21空间向量与立体几何综合考题.docx

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21空间向量与立体几何综合考题

21.空间向量与立体几何综合考题

1.如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点B，且

（1）求棱与BC所成的角的大小；

（2）在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值．ks5u

解法一：

（1）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则，，．

，故与棱BC所成的角是．6分

（2）设，则．于是（舍去），则P为棱的中点，其坐标为．8分设平面的法向量为，

则，即，令，故11分，而平面的法向量=（1,0,0），则故二面角的平面角的余弦值是．

解法二：

（1）由题意可知，所以是与棱BC所成的角（或其补角），

连接和，∵，∴，又，且，∴，∴.在平行四边形中，由余弦定理可得

，在Rt△中，由勾股定理可得.在△中，由余弦定理可得，∴，∴故棱与棱BC所成的角是．

（2）作于Q，连接QA，PA，作于R，则R应在AB的延长线上，连接PR，由题意可知，，∴，∴是二面角的平面角.

设，则，，在△中，

，在Rt△中，由可得，解得或（舍去），即P是中点.在Rt△中，，，∴，

∴，即二面角的平面角的余弦值是．

2．如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,.

（1）求证：

平面；

（2）若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.

（1）证明:

连接,设与相交于点,连接,∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点，∴为△的中位线,∴.2分∵平面,平面,∴平面4分

（2）解:

依题意知，，∵平面,平面,∴平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面，6分设，在Rt△中，，，∴四棱锥的体积.8分依题意得，，即.9分

（以下求二面角的正切值提供两种解法）

解法1:

∵,平面，平面，∴平面.取的中点，连接，则,且.∴平面.作，垂足为，连接，由于，且，∴平面.∵平面,∴.∴为二面角的平面角.12分由Rt△～Rt△,得,得,在Rt△中,.∴二面角的正切值为.14分

解法2:

∵,平面，平面，∴平面.以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.则,,,.∴,

设平面的法向量为,由及,得

令,得.故平面的一个法向量为,11分

又平面的一个法向量为,∴,12∴,.13分∴,.∴二面角的正切值为.14分

3．如图6，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于、的点，，圆的直径为9．

（1）求证：

平面平面；

（2）求二面角的平面角的正切值．

（1）证明：

∵垂直于圆所在平面，在圆所在平面上，∴．在正方形中，，∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．

（2）解法1：

∵平面，平面，

∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，

在△中，，在△中，，由，解得，．∴．过点作于点，作交于点，连结，由于平面，平面，∴．∵，∴平面．∵平面，

∴．∵，，∴平面．∵平面，∴．∴是二面角的平面角．在△中，，，，∵，∴．在△中，，

∴．故二面角的平面角的正切值为．

解法2：

∵平面，平面，∴．∴为圆的直径，即．设正方形的边长为，在△中，，在△中，，由，解得，．∴．

以为坐标原点，分别以、所在的直线为轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，§科§．设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量．设平面的法向量为，则即取，则是平面的一个法向量．∵，∴．∴．

故二面角的平面角的正切值为．

4．如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，，E，F分别是BC,PC的中点.

（1）证明：

AE⊥PD；

（2）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

解：

（1）证明：

由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，所以PA⊥AE.而PA平面PAD，AD平面PAD且PA∩AD=A，所以AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.所以AE⊥PD.

（2）解：

设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.由（Ⅰ）知AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，所以当AH最短时，∠EHA最大，即当AH⊥PD时，∠EHA最大.此时tan∠EHA=因此AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以PA=2.

解法一：

因为PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABCD.过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,又在Rt△ESO中，cos∠ESO=即所求二面角的余弦值为

解法二：

由

（1）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（C，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），所以设平面AEF的一法向量为则因此

取因为BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以BD⊥平面AFC，故为平面AFC的一法向量.又=（），所以cos＜,＞=因为二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

5．如图3，在四面体中,，且

（1）设为的中点，证明：

在上存在一点，使，并计算的值；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

解法一：

（1）在平面内作交于，连接.又，，　，.取为的中点，则，，在等腰中，，，在中，，，在中，，，

（2）连接，由，知：

.又，

又由，.又,又是的中点,,,,,为二面角的平面角，在等腰中，，，在中，，在中,

解法二：

在平面中,过点,作交于,取为坐标原点，分别以，,所在的直线为轴，轴,轴，建立空间直角坐标系（如图所示）则为中点，设.

即，.

所以存在点使得且.

（2）记平面的法向量为,则由，，且，

得，故可取

又平面的法向量为..

二面角的平面角是锐角，记为，则

6．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点.

（Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离.

