高三数学理二轮阶段提升突破练全集人教版6份有答案Word文档格式.docx
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4.《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:
“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱?
”.这个问题中,甲所得为
A.钱
B.钱
c.钱
D.钱
【解析】选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,则由题意可知,a-2d+a-d=a+a+d+a+2d,即a=-6d,又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5,所以a=1,则a-2d=a-2×
=a=.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an+1=Sn+1,则S5=
A.31
B.42
c.37
D.47
【解题导引】an+1=Sn+1,可得Sn+1-Sn=Sn+1,变形为:
Sn+1+1=2,利用等比数列的通项公式即可得出.
【解析】选D.因为an+1=Sn+1,所以Sn+1-Sn=Sn+1,变形为:
Sn+1+1=2,所以数列{Sn+1}为等比数列,首项为3,公比为2.则S5+1=3×
24,解得S5=47.
6.若数列{an}满足a1=1,且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1,则++…++等于
A.
B.
c.
D.
【解析】选c.由an+1=an+n+1得,an+1-an=n+1,
则a2-a1=1+1,
a3-a2=2+1,
a4-a3=3+1,
…,
an-an-1=+1,
以上等式相加,得an-a1=1+2+3+…++n-1,
把a1=1代入上式得,an=1+2+3+…++n=,
==2,
则++…++=2[++…++]
=2=.
7.已知数列{an}前n项和满足Sn-Sn-1=+,a1=1,则an=
A.n
B.2n-1
c.n2
D.2n2-1
【解题导引】利用平方差公式对已知数列的递推式化简整理,求得-=1,根据等差数列的定义判断出数列{}是一个首项为1,公差为1的等差数列.求得数列{}的通项公式,再由an=Sn-Sn-1求得an.
【解析】选B.由Sn-Sn-1=+,得=+,
所以-=1,所以数列{}是一个首项为1,公差为1的等差数列.
所以=1+×
1=n,所以Sn=n2.
当n≥2,an=Sn-Sn-1=n2-2=2n-1.
a1=1适合上式,∴an=2n-1.
8.已知Tn为数列的前n项和,若n&
T10+1013恒成立,则整数n的最小值为
世纪金榜导学号92494195
A.1026
B.1025
c.1024
D.1023
【解题导引】利用等比数列的求和公式可得Tn,即可求解.
【解析】选c.因为=1+,所以Tn=n+1-,所以T10+1013=11-+1013=1024-,
又n&
T10+1013恒成立,所以整数n的最小值为1024.
【加固训练】1.已知数列{an}中,前n项和为Sn,且Sn=an,则的最大
值为
A.-3
B.-1
c.3
D.1
【解题导引】利用递推关系可得==1+,再利用数列的单调性即可得出.
【解析】选c.因为Sn=an,所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,化为:
==1+,由数列单调递减,可得:
n=2时,取得最大值2.所以的最大值为3.
2.已知a&
0,b&
0,且为3a与3b的等比中项,则的最大值为
【解题导引】由等比中项推导出a+b=1,从而==
=,由此利用基本不等式能求出的最大值.
【解析】选B.因为a&
0,且为3a与3b的等比中项,
所以3a&
#8226;
3b=3a+b=2=3,所以a+b=1,
所以==
=≤=.
当且仅当=时,取等号,所以的最大值为.
二、填空题
9.已知等比数列{an}的各项均为正数,且满足:
a1a7=4,则数列{log2an}的前7项之和为__________.
【解题导引】由等比数列的性质可得:
a1a7=a2a6=a3a5=4,再利用指数与对数的运算性质即可求解.
【解析】由等比数列的性质可得:
a1a7=a2a6=a3a5=4,
所以数列{log2an}的前7项和为log2a1+log2a2+…+log2a7=log2=log227=7.
答案:
7
【加固训练】若数列{an}满足a1=2,an=1-,则aXX=__________.
【解题导引】数列{an}满足a1=2,an=1-,可得an+3=an,利用周期性即可得出.
【解析】数列{an}满足a1=2,an=1-,可得a2=1-=,a3=1-2=-1,a4=1-=2,a5=1-=,…,所以an+3=an,数列的周期为3.
所以aXX=a672×
3+1=a1=2.
2
0.设Tn为数列{an}的前n项之积,即Tn=a1a2a3…an-1an,若a1=2,-=1,当Tn=11时,n的值为______.世纪金榜导学号92494196
【解题导引】由题意可得数列是以=1为首项,以1为公差的等差数列,求其通项公式,可得数列{an}的通项公式,再由累积法求得Tn,则n值可求.
【解析】由a1=2,-=1,
可得数列是以=1为首项,以1为公差的等差数列,
则=1+×
1=n,所以an=1+=,
则Tn=a1a2a3…an-1an=&
…=n+1,由Tn=n+1=11,得n=10.
10
1.若数列{an}满足a1=,an+1=220,则a1a2…an的最小值为__________________.
