）。
则。
于是，。
……………………10分
由于，奇偶性相同，且。
∴或。
解得或。
……………………………15分
经检验，符合要求。
∴或。
…………………………20分
另解：
设，（）是方程两个不相等的整数根。
则。
两式相减，得。
由，得，。
……………………5分
将代入①，得。
∴。
……………………10分
由于，为整数，且，因此，或。
∴或。
……………………………15分
当时，；时，。
∴或。
…………………………20分
12．如图，为的垂心，圆为的外接圆。
点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。
求证：
（1）垂直平分线段；
（2）。
【解答】
（1）解法一：
如图，连结，，。
由为的垂心知，。
（第12题）
由、、、四点共圆，得。
∴。
……………5分
又，，
∴，。
∴垂直平分线段。
……………………10分
解法二：
作点关于直线的对称点。
连结，，。
则，点在以为圆心、长为半径的圆上。
……………………5分
又，为的垂心，
∴，、、、四点共圆。
因此，点也在圆上。
∴、两点重合。
因此，、关于直线对称，即垂直平分线段。
……………10分
（2）连结，。
依题意有。
结合为线段的垂直平分线与圆的交点，知为圆的直径。
∴。
又由
（1），以及为的垂心知，，。
因此，、、三点共线。
∴。
……………………15分
∴。
∴。
∴。
……………………20分
或：
通过，证明。
或通过证明四边形等腰梯形，证明。
13．对于整数，用表示所有小于的素数的乘积。
求满足条件的所有正整数。
【解答】解法一：
若，则整除，但不能整除。
因此，不符合要求。
故，。
………………………………10分
若，则，由，得。
…………15分
若，则，由，得正整数不存在。
若，则，由，得正整数不存在。
若，则，由，得正整数不存在。
∴满足条件的正整数只有1个，。
…………………20分
解法二：
由，得。
由于是偶数，但不是4的倍数，因此，是奇数。
………………5分
若，则含有奇数的素数因子，即为奇素数，且整除。
由知，整除。
由此整除1024，矛盾。
故，，即，且为奇数。
……………………10分
∵时，，
∴。
又，。
∴。
即，5，7，9，11。
…………………15分
将，5，7，9，11分别代入验证，
时，，，不符合要求。
时，，，不符合要求。
时，，，不符合要求。
时，，，不符合要求。
时，，，符合要求。
∴满足条件的正整数只有1个，。
…………………20分
14．在一个（行，列，）的表格的每个方格内填上适当的正整数，使得：
（1）每一列所填的数都是1，2，3，…，的一个排列；（即在每一列中，1，2，3，…，这个数出现且仅出现1次）
（2）每一行个的数和都是34。
当上述的填数方式存在时，求的所有可能取值。
【解答】依题意，每列个数的和为，共列。
又每行个数的和为34。
所以，，。
……………………5分
又。
所以，，，，。
当时，每一行1个数的和互不相同，与
（2）矛盾，即符合条件的填数方式不存在。
舍去。
记为第行，第列所填写的数。
当时，令，。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，33；第2列自上而下各行所填的数依次为33，32，31，…，1时，符合要求。
………………………10分
当时，令，，，。
即当第1列自上而下各行所填的数依次为1，2，3，…，16；第2列自上而下各行所填的数依次为16，15，14，…，1；第3列同第1列；第4列同第2列时，符合要求。
………………………15分
当时，填写方式如下：
2
3
1
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
3
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
3
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
符合要求。
所以，符合题意的填数方式存在时，的所有可能取值有3种，分别为：
，，。
………………………………20分
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