解法1：

（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、

P（0，0，2）、E（0，，1），从而设的夹角为θ，则∴AC与PB所成角的余弦值为.

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，由NE⊥面PAC可得，∴即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1，.

解法2：

（Ⅰ）设AC∩BD=O，连OE，则OE//PB，∴∠EOA即为AC与PB所成的角或其补角.在△AOE中，AO=1，OE=∴即AC与PB所成角的余弦值为.

（2）在面ABCD内过D作AC的垂线交AB于F，则.连PF，则在Rt△ADF中设N为PF的中点，连NE，则NE//DF，∵DF⊥AC，DF⊥PA，∴DF⊥面PAC，从而NE⊥面PAC.∴N点到AB的距离，N点到AP的距离

7．如图，在六面体中，四边形是边长为2的正方形，四边形是边长为1的正方形，平面，平面，．（Ⅰ）求证：

与共面，与共面；（Ⅱ）求证：

平面平面；（Ⅲ）求二面角的大小的余弦值．

解法1（向量法）：

以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图，

则有．（Ⅰ）证明：

．．与平行，与平行，于是与共面，与共面．（Ⅱ）证明：

，，，．与是平面内的两条相交直线．

平面．又平面过．平面平面．（Ⅲ）解：

．设为平面的法向量，，．于是，取，则，．

设为平面的法向量，，．于是，取，则，．．二面角的大小为．

解法2（综合法）：

（1）证明：

平面，平面．，，平面平面．于是，．设分别为的中点，

连结，有．，于是．由，得，故，与共面．

过点作平面于点，则，连结，

于是，，．，．

，．所以点在上，故与共面．

（Ⅱ）证明：

平面，，又（正方形的对角线互相垂直），与是平面内的两条相交直线，平面．又平面过，平面平面．

（Ⅲ）解：

直线是直线在平面上的射影，，根据三垂线定理，有．

过点在平面内作于，连结，则平面，于是，所以，是二面角的一个平面角．根据勾股定理，有．，有，，，

．，二面角的大小为．

8．在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,PD=CD=AD=AB=a,

∠ADC=120°,点E为AB的中点.（I）证明:

AD⊥面PDB;（II）求二面角D-PC-E的大小;（III）求点B到面PEC的距离.

（I）∵∠ADC=120°，AB∥CD，∴∠DAB=60°，又AD=AB=a，∴BD=，∴，∴AD⊥BD，又∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AD，而PDBD=D，∴AD⊥面PDB.4分

（II）如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DB为y轴，DP为z轴建立直角坐标系，则D（0,0,0），P（0,0,a），A（a,0,0），E（,,0），C（,,0），B（0,,0），设平面PDC的法向量为，则，即，∴.同理求得平面PEC的一个法向量为，∴，∴二面角D-PC-E的大小为.10分

（III）由（II）知，面PEC的一个法向量，于是点B到面PEC的距离.14分

9.如图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间．点A、D∈α，C、F∈γ，

AC∩β＝B，DF∩β＝E.

（1）求证：

=；

（2）设AF交β于M，AD与CF不平行，

α与β间距离为h′，α与γ间距离为h，当的值是多少时，S△BEM的面积最大？

10.（2008海南、宁夏理）如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。

（1）求DP与CC1所成角的大小；

（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。

9.解：

如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系．

则，．连结，．

在平面中，延长交于．设，

由已知，由

可得．解得，所以．

（Ⅰ）因为，

所以．即与所成的角为．

（Ⅱ）平面的一个法向量是．

因为，

所以．

可得与平面所成的角为．

11.（2008安徽文）如图，在四棱锥中，底面四边长为1的菱形，,,,为的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

11．解：

作于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为轴建立坐标系,

（1）设与所成的角为,

与所成角的大小为

（2）设平面OCD的法向量为,

即取,解得

设点B到平面OCD的距离为,则为在向量上的投影的绝对值,,.所以点B到平面OCD的距离为

12.（2005湖南文、理）如图1，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图2。

（1）证明：

AC⊥BO1；

（2）求二面角O－AC－O1的大小。

12．解:

（I）证明由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1.所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB.故可以O为原点，OA、OB、OO1所在直线分别为轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图3，则相关各点的坐标是A（3，0，0），B（0，3，0），C（0，1，）,O1（0，0，）.从而，所以AC⊥BO1.

（II）解：

因为所以BO1⊥OC，由（I）AC⊥BO1，所以BO1⊥平面OAC，是平面OAC的一个法向量.设是0平面O1AC的一个法向量，由得.

设二面角O—AC—O1的大小为，由、的方