世纪金榜导学号92494197
【解析】依题易知:
an&
0,log2an+1=20+2log2an&
#8658;
=2,则{log2an+20}是首项为1,公比为2的等比数列,log2an+20=2n-1&
an=,a1a2…an=…=,令bn=2n-1-20n,bn+1-bn=2n-20≥0&
n≥5,{bn}递增,b5=-69最小,a1a2…an的最小值为2-69.
2-69
【加固训练】正项数列{an}满足:
a1=1,a2=2,2=+,则a7=__________.
【解题导引】由2=+,可得数列{}是等差数列,通过求出数列{}的通项公式,求得an,再求a7.
【解析】由2=+,可得数列{}是等差数列,公差d=-=3,首项=1,所以=1+3×
=3n-2,an=,所以a7=.
2.高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”之称,以他的名字“高斯”命名的成果达110个,设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,并用{x}=x-[x]表示x的非负纯小数,则y=[x]称为高斯函数,已知数列{an}满足:
a1=,an+1=[an]+,则aXX=__________. 世纪金榜导学号92494198
【解题导引】由于:
a1=,an+1=[an]+,经过计算可得:
数列{a2k-1}成等差数列,首项为,公差为3.即可得出.
【解析】满足:
a1=,an+1=[an]+,
所以a2=1+=2+,
a3=2+=3+=4+,
a4=4+=5+,
a5=5+=6+=7+,
a6=7+=8+,
a7=8+=9+=10+,
可得:
数列{a2k-1}成等差数列,首项为,公差为3.
则aXX=+3×
=3024+.
3024+
【加固训练】已知数列{an}满足:
2a1+22a2+23a3+…+2nan=n,数列的前n项和为Sn,则S1&
S2&
S3…S10=__________.
【解题导引】根据2a1+22a2+23a3+…+2nan=n,求出an=,再利用对数的运算性质和裂项法即可得到=-,裂项求和得到Sn,代值计算即可.
【解析】因为2a1+22a2+23a3+…+2nan=n,所以2a1+22a2+23a3+…+2n-1an-1=n-1,所以2nan=1,
所以an=,
所以=
==-,
所以Sn=1-+-+…+-
=1-=,
所以S1&
S3…S10=×
×
…×
=.
三、解答题
3.设数列满足a1+3a2+…+an=2n.
求的通项公式.
求数列的前n项和.
【解析】由已知可得:
a1+3a2+…+an=2n,
所以当n&
1时有a1+3a2+…+an-1=2,
所以两式作差可得:
an=2,
即an=,
又因为n=1时,a1=2符合,
所以an=.
设bn=,则bn==-,
所以数列的前n项和为
Sn=b1+b2+…+bn=1-+-+…+-
=1-=.
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=.
世纪金榜导学号92494199
求数列{an}的通项公式.
若数列{bn}满足an&
bn=log3a4n+1,记Tn=b1+b2+b3+…+bn,求证:
Tn&
lt;
.
【解题导引】利用递推关系:
当n=1时,a1=S1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,利用等比数列的通项公式即可得出.
求出bn==,利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【解析】由Sn=可知,
当n=1时,a1=S1,2S1+3=3a1,得a1=3.
n=2时,2S2+3=3a2,即2+3=3a2,解得a2=9.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
因为2Sn+3=3an,2Sn-1+3=3an-1,
两式相减可得2an=3an-3an-1,
所以an=3an-1,
所以an=3n.对n=1也成立.
故数列{an}的通项公式为an=3n.
由an&
bn=log3a4n+1=log334n+1=4n+1,
得bn==,
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=5&
+9&
+…+&
,
Tn=5&
两式相减得,Tn=+4×
[++…+]-&
=+4×
-&
化简可得Tn=-&
&
5.在数1和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积记作Tn,再令an=lgTn,n≥1. 世纪金榜导学号92494200
设bn=&
2n-1,求数列{bn}的前n项和Sn.
【解析】t1,t2,…tn+2构成递增的等比数列,其中t1=1,tn+2=100,则Tn=t1&
t2…tn+2=tn+2&
tn+1…t1,又,tn+2&
t1=tn+1&
t2=…=t1&
tn+2=102,
得=102,an=lgTn=lg10n+2=n+2,n≥1.
bn=n&
2n-1,
故Sn=1×
20+2×
21+3×
22+…+×
2n-2+n×
2Sn=1×
21+2×
22+3×
23+…+×
2n-1+n×
2n,
上述两式相减,得-Sn=1×
20+1×
21+1×
22+…+1×
2n-1-n×
整理,得Sn=n&
2n-2n+1.
6.若数列{an}满足
++…+=-.
求通项公式an.
求数列{an}的前n项和.
【解析】因为++…+=-,
所以当n≥2时,++…+=-,
两式相减得:
=-=,
所以an=&
又因为=-=-不满足上式,
所以an=
当n≥2时,Sn=-+3×
+5×
+
7×
+…+×
Sn=-+3×
+&
两式相减得Sn=-++2[++…+
]-&
=+2&
=+-10&
=
-&
所以Sn=-&
当n=1时,也符合上式,所以Sn=-&